Quelques courbes de demande pathologiques (avec diagramme)

Quelques courbes de demande pathologique:

Normalement, la courbe de demande d’un individu pour un certain bien va légèrement vers le bas en raison de l’effet revenu et de l’effet de substitution d’un changement de prix. Mais dans certains cas, nous pouvons avoir des courbes de demande anormales ou «pathologiques» .

Un de ces cas est le cas d'un bien Giffen. Parfois, on observe dans le cas d'un bien, disons X, que, initialement, la nature de l'effet de revenu est telle que, parallèlement à l'effet de substitution, la courbe de la demande serait inclinée vers la droite comme le prix du bien. tombe et le revenu réel du consommateur augmente.

Mais après un certain point, par exemple, E sur la figure 6.60, le bien devient un bien de Giffen, c’est-à-dire que la nature de l’effet de revenu pour le bien devient tellement «anormal» qu’il écrase le comportement normal de l’effet de substitution et rend le produit normal. la courbe de la demande est en pente descendante vers la gauche avec les baisses successives du prix du bien et l’augmentation consécutive du revenu réel du consommateur.

Par conséquent, la courbe de demande de l'individu, d x, dans le bon cas de Giffen aurait un pli au point E de la figure 6.60. On peut noter ici que l’anomalie de la courbe de la demande dans le cas de Giffen n’est pas due à un quelconque assouplissement des axiomes d’utilité ordinale.

Il est obtenu malgré le fait que les circuits intégrés sont convexes à l'origine. Cela se produit parce qu’après un moment donné, le modèle de préférence du consommateur lui rend le bien «fortement» inférieur à d’autres biens, bien que le bien reste une MIB.

Il se peut toutefois que certains autres cas pathologiques soient dus à un écart par rapport aux axiomes d’utilité ordinale. Un tel cas est obtenu lorsque le circuit intégré d'un individu est convexe pour certaines parties de sa longueur et concave ailleurs, c'est-à-dire qu'il n'est pas convexe (à l'origine) partout. Deux de ces courbes ont été représentées à la Fig. 6.61.

Si la ligne budgétaire du consommateur est A 1 B 1, IC 1 est le CI le plus élevé que le consommateur puisse atteindre, mais pas à un point unique. Il peut rester à l’un des deux points du QI, à savoir E et G. Il ne peut pas choisir le point F de la CI 1, car F se trouvant sur une ligne budgétaire supérieure, A 2 B 2, nécessiterait un montant plus important de argent qui permettrait au consommateur d’atteindre le point H sur un CI supérieur, à savoir, IC 2 .

Par conséquent, compte tenu de la forme des CI de la figure 6.61, toute ligne budgétaire, par exemple, A 2 B 2, peut toucher deux CI: une section concave de la courbe inférieure, IC 1 au point F et deux sections convexes. de la courbe supérieure, IC 2 aux points H et L.

Supposons maintenant que le prix du bien X implicite dans les lignes budgétaires parallèles A 1 B 1, A 2 B 2, etc., soit p x (2) et que le revenu du consommateur implicite dans la ligne budgétaire A 2 B 2 soit égal à M 2 . Compte tenu de son revenu et du prix de X, sa ligne budgétaire sera A 2 B 2 et la quantité achetée du bien X serait x 1 au point H ou x 2 au point L.

En d’autres termes, nous avons obtenu ici qu’au prix p x (2), la demande de X peut être x 1 ou x 2 . Étant donné qu'au prix de p x (2), le consommateur ne peut exiger aucune quantité comprise entre x 1 et x 2, il y aurait une discontinuité horizontale dans la courbe de la demande du bien X au prix p x (2).

La courbe de demande pathologique, d x, serait dans ce cas similaire à la courbe illustrée à la figure 6.62. Ce serait une courbe en deux parties, à savoir MN et RS, et il y aurait une discontinuité entre ces deux parties au prix p x (2).

Enfin, nous discuterons d'un cas pathologique où la courbe de demande aurait une section verticale semblable à celle de la courbe de demande, d x sur la figure 6.63 (b). Ce type de courbe de demande serait obtenu si la courbe d'indifférence présente un angle «net» tel que A dans la figure 6.63 (a).

La particularité de ce cas de figure réside dans le fait que chaque tableau de prix, disons p x (1), p x (2), p x (3), … du bien X implicite dans les lignes budgétaires H 1, H 2, H 3, … nous donnera le même équilibre du consommateur au point A.

En d'autres termes, à tous ces prix, à savoir, p x (1), p x (2), p x (3), … la quantité d'équilibre demandée pour le bien X sera la même, disons, x 0, et ainsi sur la fourchette de ces prix, la courbe de demande du consommateur pour le bien X aurait une section verticale.

Lignes budgétaires non linéaires :

Dans la théorie de la courbe d'indifférence, si les prix des deux biens, X et Y, sont donnés et constants par rapport à leurs quantités achetées, la ligne budgétaire du consommateur sera linéaire: ce sera une ligne droite inclinée négativement.

Maintenant, si les prix ne sont pas constants, nous obtiendrions des lignes budgétaires non linéaires au lieu de celles linéaires. Par exemple, supposons que le consommateur ait le pouvoir de marché lui permettant d'acheter plus d'un bien, par exemple X, à un prix inférieur, le prix de l'autre bien (Y) restant le même, quelle que soit la quantité qu'il achète. .

Dans ce cas, si le consommateur achète davantage de bien X, p x chute, p Y reste inchangé et ainsi, p x / p y chute. C'est-à-dire que la pente numérique de la ligne budgétaire diminuerait à mesure que le consommateur achèterait davantage de X, c'est-à-dire que la ligne budgétaire serait plus plate vers le bas ou qu'elle serait convexe à l'origine, comme la courbe AB sur les figures. 6, 64 à 6, 66.

Si les courbes d'indifférence (CI) ont une forme habituelle, c'est-à-dire si elles sont inclinées négativement et convexes à l'origine, la solution d'équilibre du consommateur serait alors une solution de coin soit au coin A de la figure 6.64, soit au coin B 6.65, selon que les circuits intégrés sont plus plats ou plus raides que la ligne budgétaire.

Toutefois, si les CI sont parallèles à la ligne budgétaire, en tout ou en partie, comme dans la figure 6.66, l’un de ces CI coïnciderait en tout ou en partie avec la ligne budgétaire. C'est ce qui est arrivé à la figure 6.66, dans laquelle la courbe IC 3 a coïncidé avec la ligne budgétaire sur le tronçon RS.

Dans ce cas, nous n’obtiendrions pas une solution d’équilibre unique. Car tout point sur ce tronçon constituerait une solution d’équilibre - ce serait sur la ligne budgétaire et aussi sur le CI le plus élevé possible (ici IC 3 ).

Enfin, la ligne budgétaire du consommateur serait non linéaire et concave à l'origine s'il disposait d'un pouvoir monopolistique sur le marché, c'est-à-dire si le prix du bien X augmente à mesure que le consommateur achète davantage de X, le prix du bien Y restant inchangé indépendamment de sa quantité achetée.

