Théorie des préférences révélées (RPT) (avec diagramme)

Dans cet article, nous discuterons de la théorie de la préférence révélée (RPT) proposée par le prof. Samuelson.

Le concept de préférence révélée :

Le professeur Samuelson a inventé une approche alternative à la théorie du comportement du consommateur qui, en principe, n’oblige pas le consommateur à fournir des informations sur lui-même.

Si ses goûts ne changent pas, cette théorie, connue sous le nom de théorie des préférences révélées (RPT), nous permet de découvrir tout ce que nous devons savoir simplement en observant son comportement sur le marché, en voyant ce qu'il achète à des prix différents, en supposant que ses acquisitions et les expériences d'achat ne changent pas ses préférences ni ses désirs d'achat.

Avec suffisamment d'informations de ce type, il est même théoriquement possible de reconstruire la carte d'indifférence du consommateur.

Le RPT de Samuelson est basé sur une idée assez simple. Un consommateur décidera d’acheter une combinaison particulière d’articles soit parce qu’il l’aime plus que les autres combinaisons dont il dispose, soit parce qu’il s’avère qu’il est bon marché. Supposons, nous observons que sur deux collections de biens proposés à la vente, le consommateur choisit d’acheter A, mais pas B.

Nous ne sommes donc pas en mesure de conclure qu'il préfère A à B, car il est également possible qu'il achète A, car A est la collection la moins chère, et il aurait en fait été plus heureux s'il avait obtenu B. Mais les informations de prix peuvent être capable de lever cette incertitude.

Si leurs étiquettes de prix nous indiquent que A n'est pas moins cher que B (ou que B n'est pas plus cher que A), il n'y a qu'une explication plausible du choix du consommateur: il a acheté A parce qu'il l'a aimé mieux.

Plus généralement, si un consommateur achète une collection de produits, A plutôt que l'une des collections alternatives B, C et D et s'il s'avère qu'aucune de ces dernières collections n'est plus chère que A, on dit alors que A a été révélé préféré aux combinaisons B, C et D ou que B, C et D se soient révélés inférieurs à A.

Par conséquent, si le consommateur achète la combinaison E 1 (x 1, y 1 ) des produits X et Y et n'achète pas la combinaison E 2 (x 2, y 2 ) aux prix (p1 x, p1 y, ) de les marchandises, nous pourrions alors dire qu'il préfère la combinaison E 1 à la combinaison E 2, si nous obtenons

L'ensemble complet des combinaisons des marchandises X et Y auxquelles une combinaison particulière est préférée est indiqué à l'aide de la ligne de prix du consommateur. Supposons que la ligne budgétaire du consommateur soit L 1 M 1 sur la figure 6.104 et que l'on observe qu'il achète la combinaison E 1 (x 1, y 1 ) qui se trouve sur cette ligne.

Maintenant, puisque les coûts de toutes les combinaisons qui figurent sur la ligne budgétaire sont les mêmes que ceux de E 1 et que les coûts de toutes les combinaisons qui se trouvent en bas et à gauche de la ligne budgétaire sont inférieurs à ceux de E 1, nous peut dire que E 1 se révèle préférable à toutes les combinaisons situées sur ou sous la ligne budgétaire du consommateur.

Encore une fois, les coûts des combinaisons situées au-dessus et à droite de la ligne budgétaire étant supérieurs à ceux de E 1, on ne peut pas dire que le consommateur préfère E 1 à ces combinaisons lorsqu'il est observé qu'il achète E 1, car ici E 1 est la combinaison la moins chère.

Nous devons noter ici la différence entre «préférence» et «préférence révélée». La combinaison A est "préférée" à B implique que le consommateur se classe A devant B.

Mais A est “révélé préféré à B” signifie que A est choisi lorsque B est abordable (pas plus cher). Dans notre modèle de comportement du consommateur, nous supposons généralement que les personnes choisissent la meilleure combinaison à leur disposition, que les choix qu’elles font soient préférés aux choix qu’ils auraient pu faire. C'est-à-dire que si (x 1 y 1 ) se révèle directement préférable à (x 2, y 2 ), alors (x 1, y 1 ) est, en fait, préféré à (x 2, y 2 ).

Énumérons maintenant le principe de RP plus formellement:

Supposons que le consommateur achète la combinaison (x 1, y 1 ) au prix fixé (p ' x, P' y ) supposons également qu’une autre combinaison est (x 2, y 2 ), telle que p ' x 1 + p ' y y 1 ≥ p' x x 2 + p ' y y 2 . Maintenant, si le consommateur achète la combinaison préférée en fonction de sa contrainte budgétaire, nous dirons que la combinaison (x 1, y 1 ) est strictement préférée à la combinaison (x 2, y 2 ).

Les hypothèses :

À l'aide du principe simple du RP, nous pouvons construire une théorie puissante de la demande des consommateurs. Les hypothèses que nous allons faire ici sont:

(i) Le consommateur n’achète et n’utilise que deux produits (X et Y). Les quantités x et y de ces biens sont des variables continues.

(ii) Ces deux produits sont de type MIB (plus-mieux-meilleur). Cette hypothèse est également appelée hypothèse de monotonie. Cette hypothèse implique que les circuits intégrés du consommateur sont en pente négative.

(iii) Les préférences du consommateur sont strictement convexes. Cette hypothèse implique que les circuits intégrés du consommateur seraient convexes à l'origine, ce qui implique encore qu'il ne serait obtenu qu'un seul point (le point de tangence) de la ligne budgétaire du consommateur qu'il choisirait par rapport à tous les autres prix abordables. combinaisons.

