4 outils d'analyse économique (avec diagramme)

La croissance économique d'un pays est possible si les conditions exactes de l'économie sont déterminées.

L'analyse économique est un processus dans lequel les forces et les faiblesses d'une économie sont déterminées.

C'est une approche systématique pour déterminer l'utilisation optimale de ressources rares, comparer les alternatives disponibles et sélectionner la meilleure alternative pour atteindre un objectif particulier. En outre, l'analyse économique aide à déterminer les causes de divers problèmes économiques, tels que l'inflation, la dépression et l'instabilité économique.

L'analyse économique est réalisée à l'aide de divers outils, illustrés à la figure 1:

Les différents outils d'analyse économique (comme le montre la figure 1) sont discutés en détail ci-dessous.

Variables économiques :

L’analyse économique a pour objectif principal d’identifier la nature des variables économiques et de déterminer le niveau de relation entre deux ou plusieurs variables économiques connexes. Une variable économique fait référence à toute quantité économique dont la valeur change avec un changement de ses déterminants ou un changement des activités économiques.

Par exemple, la demande, l'offre, les prix, le coût de production, les salaires, le travail et le capital sont les variables économiques dont la valeur varie avec l'évolution de leurs déterminants ou au cours de différents cycles commerciaux. La plupart des variables économiques sont liées et dépendantes les unes des autres. Par conséquent, un changement dans une variable économique entraîne des changements dans la valeur des autres variables économiques.

Les variables économiques peuvent être classées comme suit:

(a) Variables dépendantes:

Impliquez les variables dont les valeurs dépendent des valeurs des autres variables. De plus, les valeurs de ces variables sont affectées par le changement de la valeur d'autres variables interdépendantes.

Par exemple, la demande d'un produit dépend de son prix. Cela implique que la demande d'un produit diminue avec l'augmentation de ses prix et inversement. Par conséquent, la demande d'un produit est une variable dépendante.

(b) Variables indépendantes:

Reportez-vous aux variables qui sont indépendantes et qui ne sont pas affectées par un changement dans une autre variable. Dans l'exemple précédent de la demande d'un produit et de son prix, la demande du produit est une variable dépendante, alors que le prix du produit est une variable indépendante.

(c) Variables endogènes:

Reportez-vous aux variables dont la valeur peut être obtenue dans le modèle considéré. Par exemple, le prix d'un produit dans le modèle offre et demande est endogène. En effet, le prix du produit est défini en réponse à la demande des consommateurs.

(d) Variables exogènes:

Reportez-vous aux variables dont la valeur est obtenue en dehors du modèle considéré. Par exemple, en cas d'augmentation du prix de l'essence sur le marché intérieur due à l'augmentation du prix de l'essence sur le marché international, le prix de l'essence sur le marché international est la variable exogène.

Pente :

La pente est l'un des outils les plus importants utilisés pour l'analyse économique. Cela aide à déterminer les changements produits dans une variable avec un changement dans une autre variable. Par conséquent, la pente peut être définie lorsque le changement se produit dans la variable dépendante en raison du changement dans la variable indépendante. La relation entre une variable dépendante et indépendante peut être représentée par une ligne droite sur un graphique.

La forme de la ligne détermine le type de relation entre les deux variables. Cette ligne est appelée la pente de la ligne. Si la pente est plus raide, la relation entre les deux variables est faible et inversement. Supposons qu'un changement d'unité dans la variable indépendante x entraîne des changements dans la variable dépendante y.

Dans un tel cas, la pente serait:

Pente = changement de y / changement de x

Si la pente d'une ligne est positive, la ligne se déplace vers le haut en allant de gauche à droite. Par contre, si la pente est négative, la ligne descend alors en allant de gauche à droite.

Laissez-nous comprendre le concept de pente à l'aide d'un exemple. Dans la courbe de demande, la pente représente le rapport entre la variation du prix de la variable indépendante (P) et la variation de la variable dépendante qui est la demande (D). Si le prix d'un produit diminue (- AP), la demande pour ce produit augmentera (AD).

Dans un tel cas, la pente de la courbe de la demande serait la suivante:

Pente = -∆P / D

Où, -∆P = changement de prix (variable indépendante)

∆D = variation de la demande (variable dépendante)

La pente diffère pour les variables linéaires et non linéaires.

Fonction linéaire :

Laissez-nous comprendre la fonction linéaire à l'aide de la fonction de demande linéaire.

Supposons que la fonction de demande linéaire est la suivante:

D x = 20 - 2P x

La courbe de demande de la fonction de demande précédente est illustrée à la figure 2:

Sur la figure 2, on peut noter que la pente de la courbe change. Par exemple, lorsque le prix (P x ) = 3, la demande (D x ) = 14. Ensuite, le prix augmente à 5 et la quantité demandée diminue à 10. Dans ce cas, -P = 3-5 = -2 et ∆D = 14-10 = 4. Ici, le signe négatif indique la relation inverse entre la demande et le prix d'un produit.