Ici, à mesure que le consommateur achète davantage de X, c'est-à-dire qu'il descend vers la droite le long de sa ligne budgétaire, p X / p Y augmente, c'est-à-dire que la pente numérique de la ligne budgétaire augmente. En d'autres termes, la ligne budgétaire serait ici plus abrupte ou concave à l'origine, comme la ligne budgétaire AB de la figure 6.67.

Maintenant, si les CI sont inclinés négativement et convexes à l'origine, alors nous obtiendrions ici une solution d'équilibre unique et intérieure au point de convergence entre la ligne budgétaire et un CI. Cette solution d'équilibre est donnée au point T de la figure 6.67. À ce stade, le consommateur achèterait le OM du bien X et le ON du Y.

On peut noter ici que si seulement les revenus monétaires du consommateur augmentaient, la ligne budgétaire convexe ou concave se déplacerait vers le haut ou vers la droite, mais sa pente (p x / p y ) resterait la même à chaque x, car à chaque x, p x serait identique pour chaque ligne budgétaire (tandis que p Y reste inchangé par hypothèse).

Les étudiants peuvent vérifier par eux-mêmes si l’analyse relative aux effets des variations de prix et de revenu dans les cas de solution en coin et à l’intérieur (point de tangence) peut être appliquée aux cas.

Exemple 1:

Si la fonction d'utilité d'un individu pour deux biens est donnée par U = xαyβ et si sa contrainte budgétaire est donnée par M = p x .x + p y .y, dérivez ses fonctions de demande individuelle pour les biens X et Y en fonction de M, α et β.

Solution:

La fonction d'utilité de l'individu est

U = xαyβ (1)

et sa contrainte budgétaire est

M = p x .x + p y .y (2)

où M est son revenu fixe.

Les fonctions de demande de l'individu qui maximise l'utilité des biens doivent être dérivées des conditions de la maximisation de l'utilité.

Pour obtenir ces conditions, formons la fonction de Lagrange correspondante:

À partir de (3), nous obtenons les conditions de premier ordre pour que la maximisation d’utilité contrainte soit:

En divisant (4) par (5) après transposition des termes, on obtient:

Encore une fois, de (6) et (8), on obtient:

(9) et (10) nous donnent les fonctions de demande requises des biens X et Y en termes de M, a et p.

Exemple 2:

Étant donné la fonction d'utilité d'un individu, U = (x + 2) (y + 1), les prix p x = 2 et p y = 6 et le revenu M (X et Y étant les deux produits sur lesquels l'individu dépense la totalité de son revenu),

(a) Écrivez l'expression de Lagrange pertinente et expliquez sa raison d'être;

(b) Trouvez la demande de l'individu pour X et Y;

c) vérifier que les conditions de second ordre sont remplies;

d) Que signifient les conditions de second ordre en termes économiques?

Solution:

On nous donne la fonction d'utilité du consommateur comme:

U = (x + 2) (y + 1) (1)

et sa ligne budgétaire est la suivante:

M = p x x + p y y

ou M = 2x + 6y (2)

où M est le montant donné de son revenu.

(a) La fonction de Lagrange pertinente pour la maximisation de l'utilité sous réserve de contraintes budgétaires est la suivante:

V = (x + 2) (y + 1) + λ (M-2x-6y) (3)

La fonction de Lagrange (3) est construite de telle sorte que si la contrainte est satisfaite, V devient identique à U. Par conséquent, les conditions de maximisation de V nous donnent les conditions de maximisation de U sous réserve de la contrainte budgétaire.

C'est là que se trouve la raison d'être de la fonction de Lagrange. Nous pouvons également observer que la maximisation de V garantit que la contrainte budgétaire (2) serait satisfaite, puisque les conditions de premier ordre pour une telle maximisation incluent M - p x x - p yy = 0 [éq. (6)].

(b) Les conditions de premier ordre pour la maximisation sous contrainte de U sont les suivantes:

Comme indiqué précédemment, la condition (6) indique que la contrainte budgétaire (2) est satisfaite.

En divisant (5) par (4), après transposition appropriée des termes, on obtient:

Maintenant, à partir de (6):

La demande individuelle pour x et y est donnée par (10) et (11), respectivement.

(c) La condition de second ordre nous donne:

Maintenant, en mettant la valeur de (4), (5) et (6a), on obtient le côté gauche de (12) comme suit:

Par conséquent, il est vérifié que la condition de second ordre est remplie.

(d) La condition de second ordre nous aide à établir que les courbes d'indifférence (IC) seraient convexes à l'origine au point où les conditions de premier ordre sont remplies, c'est-à-dire au point de tangence entre la ligne budgétaire et un IC. La signification économique de ceci est que le taux marginal de substitution de x pour y diminuerait à mesure que le consommateur se substitue à x pour y.

Exemple 3:

(i) Trouvez les niveaux optimaux de produits achetés pour un consommateur dont la fonction d'utilité et la contrainte budgétaire sont V = q 1 1, 5 q 2 et 3q 1 + 4 q 2 = 100, respectivement.

(ii) Montrer que le paquet optimal resterait le même si sa fonction d'utilité était:

V = 1, 5 log q 1 + log q 2 . Est-ce que ce résultat vous semble déroutant? Expliquez votre réponse.

Solution:

(i) La fonction d'utilité du consommateur est:

et sa contrainte budgétaire est:

Pour trouver le groupe de produits optimal, nous devons construire la fonction de Lagrange appropriée:

La condition de premier ordre pour la maximisation de l'utilité soumise à la contrainte budgétaire est la suivante:

Division (5) par (4) après transposition appropriée des termes:

Ajout de (6) et (7):

Mettre q 2 = 10 in (7):

Par conséquent, les niveaux d’achat optimaux sont q 1 = 20 unités et q 2 = 10 unités, en supposant que la condition de second ordre soit remplie, (ii) la fonction d’utilité est maintenant:

W = 1, 5 logq 1 + logq 2 (8)

[Nous avons utilisé la notation W à la place de V car il s’agit d’une fonction d’utilité différente de (1)].

La contrainte budgétaire est la même que (2),

Pour trouver les niveaux optimaux des marchandises, la fonction Lagrange appropriée est

T = 1, 5 log q 1 + log q 2 + λ (100 - 3q 1 - 4q 2 )

Les FOC sont obtenus sous la forme:

De (9) et (10), nous avons

Puisque (11) et (12) sont identiques à (6) et (7), les solutions pour obtenir les niveaux optimaux de marchandise seraient les mêmes que celles qui ont été obtenues auparavant dans (i), à savoir, q 1 = 20 unités et q 2 = 10 unités en supposant que le SOC est satisfait.

Le résultat obtenu avec les mêmes niveaux optimaux pour les produits pour deux fonctions d’utilité différentes (1) et (8) ne nous semble pas déroutant, car la fonction d’utilité (8) est une transformation monotone positive de (1).