Cette hypothèse est très importante. Sur la base de cette hypothèse, nous obtiendrons une relation univoque entre la situation prix / revenu du consommateur et sa ligne budgétaire et son choix d’équilibre - pour une ligne budgétaire donnée du consommateur, on obtiendrait un et un seul équilibre. combinaison de biens et pour que toute combinaison soit équilibrée, on obtiendrait une et une seule ligne budgétaire.

(iv) La quatrième hypothèse de la théorie de la RP est connue sous le nom d'axiome faible de la RP (WARP). Ici, nous supposons que si le consommateur choisit la combinaison E 1 (x 1, y 1 ) plutôt qu'une autre combinaison abordable E 2 (x 2, y 2 ) dans une situation donnée de prix, alors il ne choisirait en aucun cas E 2 E 1 si E 1 est abordable.

En d'autres termes, si une combinaison E 1 est révélée préférée à E 2, alors E 2 ne peut en aucun cas être révélée préférée à E 1 .

(v) La cinquième hypothèse de la théorie de la RP est connue sous le nom d'axiome fort de la RP (SARP). Selon cette hypothèse, si le consommateur, dans différentes situations de prix-revenus, révèle que la combinaison E 1 est préférée à E 2, E 2 à E 3, …, E k-1 à E k, alors E 1 serait révélée préférée à E k et E k ne seraient jamais révélés (sans aucune situation de prix-revenu) à E 1 .

Préférence révélée - directe et indirecte :

Si RP est limité à seulement deux combinaisons de biens, E 1 et E 2, et si, dans une situation de rapport prix / revenu particulière, E 1 (x 1, y 1 ) est révélé préférable à la combinaison E 2 (x 2, y 2 ), on dit alors que E 1 est révélé directement préféré à E 2 .

Mais si les préférences sont considérées pour plus de deux combinaisons et si elles sont établies par le biais de la transitivité de RP, il s'agit alors d'une préférence révélée indirectement. Par exemple, si E 1 est préféré préféré à E 2, …, E k-1 à E k, alors, par SARP, nous dirons que E 1 est indirectement révélé préférable à E k .

Violation de la WARP :

Considérons la figure 6.105. Supposons ici que, dans la situation prix-revenu représentée par la ligne budgétaire L 1 M 1, le consommateur achète la combinaison E 1 (x 1, y 1 ) et révèle la combinaison E 1 (x 1 y 1 ) préférée. E 2 (x 2, y 2 ).

Car ici, il choisit E 1 plutôt que la combinaison abordable E 2 . Supposons encore une fois que lorsque le poste budgétaire du consommateur change de L 1 M 1 à L 2 M 2, le consommateur achète la combinaison E 2 (x 2, y 2 ), bien qu'il aurait pu obtenir la combinaison abordable E 1. (x 1, y 1 ), c’est-à-dire que sous L 2 M 2, E 2 est révélé préférable à E 1 .

Ce que nous avons vu ici, c’est que sous la ligne budgétaire, L 1 M 1, la combinaison E 1 est révélée préférée à E 2 et sous une ligne budgétaire différente, L 2 M 2, E 2 est indiquée comme préférée à E 1 . De toute évidence, le consommateur ici enfreint le WARP.

La raison de cette violation peut être que le consommateur ne cherche pas ici à obtenir la combinaison la plus avantageuse, dans la mesure où il est soumis à des contraintes budgétaires. ou bien il se peut que son goût ou un autre élément de son environnement économique ait changé, ce qui aurait dû rester inchangé selon nos hypothèses.

Maintenant, quelle que soit la raison de la violation de WARP, cette violation n’est pas conforme au modèle de comportement du consommateur dont nous discutons.

Le modèle suppose que le consommateur souhaite maximiser son niveau de satisfaction. C'est pourquoi, lorsqu'il choisit une combinaison particulière, par exemple, E 1, en fonction de son budget, il doit être le plus «préféré» de toutes les autres combinaisons abordables, et aucune de ces «autres» combinaisons ne peut être «préférée» à E 1 avec un budget différent. WARP met l'accent sur ce point simple mais important. Nous pouvons donner la déclaration officielle de WARP de la manière suivante.

Si une combinaison particulière E 1 (x 1 y 1 ) est révélée directement par le consommateur comme préférée à une combinaison différente E 2 (x 2, y 2 ), alors E 2 ne sera jamais révélée par le consommateur comme préférée à E 1 .

En d’autres termes, s’il observe que le consommateur achète E 1 (x 1, y 1 ) au prix fixé (p x (1), p y (1)) et E 2 (x 2, y 2 ) au prix set (p x (1), p y (2)), alors si (6.138) ci-dessous est vrai, alors (6.139) ne doit jamais être:

Comme nous l’avons vu, WARP a été violé sur la figure 6.105, lorsque le consommateur achète la combinaison E 1 sur L 1 M 1 et E 2 sur L 2 M 2 . Ici, l'ordre des préférences du consommateur se décompose. On peut vérifier sur la figure 6.105 que la tangente IC à L 1 M 1 en E 1 et la tangente IC à L 2 M 2 en E 2 ne peuvent pas être intersectées dans ce cas.

Sur la figure 6.106, supposons au contraire que le consommateur achète la combinaison E 1 sur L 1 M 1 et la combinaison E 2 sur L 2 M 2 . Ici, quand il achète E 1, il choisit E 1 plutôt que la combinaison abordable E 2, c’est-à-dire que E 1 est préféré à E 2 . Mais lorsqu'il achète E 2, il choisit E 2 plutôt qu'un E 1 inabordable, c'est-à-dire que E 2 n'est pas révélé préféré à E 1 .

Par conséquent, ici, WARP n'est pas enfreint et, par conséquent, l'ordre des préférences du consommateur ne tombe pas en panne. On peut voir sur la figure 6.106 que la tangente IC à L 1 M 1 en E 1 et la tangente IC à L 2 M 2 en E 2 seraient non sécantes.