Par conséquent, la pente de la courbe de demande est égale à:

Pente = ∆P / D

Pente = 2/4

Pente = 0.5

Par conséquent, la pente entre les points M et K est de 0, 5. De même, nous pouvons trouver la pente entre les points J et K. Au point K., le prix (P x ) = 5 et la demande (D x ) = 10. Ensuite, le prix augmente à 6 et la quantité à 8. Dans ce cas, -∆P = 5-6 = -1 et ∆D = 10-8 = 2.

Par conséquent, la pente de la courbe de demande est égale à:

Pistes = ∆P / D

Pente = 1/2

Pente = 0.5

La pente entre les points J et K est égale à 0, 5. Or, on peut dire que la pente est égale en tous les points de la fonction de demande linéaire.

Fonction non linéaire :

Continuons l’exemple de la fonction de demande. En fonction de la demande non linéaire, la pente de la courbe de la demande change à chaque point. Par conséquent, la détermination de la pente dans la fonction de demande non linéaire peut être effectuée en comparant la pente à l'intérieur et en un point de la courbe de demande.

La fonction de demande non linéaire peut être donnée comme suit:

D x = 32P x -2 = 32 / P x 2

La courbe de demande pour la fonction de demande non linéaire est représentée à la figure 3:

À partir de la figure 3, déterminons la pente entre A et B et C et D.

La pente entre les points A et B est égale à:

Pente = ∆P / D

Pente = 4-5 / 2-1.3

Pente = -1, 43

La pente entre les points C et D est égale à:

Pente = ∆P / D

Pente = 2-3 / 8-3.5

Pente = -0, 23

La pente entre les deux ensembles A et B et C et D est différente. Cela implique que la pente de la fonction de demande non linéaire serait différente entre deux ensembles de points différents.

Dans une courbe de demande non linéaire, la pente est différente non seulement entre les points mais aussi à chaque point. Par exemple, la pente aux points B et D sur la courbe à la demande peut être calculée en traçant une tangente à partir du point B. La pente de la tangente et de la courbe de la demande est égale en mesure.

La pente de la tangente ou de la pente au point B est égale à:

Pente = ∆P / D

Pente = 0-6 / 6-0

Pente = -

Par conséquent, la pente au point B est égale à 1. De même, nous pouvons tracer une tangente à partir du point C et calculer la pente de la tangente ou la pente au point C de la courbe de demande.

La pente au point C de la courbe de demande peut être déterminée comme suit:

Pente = ∆P / D

Pente = 0-4.5 / 10-0

Pente = -4.5 / 10

Par conséquent, la pente au point C de la courbe de demande est égale à -4, 5 / 10.

Cette méthode de détermination de la pente présente certaines limitations, qui sont les suivantes:

une. Manque de fiabilité, car la différence dans la pente d'une courbe de demande peut produire un changement plus important de la variable indépendante. Par exemple, la pente entre deux points A et D est de -0, 44 mais la pente entre les points situés entre ces deux points est grande, B et C est de -0, 66. Par conséquent, ce n'est pas une méthode appropriée pour la détermination de la pente.

b. Ne parvient pas à déterminer la solution à un problème d'optimisation car il implique des fonctions polynomiales.

En raison des limitations susmentionnées du procédé, un autre procédé, le calcul différentiel, est utilisé pour déterminer la pente en un point de la courbe de demande.

La fonction de demande utilisée pour la détermination de la pente en un point à l’aide du calcul différentiel est la suivante:

D x = 32P x -2

Pour le calcul de la pente par calcul différentiel, nous devons d’abord prendre la première dérivée de la fonction de la demande comme suit:

∂D / P = (-2) 32P x -3 = -64 / P x 3

En prenant l'inverse de l'équation précédente, nous obtenons

P / ∂D = -P x 3/64

À l'aide de l'équation précédente, nous pouvons déterminer la pente de n'importe quel point de la courbe de demande.

Par exemple, au point B, la courbe de pente de la demande peut être calculée comme suit:

P / ∂D = - (4) 3/64

∂P / ∂D = -

Par conséquent, la pente au point B de la courbe de demande est -1 telle qu'elle a été calculée avec la méthode de la tangente.

Calcul différentiel :

Dans ce qui précède, nous avons utilisé la méthode du calcul différentiel pour mesurer la pente d’une courbe de demande. Le calcul différentiel fournit une solution optimale aux problèmes économiques et facilite la prise de décision. Pour comprendre le concept de calcul différentiel, nous devons d’abord nous familiariser avec les règles de base du calcul différentiel. Laissez-nous d'abord comprendre le concept de dérivé. Le dérivé peut être expliqué à l'aide du coût marginal (MC), qui fait référence à une modification du coût total (CT) due à un changement unitaire de la production totale (Q).