Cela peut être vu comme suit:

où V est la fonction d'utilité (1)

Maintenant, W = F (V) est une transformation monotone positive de V puisque F (V 1 )> F (V 0 ) lorsque V 1 > V 0 . La fonction d'utilité obtenue au moyen de la transformation monotone positive d'une autre fonction d'utilité représente le même indice d'utilité et la même carte d'indifférence, et donc le même point optimal que la fonction d'origine.

Exemple 4:

Dans quelles conditions un consommateur pourrait-il être en équilibre:

(a) Alors que les utilités marginales (MU) de certains biens qu’il consomme sont nuls?

(b) Alors que les UM de certains biens qu’il refuse d’acheter sont supérieurs aux UM de certains biens qu’il achète?

(c) Alors que les UG de tous les biens qu'il achète sont exactement proportionnels à leurs prix?

(d) Alors que les UG de tous les biens qu'il achète sont exactement égaux?

Solution:

Pour pouvoir utiliser la théorie de la courbe d'indifférence (IC), nous supposerons ici que le consommateur n'achète que deux produits X et Y.

(a) Supposons, MU X = 0 et, selon l'hypothèse habituelle de MIB, MU Y > 0.

Par conséquent, MRS X, Y = MU X / MU Y = 0

=> La pente numérique des CI = 0

=> Les circuits intégrés seraient des lignes droites horizontales.

Si les CI sont des lignes droites horizontales, le consommateur peut atteindre le CI le plus élevé possible au coin de la ligne budgétaire avec l'axe des y sur la figure 6.68. En d’autres termes, nous aurions ici une solution de coin et, au point d’équilibre A, le rien du bien X.

L'interprétation économique de la nature de l'équilibre du consommateur que nous avons obtenue dans ce cas est très simple. Puisque MU X = 0 et MU Y > 0, on obtient MU X = 0 et

MU Y > 0, c'est-à-dire que la MU de l'argent dépensé pour le bien X est égale à zéro et que la MU de l'argent dépensé pour le bien Y est positive. Étant donné que la somme d'argent dépensée pour le bien X est égale à zéro, le consommateur ne dépense rien pour ce bien et n'en achète rien.

Par conséquent, il doit dépenser tout son argent en bon Y et il achète OA de bon Y comme le montre la figure 6.68, et comme la MU dépensée pour Y est positive, il n'a aucune difficulté à dépenser tout son argent en bon Y .

Cependant, si nous supposons exactement le contraire, c'est-à-dire, MU X > 0 et MU Y = 0, la pente numérique du circuit intégré sera MU X / MU Y = ∞, c'est-à-dire que les circuits intégrés seront des lignes droites verticales, comme indiqué dans Fig. 6.69. Dans ce cas, le consommateur peut atteindre le CI le plus élevé possible (c'est-à-dire le plus éloigné de l'origine) le long de la ligne budgétaire au point B.

Ici aussi, nous avons une solution de coin. Mais à présent, le consommateur n’achètera que du bon X (OB de X) et rien de Y. Pour l’instant, la MU dépensée pour le bien X est positive (MU X / p x > 0) et la MU dépensée pour le bien Y est zéro (MU Y / p y = 0)

(b) Supposons (selon les conditions données) que le consommateur n’achète que le bon X et refuse d’acheter Y alors que MU X <MU Y.

Désormais, il ne peut acheter que X si l'équilibre se situe au coin B de sa ligne budgétaire AB avec l'axe des x de la figure 6.70. Si nous supposons que les circuits intégrés possèdent leurs propriétés habituelles, c’est-à-dire si les circuits intégrés sont inclinés négativement et convexes à l’origine, une solution de coin au point B peut être obtenue lorsque les circuits intégrés sont plus abruptes que la ligne budgétaire, comme le montre la Fig. 6.70. Maintenant,

bon X est supérieur à la MU de l'argent dépensé pour le bien Y partout dans la ligne budgétaire.

Il résulte d'en haut que l'équilibre au point B nécessite:

devrait avoir non seulement p x / p Y <MU X / MU Y, mais aussi p x / p Y <1, ou, p x <p Y. Ceci, à son tour, signifie que si MU x / MU Y, ou si la signification marginale de X en termes de Y est inférieure à 1 (un), alors p x / p Y, ou le prix du marché de X en termes de de Y doit non seulement être inférieur à 1 (un), mais également inférieur à la signification marginale de X en termes de Y.

Ce n’est qu’alors que le consommateur n’achètera que X et non Y, même si MU X <MU Y. (c) On nous donne, à tout moment sur un CI:

c'est-à-dire que la pente numérique d'un IC = la pente numérique de la ligne budgétaire = constante (étant donné p x et P y ).

Cela implique que les circuits intégrés sont des lignes droites à pente négative parallèles à la ligne budgétaire. Dans ce cas, le consommateur serait en équilibre à tout moment sur le CI qui coïncide avec la ligne budgétaire,

(d) On nous donne:

MU X = MU Y (4)

En supposant que les circuits intégrés possèdent leurs propriétés habituelles, la condition d'équilibre du consommateur nous donne

Par conséquent, si MU X = MU Y, le consommateur serait en équilibre au point de tangence entre sa ligne budgétaire et l'un de ses CI si p x = p Y.

Exemple 5:

Un consommateur dans un monde à deux produits a des courbes d'indifférence avec une pente = 0, 5 partout. Trouver son plan d’achat d’équilibre lorsque le prix de X (p x ) = 5 Rs, le prix de Y (p Y ) = Rs 5 et que ses dépenses prévues sont de 1 500 Rs. Que se passe-t-il lorsque p x = Rs 3 et p Y = Rs 6?

Solution:

On nous donne les informations suivantes:

(i) Prix de X (p x ) = Rs 5, puis change en Rs 3

(ii) Prix de Y (p Y ) = Rs 5, puis change en Rs 6

iii) Dépenses prévues du consommateur (M) = 1 500 Roupies

(iv) La pente numérique des CI = 0.5 partout

c'est-à-dire que les circuits intégrés sont des lignes droites inclinées négativement = - 0.5.

À partir des données ci-dessus, nous obtenons que la pente numérique de la ligne budgétaire est P X / P Y = Rs5 / Rs 5 = 1, alors que la pente numérique des circuits intégrés en ligne droite est de 0, 5. Ainsi, ici, les circuits intégrés sont des lignes droites plus plates que la ligne budgétaire.

Dans un tel cas, nous aurions une solution d'angle au point où la ligne budgétaire rencontre l'axe des ordonnées. En d’autres termes, le programme d’achat d’équilibre du consommateur serait nul de X et 1 500 Rs / 5 = 300 unités de y - il n’achèterait que y. La solution est obtenue au coin L de la ligne budgétaire LM de la figure 6.71.

Dans le second cas, la pente numérique de la ligne budgétaire est p X / p Y = Rs 3 / Rs 6 = 0, 5 et la pente numérique des IC linéaires est également de 0, 5, autrement dit, les IC seraient parallèles au budget. ligne. Dans un tel cas, le consommateur serait en équilibre en tout point, tel que A, B, C, etc., situé sur le CI, à savoir, IC 3, qui coïncide avec la ligne budgétaire LM de la Fig. 6.72. Ici, aucune solution d'équilibre unique ne serait obtenue.

