Pareto Optimality: Conditions et composition

Dans cet article, nous discuterons de: - 1. Introduction à l'optimalité de Pareto 2. Efficacité de la production 3. Optimalité de Pareto en production et concurrence parfaite 4. Efficacité de la consommation ou des échanges 5. Optimisation de Pareto en consommation ou de l'échange et concurrence parfaite 6. Pareto Conditions d’optimalité lorsque les effets externes sont présents et autres détails .

Contenu:

  1. Introduction à l'optimalité de Pareto
  2. Efficacité en production
  3. Optimalité Pareto en production et concurrence parfaite
  4. Efficacité en consommation ou en échange
  5. Optimisation Pareto en consommation ou en échange et concurrence parfaite
  6. Conditions d'optimalité de Pareto lorsque les effets externes sont présents
  7. Efficacité dans la répartition des facteurs entre les produits, ou efficacité dans le mélange de produits ou la composition de la production
  8. Composition pareto-optimale des sorties et concurrence parfaite


1. Introduction à l’optimalité de Pareto:

Le bien-être d’une société dépend, au sens le plus large, du niveau de satisfaction de tous ses consommateurs. Mais presque chaque changement dans la situation économique de la société aura des effets favorables sur certains membres et des effets défavorables sur d'autres.

L'évaluation d'un tel changement social est impossible à moins que l'économiste soit prêt à procéder à une comparaison interpersonnelle de l'utilité en fonction d'un jugement de valeur, ce qu'il ne sera peut-être pas disposé à faire. Au contraire, il sera disposé à évaluer de tels changements lorsqu'au moins une personne a été mieux lotie et aucune personne plus mal lotie.

L'économiste italien Vilfredo Pareto (1848-1923) a déclaré que si un changement dans la situation économique améliore au moins un individu sans aggraver la situation de quelqu'un, le changement vise l'amélioration du bien-être social, c'est-à-dire qu'il est souhaitable. Dans ce cas, nous disons que l'état initial était Pareto-non-optimal.

D'un autre côté, si un changement n'améliore personne et au moins un autre, ce qui implique que le changement aggravera la société, alors, du point de vue du bien-être, l'état économique initial est optimal selon Pareto.

Par conséquent, le critère d'optimalité de Pareto peut être énoncé de la manière suivante:

Une situation dans laquelle il est impossible d'améliorer un individu sans aggraver un autre, est dite Pareto optimale ou Pareto-efficace.

De toute évidence, le concept d'optimalité de Pareto évite la comparaison interpersonnelle de l'utilité. Étant donné que la plupart des politiques gouvernementales impliquent des modifications de l'état économique, qui profitent à certaines personnes et gênent d'autres, il est évident que le concept d'optimalité de Pareto a une applicabilité limitée dans les situations réelles.

Conditions d'optimalité Pareto:

Pour que la situation de Pareto soit efficace dans une économie, trois conditions marginales doivent être remplies.

Ceux-ci sont:

i) Condition marginale d'efficacité pour la répartition des facteurs entre entreprises (efficacité de la production);

ii) Condition marginale d'efficacité de la répartition des produits entre les consommateurs (efficacité de la consommation); et

iii) Condition marginale d'efficacité pour la répartition des facteurs entre les produits (efficacité de la combinaison de produits ou de la composition de la production).

Supposition:

Afin de dériver ces trois conditions marginales pour atteindre l'optimalité de Pareto, nous supposerons, par souci de simplicité, qu'il n'y a que deux consommateurs (I et II), deux facteurs de production (X 1 et X 2 ). et deux produits (Q 1 et Q 2 ), c’est-à-dire que notre modèle ici serait un modèle 2 x 2 x 2.


2. Efficacité en production:

Si nous supposons que les biens de consommation sont du type "plus c'est mieux" et que la consommation est absente d'effets externes, alors une augmentation de la quantité produite d'au moins un bien de consommation sans diminution de la quantité de tout autre peut conduire: à une amélioration du niveau d'utilité d'au moins un consommateur sans diminution d'utilité pour les autres.