La formule utilisée pour le calcul de MC est la suivante:

MC = changement de CT / changement de Q

Ou MC = ∆TC / ∆Q

La valeur de ∆Q est supposée être un. L'équation susmentionnée ne peut pas être utilisée lorsque la valeur de Q est très petite car elle tend à être nulle. Ce problème peut être résolu en utilisant la technique du calcul différentiel.

Le calcul différentiel fournit une technique appelée dérivée, qui aide à déterminer le changement marginal produit dans la variable dépendante (X) en raison du changement de la variable indépendante (Y), tandis que X atteint zéro.

La formule utilisée pour le calcul de la dérivée est la suivante:

∂Y / X = limite x → 0 (Y / ∆X)

La dérivée dans l'équation précédente est la dérivée de Y à X qui est égale à la limite du rapport de changement de Y produit en raison du changement de X alors que X s'approche de zéro.

Laissez-nous comprendre l'utilisation de dérivés à l'aide d'un exemple.

Supposons qu'une fonction est donnée comme suit:

Y = f (X)

Le graphique créé pour cette fonction présente une courbe de demande non linéaire, comme illustré à la figure 4:

Sur la figure 4, au point A, la valeur de X = XI et Y = Y1. Avec l'augmentation de XI à X2, Y1 augmente également à Y2. Dans un tel cas, nous arrivons au point B du point A.

Par conséquent, le changement dans X serait représenté comme suit:

∆X = X 2 -X 1

∆X = X 2 X 1

De même, le changement de Y peut être représenté comme suit:

∆Y = Y 2 - Y 1

∆Y = Y 2 Y 1

Par conséquent, la pente de la fonction peut être exprimée comme suit:

Pente = ∆Y / ∆X

Pente = Y 2 Y 1 / X 2 X 1

La figure 4 montre une variation plus importante de X et Y, ce qui entraîne également de fortes variations des pentes de X et Y. Toutefois, pour la fonction, Y = f (X), où X approche de zéro. Dans une telle situation, le point B approche pour revenir au point A. La technique permettant de calculer la valeur de la pente à laquelle la fluctuation de la variable indépendante et dépendante est infiniment petite est appelée dérivée. Le dérivé peut être calculé à l'aide de la méthode de différenciation.

Les différentes fonctions des décisions managériales dans lesquelles la méthode de différenciation est utilisée sont les suivantes:

je. Fonction constante

ii. Fonction de puissance

iii. Somme ou différence de deux fonctions

iv. Produit de deux fonctions

v. Fonction quotient

vi. Fonction de fonction

Dans les fonctions précédentes, nous n'expliquerions que les règles de différenciation qui sont les règles pour déterminer les dérivées de fonctions. Dans ces fonctions, Y représente la variable dépendante, X en tant que variable indépendante et a, b et c sont des constantes.

Laissez-nous comprendre les dérivées de ces fonctions en détail.

Fonction constante:

La dérivée de la fonction constante est égale à zéro. Par exemple, dans le cas où la fonction est Y = f (X) = a, alors

δY / δX = 0

Cela est dû au fait que la valeur de Y ne change pas avec la valeur de X, ce qui implique que la valeur de Y est constante. Par exemple, dans le cas du ratio travail / capital, le capital est constant et la fonction de production serait alors représentée comme suit:

Y = f (X) = 400

Dans une telle condition, la sortie (Y) reste la même, même si le travail (X) augmente. Cette fonction de production est représentée par une ligne horizontale sur un graphique. L’exemple d’une telle fonction de production est l’industrie agricole en Inde.

Fonction de puissance :

La dérivée de la fonction de puissance peut être exprimée comme suit:

Y = f (X) = a Xb

Où, a et b = constant

a = coefficient de X

b = puissance de X

La première dérivée de la fonction de puissance serait la suivante:

δY / δX = baXb-

Laissez-nous comprendre la dérivée de la fonction de puissance à l'aide des exemples suivants:

je. Si la fonction de production est Y = 4X3, alors

δY / δX = 3 * 4 * X3-

δY / δX = 12X2

ii. Si la fonction de production est Y = 3X2, alors

δY / δX = 2 * 3 * X2-

δY / δX = 6X

Somme ou différence de deux fonctions :

Une variable dépendante (Y) peut être une fonction d'une somme ou d'une différence des deux fonctions différentes ayant la même variable indépendante (X) ou de deux autres variables qui sont des fonctions de X.