Exemple 6:

Qu'est-ce que cela signifie si les courbes d'indifférence d'un consommateur sont négativement inclinées, les courbes d'indifférence plus élevées indiquant un niveau d'utilité moindre?

Solution:

Supposons que la fonction d’utilité du consommateur soit

U = f (x, y) (1)

En prenant le différentiel total de (1), on obtient

Maintenant, pour un mouvement le long d’un CI, nous avons, dU = 0. Donc (2) nous donne

À partir de (3), nous obtenons que la pente du circuit intégré peut être négative si:

(i) f x (= MU X ) et f y (= MU y )> 0. Autrement dit, si les deux biens sont des «biens», c’est-à-dire qu’ils sont du type «more is better» (MIB), ou (ii) f x (= MU X ) et f y (= MU y ) <0, c’est-à-dire si les deux produits sont «mauvais», c’est-à-dire qu’ils sont du type «more is pire» (MIW).

Dans le cas (i), un CI plus élevé représente un niveau de satisfaction plus élevé. Il peut être démontré que pour tout point sur un CI plus élevé, tel que le point A sur IC 2 de la Fig. 6.73, représente une combinaison d'un plus grand nombre de produits. point comme B sur le CI inférieur, à savoir, IC 1 . Depuis MU X, MU y > 0, le niveau de service public en A est supérieur au niveau de service public en B.

Par contre, dans le cas (ii), un CI supérieur représenterait un niveau de satisfaction inférieur. Pour le moment, depuis MU X, MU Y <0, le point A sur le CI supérieur, à savoir, IC 2, représentant plus des deux biens, donnerait au consommateur un niveau de satisfaction inférieur au point B sur le CI inférieur. qui est IC 1 .

Nous pouvons donc en conclure que, dans le cas de circuits intégrés à inclinaison négative, la courbe supérieure représentant un niveau de satisfaction plus bas implique que les deux produits sont du type "plus c'est pire", c'est-à-dire, MU X, MU Y <0.

Exemple 7:

(a) Prenez deux points quelconques sur une courbe d'indifférence de forme normale et reliez-les par une ligne droite. Qu'est-ce que la pente de cette ligne indique?

(b) Quelle est la signification d'une courbe d'indifférence avec un segment parallèle à l'axe vertical?

(c) Prouvez que, à n’importe quel point d’une ligne budgétaire, celle-ci ne peut couper ou toucher qu’une seule courbe d’indifférence.

Solution:

(a) Supposons que le consommateur n'achète que deux produits, X et Y, et que les courbes d'indifférence de forme normale du consommateur pour X et Y nous sont données.

Or la pente numérique de la droite obtenue en joignant deux points quelconques sur un CI nous donnerait le taux de substitution de X pour Y en moyenne sur l'arc du CI entre les deux points (le niveau de satisfaction du consommateur restant constant).

Toutefois, si les deux points sont suffisamment proches l'un de l'autre pour que la droite les joignant puisse devenir une tangente au circuit intégré, la pente numérique de la tangente représenterait ce que l'on appelle le taux marginal de substitution de X pour Y.

On peut noter ici que le MRS de X pour Y à tout moment sur un CI est défini comme la quantité de Y que le consommateur est disposé à renoncer à obtenir une unité supplémentaire de X, à condition que son niveau de satisfaction reste constant.

Illustrons maintenant le point en discussion à l’aide de la figure 6.74. Dans la figure 6.74, P et Q sont deux points quelconques sur un circuit intégré. La pente numérique de la droite joignant ces deux points est PT / TQ. Maintenant, ce que PT / TQ représente serait clair pour nous si nous pensons ainsi.

Alors que le consommateur se déplace du point P au point Q, il abandonne le PT de Y et prend le TQ de X. Donc, pour obtenir chaque unité supplémentaire de X, il doit renoncer, en moyenne, au PT / TQ de Y. Donc, PT / TQ est le taux moyen de substitution de X pour Y sur l'arc PQ du CI concerné.

D'autre part, la valeur limite de PT / TQ lorsque P o s'approche de Q le long de l'arc PQ ou de TQ → 0, nous donne MRSX, Y c'est-à-dire que nous avons

(b) On nous dit que le CI d'un consommateur a un segment parallèle à l'axe des ordonnées. Si nous supposons que le reste de la courbe a une forme normale, le circuit intégré ressemblera à celui illustré à la Fig. 6.75 ci-dessous.

Dans la figure 6.75, le segment du circuit intégré situé au-dessous du point M est normalement mis en forme. Autrement dit, le long de ce segment, x et y sont des biens de type «Plus c'est mieux (MIB)». Mais le circuit intégré devient parallèle à l'axe vertical au-dessus du point M.

Le long de ce segment vertical, étant donné la quantité de x (OA), davantage de y n’augmente (ni ne diminue) le niveau de satisfaction du consommateur. En d'autres termes, le long du segment vertical, l'utilité marginale de Y devient égale à zéro.

Par conséquent, si le circuit intégré est semblable à celui de la figure 6.75, le consommateur sera le bienvenu jusqu'à une certaine quantité (ici OB). Si le consommateur a plus de Y au-delà de ce point, l'utilité marginale de Y devient égale à zéro, c'est-à-dire que Y ne reste plus un bien MIB pour le consommateur. On peut toutefois noter que, pour un tel CI, X est toujours un bien MIB.

Nous pouvons également mentionner ici que, le long du segment vertical du circuit intégré, sa pente numérique est infiniment grande, et que MRS X, Y est également égal à infiniment grand le long de ce segment. Cela ressort également du fait que MRS X, Y = MU X / MU Y, et lorsque MU Y = 0, MU X, Y =.

(c) En tout point de la ligne budgétaire, la ligne peut couper ou toucher un seul CI. En effet, si, à un moment quelconque de la ligne budgétaire, la ligne coupe ou touche plusieurs circuits intégrés, comme le montre la figure 6.76, ces circuits se coupent ou se touchent à ce moment-là. Mais l'une des propriétés standard des CI est qu'ils ne peuvent pas se couper ou se toucher.

Voyons maintenant ce qui se passe si deux circuits intégrés se coupent ou se touchent. Sur la figure 6.77, les deux circuits intégrés se sont mutuellement coupés au point «P».

Prenons n'importe quel point M sur IC 1 et le point N sur IC 2, tel que N soit verticalement supérieur à M. Maintenant, le consommateur est indifférent entre M et P, car ils se trouvent tous deux sur IC 1 . Encore une fois, le consommateur est indifférent entre P et N, car tous deux se trouvent sur IC 2 . Par conséquent, sous la condition de transitivité, il est indifférent entre M et N.

Mais il ne peut pas être indifférent entre M et N à cause de l'hypothèse MIB, car N a plus de Y mais la même quantité de X que M. Donc, si deux (ou plus) CI se coupent en un point, on arrive à un contradiction logique. La même chose se produirait si les CI se touchent.