Par conséquent, l'optimalité de la production de Pareto exige que le niveau de production de chaque bien de consommation soit maximal, compte tenu des niveaux de production de tous les autres biens de consommation.

Nous pouvons déduire la condition marginale d’efficacité Pareto en production à l’aide de la Fig. 21.1, appelée diagramme en boîte Edge. Les dimensions du rectangle sur la figure 21.1 représentent les quantités totales disponibles, et x0 2, des entrées X 1 et X 2 qui seraient toutes utilisées pour produire les biens de consommation Q 1 et Q 2 .

Tout point de la boîte représente une répartition particulière des intrants sur la production des deux biens.

Par exemple, si la répartition des intrants est donnée par le point B, les quantités de X 1 et X 2 utilisées dans la production du produit Q 1 sont mesurées par les coordonnées de B par rapport à l’origine O, et les quantités de X 1 et X 2 utilisés dans la production du produit Q 2 sont mesurés par les coordonnées du point B par rapport à l'origine O '.

Les cartes isoquantes (QI) pour les produits Q et Q 2 sont présentées à la figure 21.1 en référence aux points d'origine O et O ', respectivement.

Maintenant, la condition marginale pour l'efficacité de Pareto dans la production serait obtenue si nous maximisions le rendement du bien Q 1 sous réserve d'un niveau de sortie donné du bien Q 2 . Une telle maximisation se produirait à un point de tangence entre les QI des deux produits.

Par exemple, la maximisation de la production de Q 1 sous réserve de la quantité de Q 2 donnée par IQ3 se produirait au point de tangence S entre les QI des marchandises. De même, la maximisation de la production de Q 2 sous réserve de la quantité de Qi donnée par IQ 3 se produirait au point de tangence R entre les QI des deux biens.

Cependant, au point de tangence entre les QI pour les deux produits, nous avons la pente numérique de QI pour le bien Q 1 = la pente numérique de IQ pour le bon Q 2

MRTS X1, X2 ou, dans la production de Q 1 = MRTS X1, X2 dans la production de Q 2 (21.1)

Ainsi, la condition marginale pour l'efficacité de Pareto dans la production est donnée par (21.1) qui stipule que le taux marginal de substitution technique (MRTS) entre les deux intrants devrait être le même dans la production des deux biens.

Il est évident d'en haut que le point d'efficacité de Pareto dans la production doit nécessairement être un point de tangence entre les QI pour les deux biens. Si nous joignons tous les points de tangence entre les QI des deux produits, nous obtiendrions une courbe pour obtenir ce que l’on appelle la courbe de contrat Edge-valeur pour la production que nous désignerions par CCP. Le PCC irait du point O au point O 'de la Fig. 21.1.

Nous avons alors obtenu que tous les points du CCP sont des points de production efficaces pour Pareto. Autrement dit, si nous en sommes à un moment donné du PCC, nous ne pourrons plus, par un changement d'affectation des intrants, augmenter la production de l'un des biens sans réduire la quantité de l'autre.

En revanche, tout point tel que B sur la figure 21.1, qui ne repose pas sur le CCP et qui ne satisfait pas la condition (21.1), est un paramètre de Pareto non optimal. Au point B, nous sommes sur IQ 2 pour le bon Q 1 et sur IQ ' 2 pour le bon Q 2 .

Cependant, après une réaffectation des ressources, si l’économie atteignait un point du PCC entre R et S, les quantités des deux biens seraient plus importantes et, si l’économie atteignait juste le point R ou S, la quantité de l'une des marchandises serait plus grande et celle de l'autre bien resterait la même.

Cela montre que tout point B qui ne se trouve pas sur le PCC, est pareto non optimal et, par une réaffectation des ressources, si l’économie est amenée à un point sur le segment RS du PCC, alors au moins l'une des marchandises serait produite en plus grande quantité, celle de l'autre restant la même.

Nous avons vu que tous les points du PCC sont optimaux. Cependant, nous ne pouvons pas comparer deux points, par exemple, R et S, sur le CCP, car si l’économie passait de S à R, la production de Q 1 augmenterait et celle de Q 2 diminuerait, ce qui entraînerait un avantage pour certaines personnes et un désavantage. pour d'autres, et puisque la comparaison interpersonnelle de l'utilité est exclue, nous ne pouvons pas comparer les points R et S.