Si les fonctions de variable indépendante sont une somme de deux fonctions différentes ayant la même variable indépendante, la fonction peut être exprimée comme suit:

Y = f (X) + g (X)

Où, f (X) et g (X) sont les deux fonctions différentes qui représentent une relation différente entre la variable dépendante et la variable indépendante. Pour la fonction précédente, la dérivée peut être décrite comme suit:

δY / δX = δf (X) / δX + δg (X) / δX

Dans le cas où la fonction de production est représentée comme suit:

Y = f (X) - g (X)

Ensuite, la dérivée peut être exprimée comme suit:

δY / δX = δf (X) / δX + δg (X) / δX

Comprenons l'application de la dérivée de fonction de somme ou différence de deux fonctions différentes à l'aide des exemples suivants:

(a) Dans le cas où la fonction de production est Y = 5X + 2X3, alors

δY / δX = 5X1-1 + 2 * 3X3-1 = 5 + 6X2

(b) Dans le cas où la fonction de production est Y = 5X2 - 2X4, alors

δY / δX = 2 * 5X2-1 - 4 * 2X4-1 = 10 - 8X3

Produit de deux fonctions:

Le produit de deux fonctions différentes peut être exprimé comme suit:

Y = f (X) * g (X)

La dérivée de telles fonctions peut être représentée comme suit:

δY / δX = f (X) δg (x) / δx + g (X) δf (x) / δx

Par conséquent, la dérivée du produit de deux fonctions différentes peut être exprimée comme le produit de la première fonction et le dérivé de la deuxième fonction plus le produit de la deuxième fonction et le dérivé de la première fonction.

Laissez-nous comprendre la dérivée des fonctions du produit de deux fonctions différentes à l'aide d'un exemple.

Supposons que la fonction de production est Y = 5X2 (4X + 3), alors la dérivée de la fonction de production peut être calculée comme suit:

Fonction de fonction :

Il existe certaines fonctions dans lesquelles une variable est une fonction d'une autre variable. Par exemple, la fonction de Y est Y = f (U) et la fonction de U = f (X). Si nous voulons déterminer le dérivé de Y par rapport à X, il serait alors égal au produit du dérivé de Y par rapport à U et du dérivé de U par rapport à X, qui est décrit comme suit:

δY / δX = δY / δU * δU / δX

Laissez-nous comprendre l'application de la dérivée d'une fonction de fonction à l'aide d'un exemple.

Supposons que les deux fonctions sont les suivantes:

Y = U3 + 5U et U = 2X2

La dérivée de Y par rapport à U peut être exprimée comme suit:

δY / δU = 3U3-1 + 5

δY / δU = 3U2 + 5

En mettant la valeur de U dans l'équation précédente, on obtient

δY / δU 3 (2X2) 2 + 5

δY / δU = 12X4 + 5

La dérivée de U par rapport à X peut être exprimée comme suit:

δU / δX = 2 * 2X2-

δU / δX = 4X

La dérivée de la fonction d'une fonction peut être représentée comme suit:

δY / δX = (12X4 + 5) (4X)

δY / δX = 48X5 + 20X

Dérivé partiel :

Il peut y avoir plusieurs variables indépendantes dans une fonction, telles que la fonction de demande, la fonction de production et la fonction de coût.

Dans un tel cas, la fonction de demande peut être exprimée comme suit:

Dx = f (Px, M, Py, Pc, T, A)

Où, Px = Prix

M = revenu du consommateur

Py = Prix des biens de substitution

Pc = Prix des biens complémentaires

T = goût du consommateur

A = dépenses publicitaires

La fonction de production peut être exprimée comme suit:

Q = f (L, K)

Où, L = travail

K = capital

La fonction de coût peut être exprimée comme suit:

C = f (K, r, L, w)

Où, L = travail

K = capital

r = taux de location

w = taux de salaire

Pour la dérivée partielle, nous avons certaines règles de différenciation. Dans la différenciation partielle, on suppose que Y est la variable dépendante et que X et Z sont des variables indépendantes.

La fonction de production de la différenciation partielle est la suivante:

Y = X3 + 4XZ + 5Z2

Les règles de dérivation partielle peuvent être énoncées comme suit:

une. Permet le changement d'une variable indépendante à la fois

b. Adopte la même règle de différenciation que dans le cas d'une variable indépendante et d'une variable dépendante

Sur la base des règles précédentes, nous pouvons calculer une dérivée partielle.

Lorsque Z est constant, la dérivée de Y par rapport à X est égale à:

δY / δX = 3X3-1 + 4Z

δY / δX = 3X2 + 4Z

Lorsque X est constant, la dérivée de Y par rapport à Z est égale à:

δY / δX = 4X + 2 * 5Z2-

δY / δX = 4X + 10Z

Toutefois, si X et Z se présentent sous la forme d’un produit, comme suit:

Y = un XbZc

Ensuite, la dérivée de Y par rapport à X est la suivante:

δY / δX = baXb-1Zc

De même, la dérivée de Y par rapport à Z serait la suivante:

δY / δZ = aXbcZc-1

Techniques d'optimisation:

Les techniques d'optimisation sont utilisées pour déterminer la valeur de la variable indépendante qui maximise ou minimise la valeur de la variable défensive. Ces techniques sont utiles pour prendre diverses décisions de gestion.

Par exemple, les organisations s’efforcent généralement de déterminer le niveau de production qui réduirait les coûts de production ou maximiserait leurs profits. De cette manière, les techniques d'optimisation aident à prendre les décisions majeures d'une organisation. Laissez-nous comprendre les techniques d'optimisation de diverses variables économiques.