Importance de la SARP :

Discutons maintenant de la signification du fort axiome de préférence révélée (SARP). Selon cet axiome, si le consommateur révèle une combinaison E 1 (x 1, y 1 ) préférée à une autre combinaison E 2 (x 2, y 2 ) et si E 2 (x 2, y 2 ) est révélée préférée à E 3 (x 3, y 3 ) puis E, sera toujours révélé préféré à E 3 .

Ceci peut être appelé la transitivité des préférences révélées. Maintenant, si le consommateur est celui qui maximise l'utilité, alors la transitivité des préférences révélées conduirait à une transitivité des préférences - si E 1 est préféré à E 2 et E 2 à E 3, E 1 serait préféré à E 3 .

Mais cela est nécessaire pour garantir que les CI ne se croisent pas et que les CI non intéressants sont nécessaires pour parvenir à la solution de maximisation de l’utilité. Il est évident que si l'un des WARP et SARP est enfreint, le consommateur ne pourra pas maximiser son utilité.

Théorie des préférences révélée et théorème de Slutsky :

Voyons maintenant comment le RPT peut être utilisé pour prouver le théorème de Slutsky qui stipule que si l'effet de revenu (IE) d'un produit est ignoré, sa courbe de demande doit avoir une pente négative. Pour expliquer cela, nous prendrons l'aide de la Fig. 6.107.

Sur cette figure, Soit E 1 (x 1, y 1 ) la combinaison de biens que le consommateur achète initialement lorsque la ligne de son budget est de L 1 M 1 . Nous voulons montrer ici qu'une baisse ceteris paribus du prix du bien X de L 1 M 1 augmentera l'achat du bien si nous ne tenons pas compte de l'effet de revenu, c'est-à-dire si nous ne considérons que l'effet de substitution (SE).

Supposons que la ligne budgétaire imaginaire pour Slutsky-SE soit égale à 2 millions de L 2 . Cette ligne sera plus plate que L 1 M 1, puisque le prix de X est tombé, toutes choses étant égales par ailleurs, et que cette ligne (L 2 M 2 ) passera par la combinaison E, de sorte que, conformément à la condition Slutsky, le consommateur pourrait: être en mesure d'acheter la combinaison initiale, s'il le souhaitait, dans les nouvelles circonstances.

Voyons maintenant, à cause de la SE, le point que le consommateur peut sélectionner sur la ligne budgétaire imaginaire L 2 M 2 (si elle est différente de E) serait un point comme E 2 à droite du point E 1 Pour prouver que cela doit en être ainsi, nous devons noter que la sélection de tout point de L 2 M 2, tel que E 3 situé à gauche de E 1, est exclue par WARP.

En effet, initialement, E 1 a été révélé être préféré à E 3, car E 3 est inférieur à L 1 M 1 . Mais si E 3 ont été choisis alors que la ligne de prix était L 2 M 2, il (E 3 ) est révélé préféré à E 1 car E 1 n’est pas plus cher que E 3 (car ils se trouvent tous deux sur la même ligne budgétaire L 2 m 2 ). Dans ce cas, on obtient que E 1 est révélé préféré à E 3, et inversement, ce qui constitue une violation de WARP.

Ainsi, aucun point sur L 2 M 2 qui, comme E 3, se trouve à gauche de E 1, ne peut être choisi. Par contre, si le consommateur choisit un point tel que E 2 sur L 2 M 2 à droite de E 1, il n’ya pas de mal à l’axiome faible, car lorsqu’il achète E 2, E 2 est révélé préféré aux combinaison pas plus chère E 1 mais, au départ, lorsqu’il a acheté E 1 (sur L 1 M 1 ) et non un point comme E 2, il l’a fait, car E 1 était moins cher que ces points.

D'après l'analyse, il est clair que la SE d'une baisse du prix de X augmentera généralement la demande pour la marchandise X relativement moins chère en un point tel que E 2 à droite de E 1 . Ainsi, le théorème de Slutsky est déduit de l'approche des préférences révélées.

Nous avons vu que si le prix de X baissait, ceteris paribus, et si l’effet de cette baisse sur le revenu était ignoré, la SE augmenterait la demande de X, c’est-à-dire que la courbe de la demande de X serait inclinée négativement et loi de la demande est obtenue.

De préférence révélée à préférence:

Le principe de préférence révélée (RP) est assez simple, mais en même temps très puissant. Soutenu par les hypothèses que nous avons formulées, le RPT nous permet d’obtenir le schéma de préférences ou les courbes d’indifférence (CI) du consommateur à partir de ses préférences révélées.

Aucune donnée introspective n'est requise du consommateur pour accomplir cette tâche. Si nous connaissons la situation prix / revenu du consommateur représentée par sa ligne budgétaire et son point de préférence révélé, ce serait le cas. Le processus d'obtention du CI est décrit ci-dessous.

Supposons que la ligne budgétaire du consommateur soit L 1 M 1 sur la figure 6.108 et que la combinaison des biens que le consommateur est censé acheter achète correspond à E 1 (x 1, y 1 ). Comme nous le savons, le consommateur préfère ici le point E, directement à tous les autres points de la ligne budgétaire ou de la zone OL 1 M 1 . Car, malgré tous ces points relevant de son budget, il achète E 1 . «Tous ces points» sont considérés comme «pires» que E 1 .

Par ailleurs, les coûts de toutes les combinaisons situées à droite de la ligne budgétaire L 1 M 1 sont supérieurs à ceux du point E 1 ou E 1 est moins cher que ces points. Apparemment, le consommateur choisit E 1 au- dessus de ces points car ils sont plus chers, et nous ne pouvons rien dire sur la préférence «révélée» de E 1 à aucun de ces points.