Maintenant, étant donné que les CI ne peuvent se couper ou se toucher, il n'est pas possible pour la ligne budgétaire de couper ou de toucher plus d'un CI à tout moment.

Exemple 8:

Considérons un consommateur dans un monde à deux produits (X et Y) dont la carte d'indifférence est telle que la pente des CI est partout égale à –x / y, où x et y sont les quantités de X et Y, respectivement.

Montrer que la demande de X est indépendante du prix de Y et que l'élasticité-prix de la demande de X est unitaire.

Supposons que les prix des biens X et Y soient respectivement p x et p Y. Par la condition donnée le MRS X, Y = y / x

Au point d'équilibre du consommateur

MRS XY = p x / p y (1)

De (1) et (2), nous avons

Il est obtenu de (3) que le consommateur dépense la moitié de son revenu monétaire (M) en X indépendamment de p Y et la moitié en Y. Cela nous indique que la demande de X est indépendante de p Y.

Maintenant, si M reste constant, nous avons

En prenant le différentiel total de (3), nous avons

Comme le coefficient d’élasticité-prix de la demande est

(4) nous donne E = - 1

et le coefficient numérique d’élasticité-prix de la demande est 1.

Exemple 9:

Dérivez le MRS pour la fonction d'utilité Cobb-Douglas et celui pour une transformation monotone positive de la fonction et commentez le résultat.

Solution:

Supposons que la fonction d’utilité Cobb-Douglas soit

Par définition, nous avons

Tirons maintenant le MRS d’une transformation monotone positive de (1), qui est supposée être

Où v est l'utilitaire monotone transformé de U.

Nous avons obtenu le MRS pour les deux cas comme donné par (2) et (4), pour être identique. En effet, la transformation monotone positive d'une fonction d'utilité représente les mêmes préférences que la fonction d'origine.

Exemple 10 :

Dériver les fonctions de demande de Cobb-Douglas à partir de la fonction utilitaire Cobb-Douglas Supposons que la fonction utilitaire Cobb-Douglas soit donnée comme suit:

U (x, y) = xcyd (1)

et la contrainte budgétaire du consommateur est

M = p x x + p y y (2)

Puisque la fonction d’utilité (1) est identique à l’une quelconque de ses transformations monotones positives, remplaçons (1) par

log [U (x, y)] = c log x + d log y (3)

Maximisons maintenant la fonction d'utilité (3) sous réserve de la contrainte budgétaire (2). La fonction Lagrange pertinente est

V = c log x + d log y + λ (M - p x x - p y y) (4)

Maintenant, les conditions de premier ordre pour le maximum requis sont les suivantes:

L’équation (7) nous indique simplement que la contrainte (2) est satisfaite et que, à partir des équations (5) et (6), nous avons:

En ajoutant (8) et (9), nous avons

Maintenant, de (8) et (10), nous avons

De même, parmi (9) et (10), nous avons

Les fonctions de demande requises par Cobb-Douglas pour les marchandises X et Y sont données par (11) et (12).

Exemple 11:

Dérivez la fonction de demande pour les préférences quasi-linéaires.

Solution:

Supposons que les préférences quasi-linéaires soient représentées par la fonction d’utilité suivante:

U (x, y) = V (x) + y (1)

et la ligne budgétaire du consommateur est donnée par

M = p x x + p Y y (2)

Afin de dériver la fonction de demande requise, nous devons maximiser U dans (1) sous réserve de la contrainte budgétaire (2).

Résoudons la contrainte budgétaire (2) pour y en fonction de x et obtenons

En substituant de (3) à (1), nous avons la fonction d’utilité contrainte comme

Maintenant, la condition de premier ordre pour la maximisation sous contrainte de U est

Eqn. (5) nous donne la fonction de demande requise pour le bien X. Cette fonction de demande a la particularité intéressante que la demande pour le bien X doit être indépendante du revenu. [Ce n'est pas nouveau pour nous. Nous avons également appris à connaître cela dans notre analyse de la courbe d'indifférence de l'équilibre du consommateur avec une préférence quasi linéaire.]

De (5), nous pouvons écrire la fonction de demande inverse pour le bien X comme

Px (x) = V '(x) p Y (6)

C'est-à-dire que la fonction de demande inverse du bien X est la dérivée partielle de la fonction d'utilité vis-à-vis de x [ . . . V '(x) = ∂ U / ∂ X ] multiplié par p Y. Une fois que nous avons la fonction de demande pour le bien X, la fonction de demande pour le bien Y est obtenue en plaçant la valeur de x obtenue de (6) dans la contrainte budgétaire (2).

Exemple 12:

Dérivez les fonctions de demande pour la fonction d'utilité quasi-linéaire, U (x, y) = log x + y.

Solution:

La fonction d'utilité du consommateur est donnée comme étant:

U (x, y) = log x + y (1)

Supposons que sa contrainte budgétaire soit

M = p x x + p Y y (2)

Afin de dériver les fonctions de demande requises, nous devons maximiser U dans (1) sous réserve de la contrainte budgétaire (2). De (2), on obtient

En substituant de (3) à (1), nous avons la fonction d’utilité contrainte comme

Maintenant, la condition de premier ordre pour la maximisation sous contrainte de U est

Eqn. (5) nous donne la fonction de demande directe pour le bien X. Notons que la demande pour le bien X est indépendante du revenu monétaire du consommateur, M.

De (5) nous pouvons écrire la fonction de demande inverse pour le bien X comme

Maintenant, en plaçant la valeur de x de (5) dans la contrainte budgétaire (2), nous obtenons

(7) nous donne la fonction de demande directe pour les biens Y. De (7), nous obtenons la fonction de demande inverse pour les biens Y comme

Nous avons vu dans (5) que la demande pour le bien X est indépendante du revenu monétaire du consommateur. En fait, d'après la théorie, dans un modèle à deux biens (X et Y) de préférence quasi linéaire, la fonction d'utilité est linéaire dans la quantité de l'un des produits, disons Y et généralement non linéaire dans la quantité de autre bien, X.

Pour une telle fonction, la demande pour le bien X devient indépendante du revenu monétaire du consommateur, c'est-à-dire que la demande pour le bien X reste constante lorsque le revenu monétaire change. Cependant, cela ne peut être vrai que sur une certaine fourchette de la valeur du revenu. Une fonction de demande ne peut pas être indépendante du revenu pour l’ensemble des valeurs de revenu.

Par exemple, lorsque le revenu diminue à zéro ou très près de zéro, la demande de X ne peut rester constante - la demande pour les deux biens approcherait alors de zéro.

Maintenant, à quelle quantité, la demande pour le bien X resterait constante dépendrait de la pente des lignes budgétaires correspondant à différents niveaux de revenus, c'est-à-dire du rapport entre les prix des biens. Supposons que cette quantité de X soit x 0 .

Par conséquent, tant que le revenu monétaire (M)> p x .x 0, le consommateur achètera toujours x 0 du bien X. Dans le cas de la fonction d'utilité (1), nous aurions x = x 0 = p y / p x [de (5)], étant donné p x et p Y. Pour M <p x x 0, sa demande pour X ne peut pas rester constante à x 0 .