Dérivation mathématique des conditions :

Nous pouvons aussi déduire mathématiquement la condition marginale de l'efficacité de Pareto dans la production.

Supposons que les fonctions de production pour les articles Q 1 et Q 2 soient:

q 1 = q 1 (x 11, x 12 )

et q 2 = q 2 (x 21, x 22 ) (2.12)

où q 1 et q 2 sont les quantités produites des biens Q 1 et Q 2, x 11 et x 12 sont les quantités des entrées X 1 et X 2 utilisées dans la production de Q 1 et x 21 et x 22 sont les quantités de ces intrants utilisés dans la production du bien Q 2 .

Puisque les quantités totales disponibles des deux entrées sont x0 1 et x0 2, on peut écrire:

Conformément aux exigences de l'optimalité de Pareto, les conditions d'efficacité peuvent être dérivées si nous maximisons q 1 comme indiqué par (21.2) sous réserve de:

où q0 2 est une quantité donnée du bien Q 2 .

La fonction de Lagrange pertinente pour ce problème de maximisation sous contrainte est la suivante:

Le premier ordre ou les conditions nécessaires pour q maximum 1 sous réserve de q 2 = q0 2 sont:

La condition d’efficacité Pareto (21.1) ou (21.7) indique que les quantités disponibles des deux entrées, X 1 et X 2, doivent être réparties sur la production des deux biens Q 1 et Q 2, de sorte que Les MRTS entre les intrants peuvent être les mêmes dans la production des deux biens.

Nous pouvons maintenant voir à l'aide d'un exemple simple pourquoi la condition (21.7) est nécessaire à l'efficacité de Pareto dans la production. Supposons que dans la production de Q 1, MRTS X1, x 2 = 2 et, dans la production de Q 2, MRTS X1, x 2 = 1

c'est-à-dire que le MRTS n'est pas le même dans la production des deux biens.

Il découle de ce qui précède que nous pouvons substituer 1 unité de X 1 à 2 unités de X 2 dans la production de Q 1 et conserver la production de Q 1 constante. De même, nous pouvons substituer 1 unité de X 1 à 1 unité de X 2 dans la production de Q 2 et maintenir la production de Q 2 constante. Donc, tout ce que nous avons à faire est de retirer 1 unité de X 1 de la production de Q 2 et de l’utiliser dans la production de Q 1 .

Cela libère 2 unités de X 2 de la production de Q 1, dont 1 unité peut être transférée à la production de Q 2 pour maintenir sa production au niveau initial. Si nous faisons tout cela, les sorties de Q 1 et Q 2 resteraient inchangées, et pourtant il nous reste une unité supplémentaire de X 2 . Nous pouvons utiliser cette unité dans la production de Q 1 (ou Q 2 ) et obtenir plus de Q 1 (ou de Q 2 ). Ainsi, une sortie est augmentée sans réduire l’autre sortie.

L'exemple ci-dessus montre que si les MRTS X1, X2 dans la production des deux biens ne sont pas égaux, si MRTS dans la production de Q 2 est inférieur, par exemple, à celui de la production de Q 1 ; il faut ensuite enlever l'unité marginale d'entrée X 1 de la production de Q 2 et la transférer à la production de Q 1 où MRTS X1, X2 est plus élevée, et retirer du champ l'entrée X 2, en échange .

Au fur et à mesure que nous poursuivons le processus, le MRTS dans la production de Q 2 augmente à mesure que la quantité de X 1 diminue et le MRTS dans la production de Q 1 diminue lorsque la quantité de X 1 augmente, et, comme nous l'avons vu, l'allocation devient meilleure au sens de Pareto.

Par conséquent, si nous voulons atteindre la situation d'efficacité de Pareto, nous devons poursuivre le processus jusqu'à ce que l'EMCD devienne égal dans la production des deux biens. En effet, lorsque la production des deux produits par le système de production de disques multimédias deviendra la même, aucune autre réaffectation ne pourra augmenter la production d’au moins un des produits sans réduire la production de l’autre produit.