C’est pourquoi la zone située dans l’espace des marchandises à droite de L 1 M 1 est appelée zone d’ignorance. Nous verrons cependant, à l'aide des hypothèses du RPT, que certains des points relevant du domaine de l'ignorance sont directement ou indirectement préférés ou inférieurs à E 1 et que certains points sont indifférents à E 1 .

Ces derniers points, indifférents à E 1, nous donnent la courbe d’indifférence (IC) passant par E 1. Voyons maintenant comment on peut en déduire cette courbe.

Au tout début, considérons la zone K 1 E 1 B 1 . Les combinaisons de produits (à l'exception de E 1 ) appartenant à cette zone sont directement préférables au consommateur par rapport à E 1, car toutes ces combinaisons ont plus d'un ou des deux produits que le point E 1 . Ces combinaisons peuvent être appelées les «meilleures» combinaisons.

Jusqu'à présent, nous avons obtenu que le consommateur préfère directement E 1 aux points situés à gauche de la ligne budgétaire L 1 M 1, c'est-à-dire ceux situés dans la zone OL 1 M 1 et il préfère directement les points situés dans la zone K 1 E 1 B 1 à E 1 . Par conséquent, son circuit intégré passant par le point E 1, s’il est obtenu, serait réparti dans l’espace situé entre ces deux zones et toucherait la ligne L 1 M 1 et la zone K 1 E 1 B 1 au point E 1 .

Considérons maintenant les points de la zone d’ignorance situés au-dessus de la ligne L 1 M 1 et situés en dehors de la zone K 1 E 1 B 1 . Dans un premier temps, nous essaierons d'identifier les points que le consommateur préfère moins à E 1 - ces points peuvent être qualifiés de «pires» points. Pour ce faire, considérons tout point E 2 situé sur L 1 M 1 à droite de E 1 .

Supposons que l'on observe que le consommateur achète E 2 lorsque sa ligne budgétaire est de 2 M 2 . Il révèle donc que le point E 2 est préféré aux points situés à gauche de la ligne budgétaire L 2 M 2 . Comme E 1 a déjà été révélé préféré à E 2, le consommateur préfère E 1 à tous ces points situés dans la zone OL 2 M 2 .

Dans la mesure où une partie de cette zone, à savoir, □ OL 2 E 2 M 1, appartient à la zone OL 1 M 1, ici, l’augmentation nette de la zone des points «moins bons» est égale à □ E 2 M 1 M 2 . Le consommateur préfère E 1 indirectement aux points de cette zone par le biais de la combinaison E 2 - il préfère E 1 à E 2 et E 2 à ces points.

On peut encore augmenter la zone des «pires» points à droite de E 1 en considérant tout autre point E 3 situé sur la ligne L 1 M 1 à droite de E 2 . Supposons que le consommateur achète E 3 lorsque la ligne budgétaire correspond à 3 M 3 . C'est-à-dire qu'il révèle que le point E3 est préféré aux points situés dans la zone OL 3 M 3 .

Encore une fois, puisque E 1 a déjà été révélé préférable à E 3, on peut dire qu'il préfère E 1 à ces points dans la zone OL 3 M 3 . Ici, l’augmentation nette dans la zone de points inférieure à E 1 a été □ SM 2 M 3 . Le consommateur préfère E 1 indirectement (par le point E 3 ) aux points □ SM 2 M 3 .

Jusqu'ici, nous avons vu comment nous pourrions réduire le domaine de l'ignorance en considérant les points de la ligne budgétaire L 1 M 1 à droite de E 1 . Nous pouvons également faire ce travail en considérant les points sur L 1 M 1 à gauche de E 1 . Supposons que E 4 soit un point quelconque sur L 1 M 1 situé à gauche de E 1 et que le consommateur soit réputé acheter E 4 lorsque sa ligne budgétaire correspond à 4 M 4 .

Le point E 4 se révèle donc préférable aux points situés dans la zone OL 4 M 4 . Mais le point E 1 a déjà été révélé préféré au point E 4 et le consommateur préfère donc E 1 à ces points. Ici, si on omet la partie commune des zones OL 1 M 1 et OL 4 M 4, on obtient que le consommateur préfère indirectement E 1 aux points de □ E 4 L 1 L 4 .

Nous avons donc pu réduire la zone d'ignorance de □ E 4 L 1 L 4 . Nous pouvons ainsi continuer à réduire la zone d’ignorance en considérant plus de points sur L 1 M 1 situés à gauche du point E 1 .

Jusqu'ici, nous avons réduit la zone d'ignorance en augmentant la zone des combinaisons «pires». Nous pouvons maintenant voir comment augmenter la zone de «meilleures» combinaisons en dehors de la zone K 1 E 1 B 1 et ainsi réduire davantage la zone d’ignorance. Supposons que l'on observe que le consommateur achète le point E 5 lorsque sa ligne budgétaire est G 1 E 1 H 1 .

Dans ce cas, le consommateur préférera tous les points de la zone K 2 E 5 B 2 au point E 5, car ces points possèdent plusieurs des produits. En outre, il est maintenant révélé que le consommateur préfère E 5 à E 1, car il choisit E 5 plutôt que E 1 à un prix abordable. Par conséquent, nous obtenons ici que les points situés dans la zone K 2 E 5 B 2 sont «meilleurs» que le point E 1 .

Ici, si nous omettons la portion de □ K 2 E 5 B 2 qui est commune à □ K 1 E 1 B 1, nous constatons qu'il y a eu une augmentation nette dans la zone des «meilleurs» points et une diminution nette dans la zone d'ignorance - cette augmentation nette est représentée par la zone située entre les lignes K 2 E 5, K 1 T et E 5 T.