À M = p x x 0, il achèterait x 0 de X avec zéro de Y, et pour M <p x x 0, son achat de X diminuait et s'approchait de zéro le long de l'axe des x, car y = 0., la courbe revenu-consommation aurait deux parties. La première partie serait le segment de l'axe des x de l'origine (x = 0) à x = x 0 = p Y / p x et la deuxième partie serait une ligne droite verticale à x = x 0, pour M ≥ p x x 0 .

Nous pouvons maintenant relier la demande de Y à celle de X. À M = p x x 0 = p Y [de (5)], y = 0, car tout l’argent serait dépensé pour X et à M <p x x 0 = p Y également, y = 0. En effet, M est si petit (M <p x ) que même une seule unité de Y ne peut être achetée. Par conséquent, tout l'argent serait maintenant dépensé pour x, bien que nous aurions x <x 0, puisque M <p x x 0 .

Enfin, pour M> p x x 0, lorsque M augmente x reste constant à x 0, et donc M - p x x 0, ou que l’argent dépensé pour Y augmente et que la demande pour Y augmente alors nous aurions:

Par conséquent, une meilleure façon d'écrire la demande pour les biens X et Y (en supposant que la fonction d'utilité (1) et les prix des biens donnés soit p x et p Y ) est la suivante:

Exemple 13:

A diminishing MRS implies that the MU of each good is diminishing. Is this statement true or false? Give reasons.

Solution:

For a two-commodity consumer, let us suppose that the ordinal utility function is

U = f(x, y) (1)

Now, the MRS of good X for good Y is defined as

Because, positive f xx and f yy with a sufficiently large and positive f xy might also satisfy (3).

Again, for diminishing MRS, diminishing MU, ie, f xx, f yy < 0, is not sufficient. Because, then, a sufficiently large and negative value of f xy might make (3) impossible. Therefore, the given statement is not true.

Example 14:

If over the relevant range, the PCC for good Y is parallel to the y-axis, then the demand curve for Y is a straight line. Is this statement true or false? Give reasons.

Solution:

Let us suppose that the two goods that are used by the consumer are good Y measured along the y-axis and money measured along the x-axis. Let us also suppose that the total quantity of money with the consumer is M and the quantity of money retained by him is m. Therefore, the amount of money spent by the consumer on Y is M − m.

From (1) above, we may conclude that the given statement is not true. Because, we obtain

that the slope of the demand curve for good Y is negative and from (2), we obtain that the slope of the demand curve increases as y increases.

Therefore, (1) and (2) give us that the demand curve for good Y is not a straight line. It is negatively sloped and convex to the origin. The PCC for good Y as per the given conditions and the demand curve for good Y with features obtained, have been shown in the diagrams.

Example 15:

In a 2-commodity world, show that the two goods cannot be inferior simultaneously.

Solution:

The budget equation of the consumer is:

P 1 q 1 + P 2 q 2 = M (1)

where p 1 and p 2 are the prices of the two goods, and q 1 and q 2 are the quantities purchased of the two goods, and M is the consumer's money income.

In consumer theory, it is assumed that the LHS of (1), ie, the expenditure of the consumer, is equal to the RHS, ie, the consumer's money income.

Given this assumption, if both the goods are inferior, then, as M rises, p 1 and p 2 remaining constant, q 1 and q 2 both would fall, and then the expenditure of the consumer cannot be equal to his income, ie, the budget equation would not be satisfied. Hence both the goods cannot be inferior simultaneously.

The same problem may be presented geometrically in this way. According to the assumption of the theory, the consumer must remain on his budget line, spending all his money. Let us suppose that, initially, the consumer is at the point P on his budget line A 1 B 1 in Fig. 6.80.

Now, if his money income, M, rises, the prices of the goods, Pi and p 2 remaining unchanged, then his budget line would have a parallel rightward shift from A 1 A 1 to A 2 B 2, and the consumer, by assumption would have to remain at some point on his new budget line, A 2 B 2 .

In that case, the consumer would have to buy more of both the goods (at any point on A 2 B 2 between R and S), or, he would have to buy more of one good and the initial quantity of the other good (at the point R or S) or he would have to buy more of one good and less of the other good at any point like E and F, on A 2 B 2 other than those lying on the segment RS.

But nowhere on A 2 B 2 can he buy less of both the goods, which he would be required to do if both the goods are inferior to him simultaneously. Therefore, in this two-good model both the goods cannot be inferior simultaneously.

Example 16:

While it is impossible for all goods that a consumer buys to be Giffen goods, there is no reason why they should not all be simultaneously inferior—true or false? Give reasons.

Solution:

There are two parts of the given statement. Let us first take up the first part which is:

it is impossible for all goods that a consumer buys to be Giffen goods. This statement is true, intuitively. For the sake of simplicity, we shall assume that the consumer purchases only two goods, and he has a given amount of money income all of which he has to spend, by the assumption of the theory, on the two goods.

Now, the price-demand relation for a Giffen good, is positive, ie, if the price of the good rises (falls), the quantity demanded of the good also rises (falls). Now, if both the goods are Giffen goods, then if the prices of both of them rise, the consumer would buy larger quantities of both of them which is impossible with a given amount of money income.

Conversely, if the prices of both the goods fall, the consumer would have to purchase less of both the goods by spending less than his money income, which is also not possible by assumption. Hence, both (ie, all) the goods purchased by the consumer cannot be Giffen goods. Therefore, the first part of the given statement is true.

We may now establish, mathematically, that the first part of the given statement is true.

For a two-commodity consumer, the budget constraint is:

M = p 1 q 1 + p 2 q 2 (1)

where q 1 and q 2 are the quantities purchased of the two goods, pi and p 2 are their prices, and M is the given amount of the consumer's money income which he has to spend on the two goods.

Taking total differential of (1), M remaining constant:

0 = p 1 dq 1 + q 1 dp 1 + p 2 dq 2 + q 2 dp 2 (2)

Now, if all (here both) the goods are Giffen goods, we would have: dq1, dq2 ≠ 0 when dp1, dp2 ≠ 0. And, in that case, the right hand side of (2) would be either positive or negative (p1, p2, q1, q2 being > 0) while the left hand side is equal to zero, ie, (2), and so (1), will not hold, and so all goods the consumer buys, cannot be Giffen goods. Therefore, the first part of the given statement is true.

Let us now come to the second part of the statement which is: there is no reason that all goods that a consumer buys should not be simultaneously inferior. That is, according to the statement all the goods purchased by the consumer may be simultaneously inferior.

Intuitively speaking, this statement is not true. For in the two-good case where a given amount of money income is to be spent, if both the goods are inferior and consumer's money income increases (decreases), prices remaining constant, the consumer would buy less (more) of both the goods. In the event, he must underspend (overspend) his money.