Maximiser le revenu total:

Le chiffre d'affaires total (TR) peut être déterminé en prenant le produit du prix et de la quantité d'un produit qui peut être exprimé comme suit:

TR = PQ

Où, P = Prix du produit

Q = Quantité de produit vendu

Par exemple, si une fonction de prix est la suivante:

P = 250 - 2.5Q

Ensuite, le revenu total serait:

TR = (250 - 2.5Q) Q

TR = 250Q - 2.5Q2

Maintenant, nous devons déterminer la valeur de Q pour laquelle le revenu est maximum. Selon la règle de maximisation de TR, le produit de la vente d’une unité marginale de production devrait être nul.

Par conséquent, nous devons d’abord déterminer la dérivée de la fonction TR comme suit:

TR = 250Q - 2.5Q2

δTR / δQ = 250-5Q

En maintenant l'équation précédente de la fonction TR à zéro, nous pouvons déterminer la valeur de Q comme suit:

250 - 5Q = 0

-5Q = -250

Q = 50

Le maximum de TR peut être déterminé en mettant la valeur de Q dans l'équation de la fonction TR, qui est la suivante:

TR = 250 * 50 - 2, 5 (50) 2

TR = 6, 250

La valeur maximale de TR peut être vérifiée en augmentant ou en diminuant la valeur de Q de 1.

Dans le cas où la valeur de Q est 49, la valeur maximale de TR serait la suivante:

TR = 250 (49) - 2, 5 (49) 2

TR = 6 247, 5

Cependant, si la valeur de Q est 51, la valeur maximale de TR serait la suivante:

TR = 250 (51) - 2, 5 (51) 2

TR = 6 247, 5

Dans les deux cas, la valeur de TR est inférieure à la valeur de TR lorsque la quantité vendue est égale à 50. Par conséquent, la quantité vendue doit être égale à 50 pour obtenir la valeur maximale de TR.

Optimisation de la production et réduction du coût moyen:

Une production optimale peut être définie comme le niveau de production auquel le coût de production moyen d'une organisation est minimal. Cela aide à déterminer la taille la plus efficace d'une organisation.

Déterminer la taille optimale d'une organisation facilite la planification future de l'organisation sous certaines conditions, qui sont les suivantes:

je. Aide à planifier l'installation d'une nouvelle usine de production. Un entrepreneur doit connaître la taille optimale de l’usine de production avant de l’établir. Cela est dû au concept de théorie de la production, selon lequel le coût moyen diminue jusqu'à un certain niveau de production. Une fois ce niveau atteint, le coût moyen commence à augmenter.

ii. Aide l'organisation à élargir son échelle de production. La taille de l'organisation permet également à l'organisation de planifier et de sélectionner les stratégies marketing appropriées.

iii. Aide les petites organisations à réaliser des profits élevés et à réduire leur coût de production unitaire.

La formule utilisée pour le calcul du coût moyen (AC) est la suivante:

AC = TC / Q

Supposons que la fonction de CT d’une organisation soit la suivante:

TC = 200 + 30Q + 2Q2

En substituant la valeur de TC dans la formule de AC, on obtient

AC = 200 + 30Q + 2Q2 / Q

AC = 200 / Q + 30 + 2Q

Selon la règle de minimisation, la dérivée de la fonction doit être zéro pour minimiser la fonction. Par conséquent, nous pouvons déterminer la valeur de Q pour minimiser Q à l’aide de la dérivée de la fonction AC pouvant être calculée comme suit:

δAC / δQ = -200 / Q2 + 2

En assimilant l'équation précédente à zéro, on obtient

-200 / Q2 + 2 = 0

Q2 + 200/2

Q = 10

Lorsque Q est égal à 10 unités, le coût moyen est minimal. Par conséquent, 10 unités est la solution optimale pour le problème précédent.

Maximiser les profits :

Maximiser le profit est l'objectif fondamental et le plus important de toutes les organisations. Le bénéfice total () correspond à la différence entre le total des revenus et le coût total, exprimée comme suit:

Π = TR-TC

Le profit serait maximal lorsque la différence entre le total des recettes et le coût total est maximale. Les fonctions TR et TC impliquent une variable commune, le niveau de sortie (Q). Dans un tel cas, nous devons déterminer le niveau de production optimal qui maximise les profits.

Cela peut être fait de deux manières, qui sont les suivantes:

je. Appliquer les règles de maximisation du profit

ii. Maximiser la fonction de profit

Laissez-nous discuter de ces deux manières en détail.

Règles de maximisation des profits:

La maximisation du profit est possible sous deux conditions: une condition nécessaire ou de premier ordre et une condition supplémentaire ou de second ordre. Discutons de l’expression mathématique de ces deux conditions.

je. Condition de premier ordre:

Requiert que MC soit égal à MR pour la maximisation du profit.