Là encore, en raison de nos hypothèses de préférence convexe et de MIB, le consommateur préférera les points de □ E 1 E 5 T à E 1 . Par conséquent, ce domaine est également ajouté au domaine des «meilleures» combinaisons et le domaine de l'ignorance est réduit en conséquence. Nous pourrions continuer à augmenter le nombre de «meilleures» combinaisons de cette manière. Par exemple, on observe que le consommateur achète le point E 6 de la ligne budgétaire G 2 E 1 H 2 .

Nous constatons ici que la surface des «meilleurs» points augmente de la surface entre les lignes RB 1 RE 6 etE 6 B 3 plus la surface E 1 E 6 R. Par conséquent, ces zones sont également ajoutées à la zone. de «meilleures» combinaisons et la zone d'ignorance est réduite en conséquence.

Dans la figure 6.108, nous avons vu que, sur la base de l'idée de préférence révélée et à l'aide des hypothèses retenues, nous pouvons continuer à augmenter la surface des combinaisons qui sont «pires» qu'une combinaison particulière E 1 d'en bas. et nous pouvons aussi continuer à augmenter la surface des combinaisons qui sont «meilleures» que celles de E 1 d’en haut.

À la limite, la zone entre ces deux zones serait réduite à une courbe d'indifférence. En appliquant les méthodes de calcul avancées et aussi intuitivement, nous pouvons obtenir que cette courbe d'indifférence du consommateur passerait par le point E 1 se situerait entre les deux chemins comme K 2 E 5 E 1 E 6 B 3 et L 4 E 4 E, E 2 SM 3 et serait convexe à l'origine.

Nous avons vu comment nous pouvons obtenir le circuit intégré d'un consommateur grâce à une combinaison particulière E 1 . En appliquant le même processus, nous pouvons obtenir son CI par n'importe quel autre point de l'espace marchand, c'est-à-dire obtenir sa carte d'indifférence.

Voyons maintenant, à l'aide de la figure 6.109, comment nous pouvons conclure intuitivement que la limite entre les zones de combinaisons «meilleures» et «pires» que tout point E 1 est un circuit intégré passant par ce point.

Dans la Fig. 6.109, nous avons indiqué que les zones de combinaisons meilleures et pires que E 1 ont été configurées pour se rapprocher les unes des autres et que, dans la limite, l’écart entre elles ressemble à un circuit intégré. En réalité, ce serait un circuit intégré par E 1 Nous pouvons comprendre cela de la manière suivante.

Déplaçons-nous verticalement d'un point à un autre dans l'espace marchand de la figure 6.109 à partir de n'importe quel point tel que N, (x °, y 1 ) de la zone des combinaisons les plus défavorables. En montant verticalement, la quantité de bien X reste la même en x 0 et celle de bien en Y augmente et, finalement, très près de la limite de la «pire» zone, nous arriverons à un point tel que N 2 (x °, y 2 ).

Supposons que si nous continuons à monter légèrement au-delà de N 2, nous arriverons à un point N 3 (x °, y 3 ) dans la zone des «meilleures» combinaisons. Maintenant, nous pouvons facilement comprendre intuitivement qu’il existe un point N * (x 0, y *), y 2 <y * <y 3, dans l’écart vertical infiniment petit entre les points N 2 et N 3 qui n’est ni pire ni meilleur que E 1 mais qui est indifférent à E 1 .

Par conséquent, si nous joignons les points E 1 et les points tels que N * par une courbe, nous obtiendrions le circuit intégré requis par E 1 .

Courbe d'indifférence, préférence révélée et indice du coût de la vie :

Considérons d’abord deux formules d’indice de prix. L'une est la formule de Laspeyre et l'autre, celle de Paasche. L'indice de prix de Laspeyre est le rapport entre deux agrégats: le total des prix de l'année en cours aux quantités de l'année de base et celui des prix de l'année de base aux quantités de l'année de base. Supposons qu'un particulier achète deux biens.

Les prix des marchandises pour l’année de base et l’année en cours sont les prix p 01, p 02 et p t1, p t2 . Les quantités achetées par le consommateur pour l'année de base et l'année en cours sont également q 01, q 02 et q t1, q t2 . Alors l'indice de prix de Laspeyre serait

Ici, les quantités de marchandises de l'année de base ont été prises comme poids de leurs prix. L nous donne l'indice de prix de l'année en cours si l'indice de prix de l'année de base est 1. Par exemple, si L = 1, 5, nous obtenons cet indice de prix de l'année en cours égal à 1, 5 lorsque l'indice de prix de l'année de base est 1, c'est-à-dire 50% de plus que l'année de base pour l'année en cours.

L'indice de prix de Laspeyer peut être interprété d'une autre manière. Le numérateur du côté droit de (6.140) nous donne le coût du panier de biens de l'année de base (q 01, q 02 ) aux prix de l'année en cours (p t1, p t2 ), et le dénominateur nous donne le coût de achat du même panier de biens aux prix de l'année de base (p 01, p 02 ).

Dans cette optique, L = 1, 5 indique que le coût d'achat du panier de marchandises de l'année de base a augmenté de 50% au cours de l'année en cours par rapport à l'année de base. Autrement dit, le numéro d'indice de prix de Laspeyre, L, peut également être considéré comme l'indice de coût de la vie de Laspeyre.

Venons-en maintenant au numéro d’indice des prix de Paasche, qui est le rapport entre le prix global de l’année en cours aux quantités de l’année en cours et celui des prix de l’année de base aux quantités de l’année en cours. Par conséquent, nous obtenons le numéro d’indice de prix de Paasche comme suit:

Ici, les quantités de marchandises de l'année en cours ont été prises comme poids de leurs prix. Tout comme l'indice de prix de Laspeyre, l'indice de prix de Paasche peut également être considéré comme l'indice de coût de la vie de Paasche. Il nous donne le pourcentage d'augmentation du coût d'achat du panier de biens de l'année en cours pour l'année en cours par rapport à l'année de base.