Therefore, both (or all) the goods purchased by the consumer cannot be inferior goods, and so, the statement is not true. We shall now establish mathematically that the second part of the statement is not true. Taking the total differential of the budget constraint (1), p 1 and p 2 remaining constant, we have

dM = p 1 dq1 + p 2 dq 2 (3)

Now, if both the goods are inferior, we would have: dq,, dq 2 ≠ 0 when dM ≠ 0, and in that case, the right hand side of (3) would be positive or negative when the left hand side would be negative or positive, ie, (3), and so (1), will not hold, and so all (here both) the goods purchased by the consumer cannot be inferior. Therefore, the second part of the given statement is not true.

Example 17:

It is impossible for both an individual's price elasticity of demand for a good and his income elasticity of demand for the same good to be simultaneously positive. Is this statement true or false. Give reasons.

Solution:

Let us assume a two-good (good X and good Y) model. Price elasticity of demand for good X is given by:

Example 18:

Prove that the sum of own-price, cross- and income-elasticities of demand for a commodity is equal to zero.

Solution:

The demand function for good X may be written:

x = f (p x, py, M) (1)

where x = demand for good x, p x = price of good x and p y = price of good y and M = money income of the consumer concerned.

Since the demand function for any good is homogeneous of degree zero in prices and income, we have:

On the basis of (1), (2) and (3), we obtain

Example 19:

What is the nature of the consumer if his ICs are concave?

Solution:

Concave-to-the-origin ICs (Fig. 6.81) of a consumer between two goods, say, X and Y, would give us that the numerical slope of the ICs would increase as he moves downward towards right along an IC, ie, his marginal rate of substitution (MRS) of X for Y would increase as he has more of X and less of Y.

Here we have two implications about the nature of the consumer. First, since the ICs are negatively sloped, and if we assume a higher IC represents a higher level of satisfaction, then both MU X and MU Y would be positive, that is, both the goods are liked by the consumer.

Second, since the MRS of X for Y increases as the consumer has more of X, and the MRS of Y for X increases as the consumer has more of Y along an IC, the consumer would like to have only one of the goods (either X or Y) at a time. That is, here, the consumer would have an equilibrium solution at one of the corners of his budget line.

Example 20:

Explain whether the following statements are true or false:

(i) MRS is constant at all points on an ICC.

(ii) All inferior goods are Giffen goods.

(iii) Prices of cigarettes are higher compared to those in the last year, the demand for cigarettes is also higher. Therefore, cigarettes are Giffen goods.

Solution:

(i) The given statement is true. We may explain this in the following way by referring to Fig. 6.82.

The ICC passes through the points of tangency between the consumer's ICs for the goods, say, X and Y, and his parallel budget lines obtained on account of successive increases in his money income, the prices of the goods remaining constant.

That is why along an ICC, the slopes of the consumer's ICs are equal, being equal to the slope of the (parallel) budget lines and, therefore, his MRS between the goods is constant at all points on his ICC. This is because MRS XY and numerical slope of an IC at any point is itself the consumer's MRS XY .

(ii) The given statement is not true. We may explain this in the following way: In the case of an inferior good, a rise in the consumer's real income due to a ceteris paribus fall in the price of the good would result in a fall in the quantity purchased of the good.

This is the income effect (IE). Also, the same fall in the price of the good would make the good relatively cheaper and the consumer would purchase the good in a larger quantity. This is the substitution effect (SE)—he would substitute the relatively cheaper good for the relatively dearer good.

Now, it may very well be the case that the SE rise in the demand for the good would be greater than the IE-fall in its demand. In this case, the price effect or the total effect (ie IE + SE) would be that the demand for the good rises when its price falls, making the good a non-Giffen good.

Therefore, an inferior good would not necessarily be a Giffen good. It may be noted here that, by definition, the demand for a Giffen good also falls when its price falls,

(iii) In this case, the answer cannot be a straight yes or no. If the demand for cigarettes rises as their prices rise, “other things” remaining constant, then, by definition, cigarettes would be Giffen goods. Here, nothing is mentioned specifically of the “other things”.

But it is most likely that, as compared to the last year, these “other things” like the tastes and habits of the consumers, the income of the buyers, the number of buyers, etc. do not remain constant.

On the contrary, they do change giving rise to a rise in the demand for cigarettes that may surpass the fall in their demand due to a rise in their prices. In that case, although apparently cigarettes may seem to be Giffen goods, they are, actually, subject to the law of demand, ie, they are not Giffen goods.

On the other hand, if the “other things” do remain constant or change in such a way that gives rise to a fall in the demand for cigarettes, even if their prices remain constant, then a rise in their demand as their prices rise, would certainly make cigarettes a Giffen good.

Example 21:

The utility function of an individual is U = L57 X 06 Y 09 where L, X and Y stand for his weekly consumption of leisure, good X and good Y.

Assuming the rate of wage to be W per hour, calculate his utility-maximising hours of leisure and work per week, the proportion of income spent on good X, the coefficient of price- elasticity of demand for good X and income-elasticity of demand for good Y.

Solution:

The utility function of an individual is given as:

U = L57 X06 Y09 (1)

where L, X and Y stand for the quantities of weekly consumption of leisure, good X and good Y.

If the rate of wage is W per hour, then the budget constraint of the individual is

7 x 24 W = WL + P x .X + P Y .Y (2)

where 7 x 24 W = his total weekly income

P x = price of good X and

P Y = price of good Y.

In order to obtain the conditions for utility maximisation, let us construct the relevant Lagrange function:

Dividing (5) by (4), after suitably transposing terms:

Again, from (4) and (6), we have

Adding (8) and (9):

ie, the consumer should take 133 hours of leisure in a week and, therefore, he should work (168 – 133) hours or 35 hours per week.

Putting L = 133 in (2), we have

Where 35 W is his income per week, 35 hours being his amount of work per week.

The coefficient of price-elasticity of demand for X is

Therefore, from (11), we have the coefficient of price-elasticity of demand to be

So the numerical coefficient of price-elasticity of demand for X is e = 1

Lastly, the income elasticity of demand for Y is

where M stand for consumer's money income. We have obtained L = 133 and M = 35 W.

So from the budget constraint (2), we have

Therefore, from (12):

ie, the coefficient of income elasticity of demand for Y is 1.67.

Example 22:

Suppose that the consumer spends his entire income on commodities X and Y.

On the basis of his budget constraint, show that:

(a) The expenditure-share weighted sum of the income elasticities equals unity.

(b) When X and Y are neither complements nor substitutes, then the expenditure-share weighted sum of own price-elasticities equals unity with a negative sign.

Solution:

(a) We are given that the consumer spends his entire income (M) on two goods, X (with price = p x ) and Y (with price = p Y ). That is, we have

M = p x x + p Y y (1)

From (1), taking total differential, we have

Now, by definition, the coefficient of income-elasticity of demand for goods X and Y are,, respectively,

(b) The consumer's budget constraint is

Where M = constant

Taking total differential of (5), we have

[ . . . dM = 0 and dp y = 0 in the case of price-elasticity of demand for X]

Multiplying (6) through by p x xy/M xy dpx, we obtain

where ϵ XX = coefficient of cross-elasticity of demand for X wrt p x

ϵ YX = coefficient of cross-elasticity of demand for Y wrt p x

α x = expenditure share of good X

α Y = expenditure share of good Y Again, taking total differential of (5), we have

0 = p x dx + p Y dy + ydp Y (8)

[ . . . dM = 0 and dp x = 0 in the case of price-elasticity of demand for Y]

where ϵ XY = cross-elasticity of demand for X wrt p Y

ϵ YY = elasticity of demand for Y wrt p Y .