La représentation mathématique de la condition du premier ordre est la suivante:

MR = MC

Ou

δTR / δQ = δTC / δQ

δTR / δQ - δTC / δQ

Par conséquent, pour maximiser les profits, il est nécessaire que les dérivées de TR et TC soient égales ou que leur différence soit égale à zéro.

ii. Condition de deuxième ordre:

Exige que la différence de dérivée seconde des fonctions TR et TC soit inférieure à zéro ou que leur somme soit négative. Deuxième dérivée se réfère à la dérivée de la première dérivée d'une fonction.

La condition de second ordre peut être représentée mathématiquement comme suit:

Selon la condition de second ordre, le profit serait maximal lorsque la différence de dérivée seconde des fonctions TR et TC devrait être inférieure à zéro ou que leur somme devrait être négative. Dans notre cas, la somme des dérivées des fonctions MR et MC est égale à -1 (—3 + 2 = -1), ce qui est inférieur à zéro. Par conséquent, il satisfait les conditions de premier et de second ordre.

La valeur de la sortie pour laquelle le profit est maximum (50 unités) peut être vérifiée en augmentant ou en diminuant la valeur de Q de 1.

Déterminons d’abord le niveau de profit au niveau de la production de 50 unités comme suit:

Dans les deux cas, la valeur du profit total est inférieure à la valeur du profit total lorsque le niveau de sortie est égal à 50. Par conséquent, la sortie doit être égale à 50 pour obtenir la valeur maximale de TR.

Maximisation de la fonction de profit :

Dans la maximisation de la fonction de profit, nous devons trouver la fonction de profit, puis maximiser cette fonction en référence à la sortie.

La fonction de profit peut être déterminée à l'aide des fonctions TR et TC, qui peuvent être exprimées comme suit:

= (300Q - 1 .5Q2) - (500 + 50Q + Q2)

= 300Q - 1.5Q2 - 500 - 50Q - Q2

= -500 + 250Q - 2.5Q2

La dérivée de la fonction de profit serait la suivante:

δΠ / δQ = 250-5Q

Selon la règle de maximisation, la dérivée de la fonction de profit devrait être égale à zéro. Par conséquent, en laissant la dérivée de la fonction de profit égale à zéro, nous pouvons calculer le niveau de sortie pour la maximisation du profit, comme décrit dans l'équation suivante:

250-5Q = 0

Q = 50

Par conséquent, le profit serait maximal lorsque le niveau de sortie est de 50 unités pour les fonctions TR et TC données.

Maximisation des bénéfices multivariés :

Cependant, les économistes devaient traiter plusieurs variables indépendantes, telles que le travail et le capital. De même, la fonction de revenu total inclut les quantités vendues et les dépenses publicitaires comme variables indépendantes.

Dans le cas d'une amende pour plusieurs produits, la fonction de profit inclut le bénéfice de tous les produits. Par conséquent, il est nécessaire de connaître l'optimisation des fonctions avec plusieurs variables indépendantes. Considérons un exemple pour comprendre l'optimisation de fonctions multivariées (ayant deux variables indépendantes).

Supposons qu'une organisation produise deux produits, X et Y, alors la fonction de profit serait la suivante:

Les valeurs de X et Y peuvent être déterminées en multipliant la dérivée partielle de Y par 2 puis en déduisant le produit de la dérivée partielle de X.

La valeur obtenue après la multiplication de 2 avec la dérivée de Y est la suivante:

2 (90 -X-4Y) = 0

180 - 2X - 8Y = 0

La valeur obtenue à partir de la différence de l'équation précédente et de la dérivée de X serait:

(180 -2X- 8Y) - (50-2XY) = 0

130 - 7y = 0

Y = 19 (arrondir)

En mettant la valeur de Y dans la dérivée partielle de X, on obtient:

50 -2X - 18, 6 = 0

X = 16 (arrondir)

Par conséquent, pour maximiser les profits, l’organisation doit produire 16 unités de X et 19 unités de Y.

Dans un tel cas, le bénéfice total de l'organisation serait le suivant:

= 50X - X2 - XY + 90Y - 2Y2

= 50 (16) - (16) 2 - 16 * 19 + 90 (19) - 2 (19) 2

Π = 1228

Programmation linéaire :

La programmation linéaire fait référence à la technique mathématique utilisée pour résoudre les problèmes d'optimisation, tels que les problèmes de maximisation et de minimisation, des entreprises. Ces problèmes d'optimisation incluent des variables ayant des relations linéaires. En d’autres termes, la programmation linéaire constitue la meilleure solution pour l’allocation de ressources et pour le problème d’optimisation dans des conditions spécifiques. Cependant, l'application économique de la programmation linéaire est très rare car elle fournit moins d'informations sur le fonctionnement d'une économie.

Hypothèses de programmation linéaire :

Certaines hypothèses sont formulées pour résoudre les problèmes d'optimisation à l'aide de la programmation linéaire.