Venons-en maintenant aux dépenses totales du consommateur pour l’année de base et pour l’année en cours. Dans l'année de base, ses dépenses totales sont, par exemple, de E 0 et il achète les quantités q 01 et q 02 aux prix p 01 et p 02 . Par conséquent, sa ligne budgétaire pour l'année de base est

E 0 = p 01 q 01 + p 02 q 02 (6.142)

De même, pour l'année en cours, ses dépenses totales sont, par exemple, E t, et il achète les quantités q tI et q t2 aux prix p t1 et p t2 . Par conséquent, sa ligne budgétaire pour l'année en cours est

E t = p t1 q t1 + p t2 q t2 (6.143)

Comme on suppose que les dépenses sont égales aux revenus, E t / E 0 nous donne l'indice de variation du revenu du consommateur pour l'année en cours par rapport à l'année de base. C’est-à-dire que l’indice de variation du revenu monétaire est

Cela signifie que le coût du panier de l'année de base aux prix de l'année en cours est inférieur aux dépenses de l'année en cours. En d’autres termes, au cours de l’année en cours, le consommateur peut acheter le panier de l’année de base, s’il le souhaite, mais il a choisi de ne pas acheter ce panier. Cela signifie qu'il préfère le panier de l'année en cours au panier de l'année de base, c'est-à-dire qu'il est mieux loti pour l'année en cours que pour l'année de base.

En divisant les deux côtés de l’inégalité (6.145) par E 0, on obtient

Par conséquent, (6.145) impliquant (6.146) nous donne la condition pour que le consommateur soit mieux loti dans la période en cours au cours de la période de base. Considérons maintenant le cas suivant:

Cela signifie que le coût du groupe de l'année en cours aux prix de l'année de base est inférieur aux dépenses de l'année de base. Cela implique que le consommateur a peut-être acheté le panier de l'année en cours pour l'année de base, mais il a choisi de ne pas acheter ce panier.

Ainsi, il a préféré le panier de l'année de base et a eu une meilleure situation dans la période de base par rapport à la période en cours. En d'autres termes, il est moins bien loti l'année en cours que l'année de base. En divisant les deux côtés de (6.147) par E t on a

Par conséquent, (6.147) impliquant (6.148) nous donne la condition pour que le consommateur soit mieux loti dans la période de base ou pire dans la période actuelle.

D'après (6.149), ce qui implique (6.150), nous obtenons que le coût du panier de l'année de base aux prix de l'année en cours est supérieur aux dépenses de l'année en cours. Par conséquent, le panier de l'année de base n'est pas disponible pour le consommateur dans l'année en cours.

C'est-à-dire qu'il achète le panier de l'année en cours non pas parce qu'il le préfère au panier de l'année de base, mais parce qu'il est moins cher. Par conséquent, nous ne pouvons pas dire que le consommateur se porte mieux l'année en cours par rapport à l'année de base.

De même, si on suppose:

D'après (6.151), ce qui implique (6.152), nous obtenons que le coût du panier de l'année en cours dans l'année de base est supérieur au revenu de l'année de base. Par conséquent, le consommateur achète le panier de l'année de base au cours de l'année de base, non pas parce qu'il le préfère, mais parce qu'il est moins cher que le panier de l'année en cours. Par conséquent, on ne peut pas dire ici qu’il est mieux dans l’année de base par rapport à l’année en cours ou pire dans l’année de référence.

Ce que nous avons obtenu ci-dessus est que si E> L, tel que donné par la condition (6.146), le consommateur est mieux loti l'année en cours par rapport à l'année de base. Par contre, si E <P, comme indiqué par (6.148), le consommateur est mieux loti dans l’année de base que dans l’année en cours.

Nous pouvons utiliser les courbes d'indifférence du consommateur pour illustrer ces points. La figure 6.110 illustre le premier cas: le consommateur est mieux loti l’année en cours que l’année de base.

Ici, au cours de l'année en cours, le consommateur achète au point C t de la ligne budgétaire de l'année en cours et achète pour l'année de base au point C 0 de la ligne budgétaire de l'année de base. La figure 6.110 montre que C t se trouve sur le CI supérieur, à savoir, IC 2, et C 0 se trouve sur le CI inférieur, à savoir, IC 1 .

De même, la figure 6.111 illustre le deuxième cas, à savoir que le consommateur est mieux loti l'année de base que l'année en cours. On voit sur cette figure que C 0 se trouvant sur la ligne budgétaire de l'année de base, est placé sur un CI supérieur, à savoir, IC 2, et C t situé sur la ligne budgétaire de l'année en cours, est placé sur un CI inférieur, à savoir ., IC 1 .

De l'analyse ci-dessus, notamment des inégalités (6.146), (6.148), (6.150) et (6.152), on peut distinguer quatre cas:

(i) E est supérieur à la fois à L et à P (E> L, E> P). Ici par (6.146), c'est-à-dire E> L, le consommateur est mieux loti l'année en cours par rapport à l'année de base. Par contre (6.152), c’est-à-dire E> P, le niveau de vie ne tombe pas dans l’année en cours. Par conséquent, l'individu est nettement mieux dans la période actuelle.

(ii) E est inférieur à la fois à P et à L (E <P, E <L). Ici, il découle de (6.148) que si E <P, le consommateur serait mieux loti pour l'année de base, et de (6.150) que si E <L, le consommateur ne s'en porterait pas mieux pour la période en cours. Encore une fois, nous obtenons une réponse sans équivoque selon laquelle si E <P et E <L, le consommateur s'en porterait mieux pendant la période de base, c'est-à-dire que son niveau de vie baisse pour la période en cours par rapport à ce qu'il était pendant la période de base.