Pour comprendre cela, supposons que les MRTS entre les deux entrées soient égaux dans la production des deux biens, et il est égal à 4. Dans ce cas, si nous retirons 1 unité de X de la production de Q 2, et le transférer à la production de Q 1, cette dernière libérerait 4 unités de X 2 en échange, de sorte que le niveau de sortie de Q 1 puisse rester constant.

Ces 4 unités de X 2 doivent être transférées dans la production de Q 2 car le MRTS est de 4, et lorsque 4 unités de X 2 sont utilisées pour la production de Q 2 en échange de 1 unité de X 1, le la production de Q 2 resterait inchangée au niveau initial.

Par conséquent, grâce à une réaffectation des ressources, nous n’avons pas été en mesure d’augmenter la production d’au moins un des biens. Au contraire, une réaffectation des intrants garderait les extrants des deux biens inchangés à leurs quantités initiales.


3. Optimalité Pareto en production et concurrence parfaite :

L'optimalité de Pareto dans la production est garantie dans une concurrence parfaite. En concurrence parfaite, les prix r 1 et r 2 des deux intrants, X 1 et X 2, sont donnés aux entreprises qui produisent les biens Q 1 et Q 2, et chaque entreprise qui maximise les bénéfices équivaut au MRTS X1, x 2 au rapport des prix des intrants.

Autrement dit, pour le producteur de Q 1, on obtient:

À partir de (21.8), on obtient:

MRTS x1, x2 dans la production de Q 1 = MRTS x1, x2 dans la production de Q 2 (21.9)

Puisque la condition (21.9) est identique à la condition (21.7), l'efficacité de Pareto dans la production est une certitude en concurrence parfaite.

Nous pouvons maintenant obtenir une solution graphique de l’équation (21.7) ou (21.9) pour l’affectation des entrées X 1 et X 2 sur la production des biens Q 1 et Q 2 et pour les quantités produites de Q 1 et Q 2 . La satisfaction de la condition marginale (21.7) ou (21.9) est garantie en concurrence parfaite.

Supposons que sur les marchés concurrentiels, on donne les prix des intrants à r 1 et à r 2 . Traçons maintenant une droite ST de la pente - r 1 / r 2 jusqu'au point O 'de la Fig. 21.1, et relevons le point e de la courbe de contrat de production (CCP) où la pente commune des isoquants a été égale à la pente de la ligne ST. C'est-à-dire qu'au point e, nous avons des pentes numériques des QI de deux individus = la pente numérique de la droite ST = r 1 / r 2

C'est-à-dire qu'au point e de la figure 21.1, la condition marginale d'efficacité de la production a été remplie. À ce stade, des quantités des deux entrées x0 11 et x0 21 seraient utilisées dans la production de Q 1 et ces quantités, lorsqu'elles sont substituées dans la fonction de production pour Q 1, nous donnerait la quantité de sortie De même, les quantités des deux entrées, x0 21 et x0 22, seraient utilisées dans la production de Q 2 et la sortie ici serait q0 2 .


4. Efficacité de la consommation ou de l'échange :

Une répartition des quantités données des deux produits Q 1 et Q 2 entre deux consommateurs I et II est dite Pareto-efficace s’il est impossible, par une redistribution de ces produits, d’accroître l’utilité d’un individu sans réduction l'utilité de l'autre.

La condition marginale d'efficacité de consommation ou d'échange peut être déduite à l'aide du diagramme en boîte Edgeworth présenté à la Fig. 21.2. Les dimensions du rectangle de la figure 21.2 représentent les quantités totales disponibles, q0 1 et q0 2, des deux produits dans une économie basée sur l'échange.

Tout point de la boîte représente une distribution particulière des produits entre les deux consommateurs. Par exemple, si la distribution des produits est donnée par le point A, les quantités de Q 1 et Q 2 consommées par le consommateur I sont mesurées par les coordonnées de A par rapport à l'origine O et les quantités des deux biens consommés par II sont: mesurée par les coordonnées de A par rapport à l'origine O '.