Ces hypothèses sont les suivantes:

je. Linéarité:

Suppose une relation linéaire entre les entrées et les sorties de la production. Ce n'est pas seulement une hypothèse, mais aussi une condition pour la programmation linéaire. Selon l'hypothèse de linéarité, le facteur de production fournit des rendements égaux à court terme. La relation linéaire entre entrée-sortie est représentée par une équation linéaire. Par exemple, une entreprise de fabrication nécessite 25 hommes (W), 10 machines (M) et 0, 6 tonne de matières premières (R) pour la production d'une unité de production (O).

Par conséquent, la relation entre entrée et sortie peut être représentée comme suit:

25W + 10M + 0.6R = 10

Cependant, cette hypothèse a limité l'application de la programmation linéaire aux relations linéaires entrée-sortie uniquement.

ii. Continuité:

Suppose que toutes les variables ne sont mesurables que si elles ont une valeur numérique. Selon cette hypothèse, seules les valeurs numériques assurent la continuité dans la mesure des variables.

iii. Indépendance et additivement:

Suppose que les variables et leurs valeurs numériques ne dépendent pas d'autres variables. Cela implique que les variables sont sélectionnées de manière aléatoire dans les limites. Une autre hypothèse est liée à la nature additive des variables à additionner. Si les variables ne peuvent pas être additionnées, elles n’ont aucune signification en programmation linéaire.

iv. Proportionnalité:

Suppose qu’il existe une relation proportionnelle entre les variables. La proportionnalité entre les variables reste la même tout en trouvant la solution du problème. Cela implique que la relation proportionnelle entre les variables est la même à tous les niveaux de production. Par exemple, si un produit nécessite 5 unités d’input pour produire une unité de sortie, la production de 10 unités de sortie nécessite 50 unités d’input.

v. Prix constant:

Suppose que les prix des intrants et des produits restent constants, quelle que soit la quantité vendue et achetée.

Application de la technique de programmation linéaire :

La technique de programmation linéaire aide à la prise de décision en trouvant une solution à divers problèmes, tels que la maximisation des bénéfices, la minimisation des coûts et les problèmes d'expansion. Laissez-nous comprendre l'application de la programmation linéaire dans la résolution de ces problèmes métier.

La technique de programmation linéaire est le plus souvent utilisée pour résoudre les problèmes de maximisation des profits. Par exemple, une organisation a deux produits, A et B, qui peuvent être produits à l'aide de deux entrées, P et Q. L'exigence de la quantité totale d'entrées par unité de temps par l'organisation est égale à P = 800 unités et Q = 1000. unités. Bénéfice produit par unité de A = Rs. 5 et B = Rs. 4

Les besoins en intrants par unité pour la production de A et B sont indiqués dans le tableau 2:

L'organisation requise pour connaître la combinaison des entrées pour le profit maximal (). Pour résoudre le problème précédent à l'aide de la technique de programmation linéaire, nous devons former des équations de programmation linéaire comme décrit dans les étapes suivantes:

1. Fonction objectif:

Fait référence à la première étape de la formulation de la fonction objectif pour résoudre le problème. Pour le tableau 2, la fonction objectif peut être représentée comme suit:

Maximiser π = 5A + 4B

Dans l'équation précédente, A et B représentent la quantité de production qui serait multipliée par le bénéfice par unité pour obtenir le bénéfice total. La technique de programmation linéaire permet de connaître les valeurs de A et B dans l’équation précédente.

2. Équations de contrainte:

Aide à la détermination du besoin d’intrants à produire par unité de sortie et du montant total des bénéfices disponibles pour l’organisation.

Par exemple, pour le présent exemple, l’équation de contrainte pour P peut être exprimée comme suit:

4A + 2B ≤ 800 P

L'équation précédente implique que l'apport total d'intrant P est égal à 800. Sur ce total, 4 unités d'intrant P sont utilisées pour la production du résultat A et deux unités d'intrant P sont utilisées pour la production du résultat B.

De même, nous pouvons trouver l'équation de contrainte pour Q qui peut être exprimée comme suit:

2A + 5B ≤ 1000 Q

Dans le cas de Q, l'offre totale est égale à 1000. Deux unités de l'entrée Q sont utilisées pour la production de la sortie A et 5 unités de l'entrée Q sont utilisées pour la production de la sortie B.

3. Condition de non-négativité:

Désigne la condition requise pour obtenir la solution plus réaliste du problème de maximisation. Il est possible que la solution de programmation linéaire contienne une valeur négative, ce qui n’est pas possible dans le monde réel. Par conséquent, pour éviter une telle situation, une approche non négative est adoptée.

Dans notre exemple, la condition de non-négativité peut être exprimée comme suit:

A ≥ 0 et B ≥ 0

L'équation de programmation linéaire complète peut être exprimée comme suit:

Maximiser π = 5A + 4B

Sujets à contraintes.

i) 4A + 2B ≥800

ii) 2A + 5B ≥ 1000

Où, A, B ≥ 0

To solve the preceding linear programming equations, the graphical method is used discussed below.