Now, since the goods X and Y are neither substitutes nor complements, we have the cross- elasticities equal to zero, ie, ϵ XY = 0 and ϵ YX = 0. Therefore, from (7) and (9), we have

Example 23:

Derive the relations between own-and cross-price elasticities of demand for compensated demand functions.

Solution:

Let us suppose that the utility function of the consumer is

U = f(q 1, q 2 ) (1)

Taking the total differential of utility function (1) and letting dU = 0, we have

F 1 dq 1 +f 2 dq 2 = 0 (2)

As we know, the first-order condition for utility maximisation is

Where p 1 and p 2 are the prices of the goods.

Form (2) and (3), we have

Where α 1 = expenditure-share of good Q 1

α 2 = expenditure-share of good Q 2

ξ 11 = elasticity of demand for Q 1 wrt pi for compensated demand (cd) function

ξ 21 = cross-elasticity of demand for Q 2 wrt p 1 for compensated demand function.

(5) and (6) give us the relations between own and cross price-elasticities of demand for compensated demand functions.

Adding (5) and (6), we obtain:

(7) gives us another relation between the own- and cross price-elasticities of demand for cd function. (7) gives us that the sum of the expenditure-share weighted sums of own- and cross price-elasticities of demand for the two goods for cd function is equal to zero.

Example 24:

Show that in a two-good model, the sum of expenditure-share weighted income- elasticities of the goods is equal to one.

Solution:

In the two-good (Q 1, Q 2 ) model, the budget constraint of the consumer is:

P 1 q 1 + P 2 q 2 = y° (1)

where p 1 and p 2 are the prices of the two goods.

Taking total differential of (1) wrt y (p 1, p 2 = constant, in the case of income-elasticity of demand), we obtain:

P 1 dq 1 + p 2 dq 2 = dy (2)

Multiplying through by y/y, multiplying the first term on the left by q 1 /q 1, the second by q 2 /q 2 and dividing through by dy, we have

Equation (3) proves the given proposition.

Example 25:

The price of good X is Rs 2 for the first 200 units and Re 1 for all units purchased in excess of 200. Good Y sells at a constant price of Rs 3.

(a) Sketch the budget set for income of Rs 600.

(b) Is it possible to have more than one equilibrium?

(c) Will the consumer ever purchase exactly 200 units of X?

Solution:

(a) The price of good Y is constant at Rs 3. Therefore, for an income of Rs 600, the y-intercept of the budget line would be 200. For the first 200 units of X, the price of X is Rs 2. Therefore, over this range (0 ≤ x ≤ 200), the numerical slope of the budget line is p X /p Y = 2/3and for the purchase of X in excess of 200 units, p x = Re 1.

Therefore, for x > 200, the numerical slope of the budget line is p X /p Y = Also, for the first 200 units of purchase of X at p x = Rs 2, the consumer spends Rs 400, and with the remaining Rs. 200 (= 600 – 400), the consumer would be able to purchase another 200 units at p x = Re 1.

That is, under the given conditions, if the consumer spends all his money (Rs 600) on good X, he would be able to purchase 400 units of the good—first 200 at p x = Rs 2 and the next 200 at p x = Re 1. With all these specifications, we have sketched the consumer's budget line AKB in Fig. 6.83. The line would have a kink at the point K because, here the line changes its numerical slope from 2/3 to 1/3. The coordinates of point K is (x = 200, y =200/3)

(b) It can be seen in Fig. 6.83 that with the budget line AKB, it is possible for an indifference curve, viz., IC to touch the budget line at two points like E and F. This is possible because of the kink at the point K.

(c) At x = 200 units or at the point K (200, 200/2), there is a kink. That is why, a convex-to- the-origin continuous IC cannot touch the budget line at this point. Therefore, the consumer can never be in equilibrium at the point K, ie, he would never purchase x = 200 units in the given case.

Example 26:

Under initial prices, the consumer is purchasing 100 units of commodity X. Government then levies an additional tax of Re 1 per unit which raises the price of X by Re 1 per unit. Not wanting to hurt the consumer, Government also gives him a Rs 100 of income subsidy.

(i) Will there be any change in the level of utility of the consumer? Explique.

(ii) Will there be any change in the demand for X compared to the initial situation (before both tax and subsidy)? Explique.

Solution:

Let us answer the questions with the help of Fig. 6.84. Here we have assumed that the consumer buys the two goods X and Y. We have also assumed that, initially, the budget line of the consumer is L 1 M 1 and he is in equilibrium at the point E 1 where the budget line has touched one of his indifference curves, viz., IC 1 . As we are told, at E 1, the consumer buys x 1 = 100 units of good X.

Now, as the government imposes a tax of Re 1 per unit and the price of X (p x ) increases by Re 1 per unit, the price of good Y (p Y ) remaining the same, the relative price of X increases and his budget line becomes steeper. This is because the numerical slope of the budget line is equal to the ratio of p x and p Y, and, here, p x has increased.

Also, as a result of the imposition of the tax, the cost of buying x 1 = 100 units of good X increases by Rs 100, and therefore, the cost of buying the (x, y) combination, E 1 increases by the same amount. However, as the government gives the consumer an income subsidy of Rs 100, the consumer can buy the combination E 1 as before, if he so desires, even after the imposition of the tax.

This gives us that the post-tax and post-subsidy budget line of the consumer is steeper than his initial budget line, L 1 M 1 but the new budget line would pass through the point E 1 . Therefore, it would be a line like L 2 M 2, and its numerical slope would be equal to the post- tax price ratio.

We are now in a position to answer question:

(i) Although E 1 is a point on the budget line L 2 M 2, the consumer would no longer be in equilibrium at this point because E 1 is not a point of tangency. Rather, the consumer would be in equilibrium at the point E 2 where the budget line L 2 M 2 has touched one of his ICs, viz., IC 2 .

Since IC 2 is a higher curve than IC 1, the consumer's level of utility would be higher in the post-tax, post-subsidy situation. It may be noted that the line L 2 M 2 can be tangent to a higher curve only than IC 1, if the ICs are non-intersecting.

Let us now answer question:

(ii) Since the line L 2 M 2 can touch one of the non-intersecting ICs at a point like E 2 that may lie only to the north-west of E 1, the consumer, in the new situation, would buy good X in a smaller quantity. The reason is obvious.

In the post-tax, post- subsidy situation, the consumer's loss in real income has been compensated for by the subsidy (in the Slutsky sense), but since good X has become relatively dearer in the process, the substitution effect brings about a fall in his demand for X.

 

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