La carte d’indifférence du consommateur I a été attribuée à l’origine O et celle de II à l’origine O '.

Or, la condition marginale de l'efficacité de Pareto en matière de consommation ou d'échange serait obtenue si nous maximisions le niveau d'utilité du consommateur I ou II sous réserve du niveau d'utilité donné du consommateur II ou I. Cette maximisation se produirait à un point de convergence entre l'indifférence courbes (CI) des deux consommateurs. Par exemple, la maximisation de l'utilité du consommateur I soumis au niveau d'utilité de II tel qu'indiqué par IC 1 du consommateur II se produirait au point de tangence, E, entre les CI de deux consommateurs.

De même, la maximisation de l'utilité du consommateur II sous réserve du niveau d'utilité de I donné par l'IC 3 du consommateur I se produirait au point de tangence, F, entre les CI des deux consommateurs. On peut donc ajouter que l’équilibre d’échange n’est pas unique.

Maintenant, au point de tangence entre les circuits intégrés des deux consommateurs, nous avons la pente numérique du circuit intégré du consommateur I = pente numérique du circuit intégré du consommateur II

=> MRS Q1, Q2 du consommateur I = MRS Q1, Q2 du consommateur II (21.11)

Ainsi, la condition marginale pour l'efficacité de Pareto en consommation est donnée par (21.11). Il est évident d'en haut que tout point de tangence entre les circuits intégrés de deux consommateurs est un point d'efficacité de Pareto. Si nous joignons tous ces points de tangence par une courbe de la figure 21.2, nous obtenons ce que l’on appelle la courbe de contrat Edgeworth pour la consommation ou l’échange (CCC ou CCE), qui irait du point O au point O '.

Par conséquent, tous les points de la courbe de contrat auxquels (21.11) est satisfait sont des points de consommation Pareto-efficaces. En effet, si nous nous trouvons à un moment donné sur la courbe des contrats, sur la figure (21.2), nous ne pourrons pas, par une modification de la répartition des biens, améliorer l’utilité d’un consommateur sans en réduire l’utilité. L'autre.

Par conséquent, notons à nouveau que le point d'efficacité de Pareto en échange n'est pas unique. En revanche, tout point tel que A, qui ne se trouve pas sur la courbe de contrat et qui ne satisfait pas (21.11), est un paramètre de Pareto non optimal. Au point A, le consommateur I est sur son IC 2 et le consommateur II sur son IC 2 .

Cependant, après une redistribution des produits, si les consommateurs sont amenés à un moment donné sur la courbe de contrat entre E et F, les deux consommateurs en bénéficieraient pour eux deux atteindraient désormais des CI plus élevés, et si point E ou F, l’un d’eux en bénéficiera, alors que le niveau d’utilité de l’autre restera le même.

Cela montre que tout point A, qui ne se trouve pas sur le CCE, est un paramètre de Pareto non optimal et, par une redistribution des produits, si nous amenons les consommateurs dans le segment EF du CCE, alors au moins l'un d'eux avantage, le niveau d’utilité de l’autre restant le même.

Nous avons vu que tous les points de la courbe des contrats sont efficaces au sens de Pareto. Cependant, nous ne pouvons pas comparer les points de la courbe des contrats car cela impliquerait une comparaison interpersonnelle de l'utilité, ce qui n'est pas possible sans un jugement de valeur explicite.

Dérivation mathématique des conditions :

Nous pouvons aussi déduire mathématiquement la condition marginale de l'efficacité de Pareto en matière de consommation ou d'échange. Supposons que les fonctions d’utilité des deux consommateurs I et II soient respectivement,

u 1 = u 1 (q 21, q 12 )

et u 2 = u 2 (q 21, q 22 ) (21.12)

où q 11 et q 12 sont les quantités de Q 1 et Q 2 consommées par le consommateur I et q 21 et q 22 sont les quantités des deux produits consommés par le particulier II.