(iii) L> E> P. Si L> E, ou EP, alors par (6.152), nous ne pouvons pas dire qu'il serait mieux loti l'année de base. Par conséquent, dans ce cas, aucune conclusion définitive ne peut être tirée en ce qui concerne l'amélioration ou la détérioration du niveau de vie du consommateur entre les deux périodes.

(iv) P> E> L. Si P> E, ou EL, puis de (6.146), le niveau de vie du consommateur augmente au cours de l'année en cours, puisqu'il préfère le panier de l'année en cours à celui de l'année de base.

Par conséquent, dans ce cas également, nous ne pouvons pas tirer de conclusion définitive concernant un changement du bien-être du consommateur, et il s’agit de la situation dans laquelle le faible axiome de la théorie des préférences révélées a été violé.

Cette situation est illustrée à la Fig. 6.112. Here the base period budget line is P 0 P' 0 and the current period budget line is P 1 P' 1 . Let us suppose that the consumer chose R (q 01, q 02 ) on IC 1 when the budget line was P 0 P 0 'and T (q t1, q t2 ) on IC 2 when the budget line was P 1 P 1 '. Since LL' lies below P 1 P 1 ' and is parallel to it and since R is on LL' and T is on P 1 P 1 ', it must be true that expenditure at R at (p t1, p t2 ) must be less than that at T at (p t1, p t2 ), ie, we would have

Also, since the point T (q t1, q t2 ) is on MM' which is parallel to p 0 p 0 but lies below it, T has the same prices as p 0 p 0 ' but has less expenditure than the point R (q 01, q 02 ) which lies on P 0 P 0 ', ie, we have

Thus, we have P > E > L. But in this case, there is inconsistency. This is also obvious from Fig. 6.112. The consumer could have purchased T in the base period, since T lies below the base period budget line p 0 p 0 ', but he actually chose R, implying that he prefers R to T.

But in the current period, he could have had R, since R lies below the current period budget line P 1 P 1 ', but he chose T, implying that he prefers T to R.

This is inconsistent if his tastes remain unchanged between the base period and the current period, and the weak axiom of revealed preference is not complied with. This inconsistency is also reflected in the fact that the ICs through R and T, viz., IC 1 and IC 2, have not been obtained to be non-intersecting—they have intersected at the point S.

We have seen, therefore, that it is sometimes possible to determine whether the consumer's standard of living has increased or decreased by means of index number comparisons. However, there may be situations where we cannot arrive at any definite conclusions or where the results may be contradictory.

Example 1 :

When two commodity baskets are purchased by the consumer at two different points in time, explain how price weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference.

Solution:

We have to explain how price-weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference. Let us suppose that in the base period '0', a consumer is observed to purchase the combination q 0 (q 01, q 02 ) of two goods Q 1 and Q 2 at the price set p 0 (p 01, p 02 ) and in the current period 't' he is observed to purchase the combination q t (q t1, q t2 ) of the goods at the price set p t (p t1, p t2 ).

Therefore, the costs of purchasing the combination q 0 at the price set p 0 and p t are

Again, the costs of purchasing the combination q t at the price set p 0 and p t are

In the base period, the consumer purchases the quantity set q 0 at the price set p 0 . If he happens to prefer q 0 to q t, then by definition, the cost of the quantity set q 02 must be less than, or, (at most) equal to that of purchasing q 0 at p 0, ie,

Since the left-hand side of (5) is, by definition, the Laspeyre's base year price weighted quantity index (L), we obtain the condition for q 0 at p 0 to be preferred by the consumer to q 0 at p 0 as

L ≤100 (6)

Again, in the current period, the consumer is observed to purchase the combination q t at price p t . However, if the weak axiom of revealed preference is to be satisfied then he must not prefer q t at p t to q 0 at p t . Therefore, we may conclude that he purchases q in the current period because it is cheaper than q 0, ie,

Since the left-hand side of (7) is by definition the Paasche's current year price weighted quantity index (P), we obtain the condition for p t at q t to be cheaper than p 0 at q t as

P < 100 (8)

(6) and (8) give us that the weak axiom of revealed preference would be satisfied if the Laspeyre's and Passche's quantity indices both are less than 100. Of course, L may be at most 100. Here 100 is the base period index numbers for both the formulas.

Exemple 2:

A consumer is observed to purchase x 1 = 20, x 2 = 10 at the prices p 1 = 2 and p 2 = 6. He is also observed to purchase x 1 = 18 and x 2 = 4 at the prices p 1 = 3 and p 2 = 5. Is his behaviour consistent with the weak axiom of revealed preference?

Solution:

From the given data, we obtain:

(i) The cost of the combination (x 1 = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 1 = 20×2 + 10×6 = 100

(ii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 2 = 18×2 + 4×6 = 60

(iii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 3 = 18×3 + 4×5 = 74

(iv) The cost of (x, = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 4 = 20×3 + 10×5= 110

From above, it is obtained that the consumer buys the first set of goods, (20, 10), not because it is cheaper than the second set but because he prefers it to the second set, since the cost of the former, E 1 = 100, is greater than the cost of the latter, ie, E 2 = 60.

However, when he purchases the second set, not the first one, at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5), he does this because it is cheaper than the first set, not because he prefers this set to the first set, since the cost of the second set, ie, E 3 = 74, is less than that of the first set, ie, E 4 = 110.

Therefore, the consumer's behaviour is consistent with the weak axiom of revealed preference.