Graphical Method :

Graphical method is considered and the problem of linear programming he simplest method for solving linear programming problems. In the graphical method, the problem of linear programming can be solved by transforming the unequal constraint equation into an equal constraint equation, which is expressed as follows:

4A + 2B = 800 and 2B + 5B = 1000

Now, we can plot the constraints on a graph by calculating the values of A and B with the help of terminal points.

The calculation of A and B values with the help of terminal points are shown as follows:

Suppose, for constraint equation 4A + 2B = 800, A = 0,

Then, B = 800/2

B = 400

In case, B = 0,

Then, A = 800/4

A = 200

Similarly, for constraint equation 2a + 5B = 1000, a = 0,

Then, B= 1000/5

B=200

In case, B = 0,

Then, A= 1000/2

A=500

Let us plot the calculated equations of A and B on a graph, which is shown in Figure-5:

In Figure-5, OKM represents the feasibility area of P, while ONJ represents the feasibility area of Q. All the points that lie in the feasibility area are called feasible points. The shaded area, JLKO represents the points that satisfy all the conditions and assumptions of linear programming.

The points lie in area MLJ can only satisfy conditions of constraint P and LKN can only satisfy conditions of Q constraints only. JLKO is the only area that can satisfy the conditions of both P and Q constraints. In addition, it contains the solution of profit maximization problem.Now, we need to determine the point at which the combination of P and Q yields the maximum profit. This can be possible by plotting objective function on graph that would represent the iso-profit line for various output levels.

For this, we need to determine the slope of objective function as follows:

π = 5A + 4B

or B= [(π -5)/4] A

When Π = 0

B= (-5/4) A

Therefore, the slope of iso-profit line is equal to-5/4. This implies that the profit produced by one unit of B and 1.25 unit of A is same. With the help of slope of iso-profit, we can determine the various iso-profit lines and overlaid on the feasibility area for determining the point of maximum profit.

Iso-profit lines would be parallel because profit of A and B are constant, as shown in Figure-6:

In Figure-6, maximum profit of Rs. 2000 is not appropriate, as it does not feasible in the linear programming conditions. The iso- profits of Rs. 200 and Rs. 250 indicate the improper utilization of resources. Therefore, they would yield less profit. Only the iso-profit line of Rs. 1225 fetches the optimum utilization of resources; therefore, would yield maximum profit.

Thus, R is the point at which maximum profit can be generated, as shown in Table-3:

The combination of A and B for yielding maximum profit can be calculated as follows:

By constraint equation of P, we get

4A + 2 B = 800

A= (800-2B)/4

A= 200-(B/2)

Putting the value of A in the constraint equation of Q, we get

2A + 5B=1000

2[200 – (B/2)] + 5B = 1000

B = 150

Putting the value of B in equation (1), we get

A= 200-(150/2)

A= 200-75

A=125

Therefore, the maximum profit can be yielded when A= 125.and B = 150.

Cost minimization problem can also be solved with the help of linear programming technique. Let us understand it with the help of an example. Suppose a manufacturing organization requires 160 men (W'), 36 machines (M), and 48 tons of raw materials (R) for the production of product C and D.

The production conditions are given in Table-4:

The cost of production per product is Rs. 30, 000 for D and Rs. 10, 000 for C. The problem is to find out the output combination of products, C and D at the least cost.

The linear programming equation for the present problem would be as follows:

Minimize Cost = 10, 000 C + 30, 000 D

Subject to condition 10C + 40D ≥ 160

6C + 3D ≥36

4C + 8D ≥ 48

Where, C and D ≥ 0

The constraint equations with equality would be as follows:

10C + 40D= 160

6C + 3D = 36

4C + 8D = 48

Now, we can plot the constraint lines on a graph by calculating the values of C and D with the help of terminal points.

The calculation of the values of C and D with the help of terminal points is as follows:

Suppose for constraint equation of W, 10C + 40D = 160, C = 0

Then, D = 160/40

D = 4

In case, D = 0,

Then, C = 160/10

C = 16

Similarly, for constraint equation of M, 6C + 3D = 36, C = 0,

Then, D = 36/3

D = 13

In case, D = 0,

Then, C = 36/6

C = 4

For constraint equation of R, 4C + 8D = 48, C = 0,

Then, D = 48/8

D = 6

In case, D = 0,

Then, C = 48/4

C = 12

Let us plot the calculated equations of C and D on the graph as shown in Figure-7:

In Figure-7, MN line represents the line of labor constraint, JK and TR represents the line of constraints for other inputs. These lines are also termed as iso-cost. The optimum solution for the minimization problem lies in the feasibility space. The iso-cost line for optimum solution is IC.

The combination of output of C and D, at which the cost is minimum, is determined in Table-5:

In Table-5, the least cost is at point P of iso-cost line IJ. At point P, the production of C is 8 units while of D are 2 units.

 

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