Si et q 2 sont les quantités données des deux biens, on a:

q 11 + q 21 = q0 1

et q 12 + q 22 = q0 2 (21.13)

Il est évident d'après (21.12) que le niveau d'utilité de chaque consommateur ne dépend que des quantités qu'il consomme et non des quantités consommées par l'autre. Autrement dit, on a supposé ici que les effets externes étaient absents.

Pareto-efficacité de la consommation implique que u 1 soit maximisé sous un u 2 = u0 2 donné, ou inversement. Formons alors la fonction de Lagrange pertinente, V, pour la maximisation contrainte de u 1 comme

V = u 1 (q 11, q 12 ) + λ [u 2 (q 2 (q 21, q 22 ) -u0 2 ] (21.14)

où λ est le multiplicateur de Lagrange.

Maintenant, les conditions de premier ordre pour la maximisation contrainte de u 1 soumis à u 2 = u0 2 sont les suivantes:

La condition d'efficacité paréto (21.11) ou (21.16) nous indique que les quantités données des deux produits doivent être réparties entre les deux consommateurs de manière à ce que le MRS entre les produits puisse être identique pour les deux consommateurs.

Nous pouvons maintenant voir à l'aide d'un exemple simple pourquoi la condition (21.11) est nécessaire à l'efficacité de Pareto en matière de consommation.

Supposons que:

pour l'individu I, => MRS Q1, Q2 = 2 et

pour l'individu II, => MRS Q1, Q2 = 1

c'est-à-dire que le MRS n'est pas le même pour les deux individus.

Cela signifie que l'individu I est prêt à échanger 2 unités de Q 2 contre 1 unité de Q 1 et que l'individu II est disposé à échanger 1 unité de Q 2 contre 1 unité de Qi. Dans un tel cas, où le MRS n’est pas le même pour les deux personnes, nous pouvons redistribuer les produits pour améliorer au moins l’un d’entre eux sans nuire à l’autre consommateur.

Ce que nous devons faire ici est de retirer 1 unité de Q 1 du consommateur II et de le donner à I qui nous donnera 2 unités de Q 2 en échange. Nous donnons maintenant une de ces unités à B pour maintenir son niveau d'utilité constant. Il souhaite disposer d'une unité Q 2 pour abandonner une unité de Q 1 .

Mais il nous reste maintenant 1 unité de Q 2 . Nous pouvons le donner à I ou à II, et ainsi améliorer le sort de I ou II sans aggraver la situation de l'autre personne. Ainsi, l'allocation initiale n'était pas efficace.

L'exemple ci-dessus nous montre que si le MRS des deux individus n'est pas égal, si le MRS de II est inférieur, par exemple, à celui de I, nous devons alors supprimer l'unité marginale du bien Q, de l'individu II, et donner: à moi dont le MRS est plus élevé, et lui enlève le bon Q 2 en échange.

Au fur et à mesure que nous poursuivons le processus, le MRS de II augmente lorsque la quantité de Q 1 avec lui diminue et le MRS de I diminue lorsque la quantité de Q 1 avec lui augmente, et, comme nous l'avons vu, la distribution s'améliore dans le sens de Pareto. Par conséquent, si nous voulons atteindre la situation d'efficacité de Pareto, nous devons poursuivre le processus jusqu'à ce que le MRS des deux personnes devienne égal.

Car lorsque les MRS des deux personnes sont égales, aucune autre redistribution ne pourra faire du bien à au moins l’une d’elles sans nuire à l’autre. Pour comprendre cela, supposons que MRS des deux personnes soit égal et égal à 4.

Dans ce cas, si nous retirons 1 unité de Q 1 au consommateur II et le donnons au consommateur I, ce dernier nous donnera 4 unités de Q 2 en échange afin de conserver son niveau d'utilité. Si nous donnons maintenant ces 4 unités à l'individu II, son utilité assumerait le niveau initial. C’est-à-dire qu’au moyen d’une redistribution des produits, nous n’avons pas pu améliorer le niveau d’utilité d’au moins une des personnes. Au contraire, une redistribution des biens maintiendrait les individus sur leurs niveaux d'utilité initiaux.


