Différenciation des fonctions avec deux ou plus de deux variables indépendantes (dérivées partielles)

Dérivés partiels:

En économie, les relations contiennent deux ou plus de deux variables indépendantes sur l’utilisation des économistes et des dirigeants d’entreprises.

Par exemple, la demande pour le produit d’une entreprise dépend de son prix, du revenu des consommateurs, du prix de son substitut, des dépenses publicitaires engagées par l’entreprise pour promouvoir la vente de son produit et d’autres.

En outre, la production d’un produit dépend de la quantité de travail, de capital, de matières premières, etc. utilisée pour la production d’un produit. D'autres exemples de fonctions de l'économie et du commerce avec deux variables indépendantes ou plus peuvent être donnés.

Quand une fonction a deux variables indépendantes ou plus et que chacune d’elles a un effet sur la valeur de la variable dépendante, nous utilisons le concept de dérivée partielle. On l'appelle dérivée partielle car on y examine l'effet d'une partie seulement des influences sur la variable dépendante. Une dérivée partielle d'une fonction mesure l'effet marginal d'un changement d'une variable sur la valeur de la variable dépendante, en maintenant toutes les autres variables.

Ainsi dans une fonction, Y = f (x 1, x 2, x 3 ), dérivée partielle de y par rapport à x 1, montrera l'effet marginal d'un très petit changement de x 1, en maintenant constante x 2, x 3 . Par convention et pour le distinguer de la dérivée d'une fonction avec une variable indépendante, nous utilisons pour dérivée partielle le delta minuscule (∂) au lieu de d minuscule. Cependant, les règles de différenciation pour trouver des dérivées partielles sont les mêmes que celles expliquées ci-dessus dans le cas de la dérivée d'une fonction avec une seule variable indépendante.

Cela ne vaut rien que dans une fonction multivariable, la dérivée partielle d'une variable indépendante dépend des valeurs auxquelles les autres variables indépendantes sont maintenues constantes. C’est pourquoi l’expression «dérivée partielle du profit» d’une entreprise à deux variables indépendantes, les produits x et y, indique que π / ∂x dépend du niveau auquel la variable y est maintenue constante.

De même, la dérivée partielle de la fonction de profit par rapport à y indique qu'elle dépend de la valeur de la variable x qui est maintenue constante. Le raisonnement économique à cet égard deviendra clair si nous prenons une fonction de production à deux facteurs q = f (L, K). Dans cette dérivée partielle de la fonction de production par rapport au travail (L), q / ∂L implique un produit marginal du travail.

Comme on le sait, le produit marginal du travail dépend non seulement de ses compétences et de son efficacité, mais également du capital (K) avec lequel il doit travailler. En règle générale, plus la quantité de capital est importante, plus la productivité marginale du travail sera élevée, les autres facteurs restant les mêmes.

Pour illustrer le concept de dérivée partielle, prenons l'exemple de la fonction de profit avec les ventes de deux produits en tant que variables indépendantes:

π = = f (x, y) = 50x - 3x2 - xy - 4y2 + 60y

Où π représente les bénéfices, x et y sont les ventes des deux produits fabriqués par une entreprise. La fonction représente que les bénéfices d’une entreprise dépendent des ventes de deux produits qu’elle fabrique.

Détermination de la dérivée partielle de la fonction de profit (k) par rapport aux ventes du produit X traitant les ventes de y comme étant constantes par rapport à la fonction de profit ci-dessus obtenue

∂π / ∂x = 50 - 6x - y

Ainsi, avec la dérivée partielle, nous pouvons isoler l’effet marginal sur le profit (π) de l’évolution des ventes du produit x, en maintenant les ventes des produits y constantes.

Notez que dans la recherche d'une dérivée partielle de la fonction de profit par rapport à x, les quatrième et cinquième termes de la fonction de profit ne sont pas pris en compte car ils ne contiennent pas la variable x.

De même, par dérivée partielle, nous pouvons séparer l’effet marginal de la variation des ventes du produit y sur le bénéfice (π) tout en maintenant x constant.

Ainsi, la dérivée partielle de la fonction de profit (π) par rapport à y est

∂π / ∂y = -x- 8y + 60.

 

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