Convexity and Concavity :

Convex and Concave Functions :

Let us refer to Fig. 6.113. A function f (x) represented by the curve ABCDE, is convex over the interval (a, b) if we have

In Fig. 6.113, point S has divided the line segment BD in the ratio 1 – λ: λ. Therefore, the x and y coordinates of point S are

OT = λx 1, +(1 -λ)x 2

and ST = λf(x 1 ) + (1 -λ)f(x 2 )

The function f(x) is said to be strictly convex over the interval (a, b) if strict inequality holds in (6.153) for all 0 < λ < 1.

Let us again refer to Fig. 6.113. A function f(x), now represented by the curve FBGDH is concave over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≥ λf(x 1 ) + (1 – λ)f(x 2 ) (6.154)

and the function is strictly concave if strict inequality holds in (6.154) for 0 < λ < 1.

Quasi-convex and Quasi-Concave Functions:

By definition, a function f(x) is quasi-convex over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≤ max [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.155)

for all x 1 and x 2 in the interval and all 0 ≤ λ ≤ 1. The function f(x) is strictly quasi-convex if strict inequality holds in (6.155) for 0 < λ < 1.

In Fig. 6.114, the curve A'BC'DE' represents, by definition, a quasi-convex function over the interval (a, b).

Let us now come to quasi-concavity. A function f(x) is quasi-concave over an interval (a, b) if we have

f[λx 1 + (1 – 1 )x 2 ] ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.156)

for all x 1 and x 2 in the interval (a, b) and for all 0 ≤ λ ≤ 1. The function is strictly quasi-concave if strict inequality holds in (6.156) for 0 < λ < 1. In Fig. 6.114, the curve F'BG'DH' represents, by definition, a quasi-concave function over the interval (a, b).

At the end of our discussion of convex and concave curves, let us note that, as per the definitions, a convex function is also quasi-convex for the former also satisfies (6.155), but a quasi-convex function cannot be a convex function for it does not satisfy (6.153). Similarly, a concave function is also quasi-concave for it satisfies also (6.156), but a quasi-concave function cannot be concave for it does not satisfy (6.154).

Geometrical Illustrations :

From our discussions above we obtain the following with illustrations in Fig. 6.113:

(i) The curve, ABCDE, representing a function, f (x), is convex over a certain interval (a, b) if the line segment, BD, joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or above the curve; and if the line segment lies throughout above the curve, it is said that the function is strictly convex.

(ii) On the other hand, a function f(x), viz., FGDH, is concave over a certain interval (a, b) if the line segment joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or below the curve; and if the line segment lies throughout below the curve, it is said that the function is strictly concave.

We also obtain the following with illustrations in Fig. 6.114.

(iii) A function f(x), viz., A'BC'DE', is quasi-convex over a certain range between x = a and x = b, if at any x = h in the range, we have f(h) ≤ max [f(a), f(b)], and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-convex.

It may be noted that a convex function is also quasi-convex, but a quasi-convex function cannot be convex, for some quasi-convex functions, like A'BC'DE', may lie above the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a convex function cannot.

(iv) Lastly, a function f(x), like F'BG'DH', is quasi-concave over a certain range between x = x 1 and x = x 2, if at any x = h in the range, we have f(h) ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )]; and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-concave. It may be noted here that a concave function is also quasi-concave.

But a quasi-concave function cannot be concave, for some quasi-concave functions, like F'BG'DH', may lie below the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a concave function cannot.

Utility Function for Strictly Convex Indifference Curves :

Our question here is what types of utility function will produce strictly convex indifference curves (ICs) and thus satisfy the second-order condition. Two functions that may be accepted as such utility functions have been shown in Fig. 6.115. Part (a) of the Fig. 6.115 gives us a smooth strictly concave function.

Because of the assumption of positive marginal utilities, we have only shown the ascending portion of the dome-shaped surface. When this surface is cut with a plane parallel to the xy-plane, we obtain for each such cut a curve which will become a strictly convex downward sloping IC with respect to the xy-plane.

Strict concavity in a smooth utility function is, therefore, sufficient to fulfill the second-order condition (SOC) for utility-maximisation. However, if we examine part (b) of Fig. 6.115, it would be evident that strict concavity is not necessary for the SOC. This is because the strictly convex ICs can also be obtained from the utility function given in part (b) of the figure, which is not strictly concave—in fact, not even concave.

The function in Fig. 6.115 is generally shaped like a bell. Of course, we have shown here only the ascending portion of the bell. The surface of this function is called strictly quasi-concave.

The geometric property of this function is that, for any pair of distinct points u and v in its domain, if the line segment uv (which is assumed to lie entirely in the domain) gives rise to the arc MN on the surface, and if M is lower than or equal in height to N, then all the points on arc MN other than M and N must be higher than M.

[Algebraically, a function f is said to be strictly quasi-concave if, for any two distinct points in its domain like u and v, and for all values of λ, 0 < λ < 1, we would have:

The quasi-concavity of the function in Fig. 6.115 may be verified by examining such arcs as MN (N higher than M) and M'N' (M' and N' being of equal height). We have to note here that in the case of arc M'N', it is the dotted arch that lies directly above the line segment u V, not the solid curve, which possesses the property of a quasi-concave function.

The interesting thing, however, is that the strictly concave function in Fig. 6.115(a) is also strictly quasi-concave.

From what we have obtained, we may conclude that only a smooth, increasing, strictly quasi-concave utility function would generate strictly convex ICs. Such a function may have convex as well as concave portions, as shown in Fig. 6.115(b) so that the marginal utilities may be either increasing or diminishing.

From this it follows that strict convexity of ICs does not imply diminishing MUs. However, if we accept the stronger assumption of a strictly concave utility function, then we may have the features of both diminishing MU and strictly convex ICs at the same time.

 

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