5. Optimalité Pareto en matière de consommation ou d'échange et concurrence parfaite:

On peut facilement montrer que l'optimalité de consommation de Pareto est automatiquement atteinte dans des conditions de concurrence parfaite. Pour une concurrence parfaite, les prix P 1 et P 2 des deux produits sont communiqués aux consommateurs, chaque consommateur maximisant l'utilité assimilant son MRS de Q 1 pour Q 2 au rapport entre les prix des produits.

Pour le consommateur I, nous obtenons:

qui n'est autre que la condition de Pareto-efficience (21.16) ou (21.11).

Ainsi, une concurrence parfaite garantit l'efficacité de Pareto dans la distribution des produits de base entre les consommateurs.


6. Conditions d'optimalité de Pareto lorsque les effets externes sont présents:

La condition marginale pour une répartition pareto-efficace de quantités données de deux biens (Q 1 et Q 2 ) entre les deux individus (I et II) telle que donnée par (21.18) a été obtenue en partant de l'hypothèse que les externalités de consommation sont absents.

Nous verrons maintenant que si les effets externes sont présents, la condition d'optimalité de Pareto dans la consommation serait généralement différente de la condition marginale (21.18).

Supposons que les effets externes sont présents dans la consommation en ce sens que le niveau d'utilité d'un consommateur dépend aussi de la consommation d'un autre.

Supposons que les fonctions d’utilité des deux consommateurs sont données par:

L'optimalité de Pareto sera atteinte si u 1 est maximal sous réserve d'un niveau donné de u 2 = u0 2 .

Pour dériver les conditions de cette maximisation sous contrainte, nous devons former la fonction de Lagrange:

L'équation (21.23) est la "condition nécessaire pour optimiser la consommation de Pareto lorsque des effets externes sont présents. Elle diffère généralement de la condition marginale d'optimalité de Pareto donnée par (21.18) ou (21.16) ou (21.11).

L’achèvement parfait garantit l’atteinte de (21.11) mais pas de (21.23). Il est évident d'après (21.23) que si les effets externes étaient absents, nous aurions u 1 / q 21, u 1 / ∂q 22, u 1 / q 11 et u 2 / ∂q 12, tout égal à zéro, puis (21.23) aurait réduit à (21.11).

Puisque nous avons supposé ici que les dérivées partielles des fonctions d’utilité sont des fonctions de toutes les variables, à savoir, q 11, q 12, q 21 et q 22, la position optimale de chaque consommateur dépend du niveau de consommation de l’autre.

Par exemple, si nous supposons que le seul effet externe présent dans le modèle à deux consommateurs est ∂u 2 / ∂q 11 <; 0, alors l'équation (21, 23) devient:

intuitivement compris pourquoi il en est ainsi. Si la consommation de Q 1 du consommateur I augmente, le niveau d'utilité du consommateur II diminue. Cela implique que l'importance marginale de Q 1 sur le consommateur II est relativement grande, ce qui implique également que les MRS Q1, Q2 du consommateur II devraient être plus petites à l'état de distribution optimale des biens.

En effet, à cette distribution par rapport à la distribution assimilant MRS, la quantité de Q 1 possédée par le consommateur II serait plus grande que celle possédée par le consommateur I.

La Fig. 21.3 montre schématiquement que cette condition (21.16) ne garantit pas nécessairement l'optimalité de Pareto en présence d'effets externes. Les figures 21.3 (a) et 21.3 (b) nous donnent la carte d'indifférence des consommateurs I et II, respectivement. Supposons qu'au départ, le consommateur I consomme la combinaison A et le consommateur II consomme la combinaison E.

Les MRS Q1, Q2 des deux consommateurs sont égaux aux points maximisant leur utilité, compte tenu des prix des produits. Supposons maintenant qu’il n’ya pas d’effets externes sur le consommateur I, c’est-à-dire que le niveau d’utilité de I n’est pas affecté par la consommation de II.

Bien que le niveau d’utilité du consommateur II soit affecté par la consommation du consommateur I. Supposons, comme nous l’avons déjà fait, qu’à mesure que je consomme plus de Q 1, le niveau d’utilité diminue, c’est-à-dire, ∂u 2 / q 11 <0 C'est l'effet externe présent ici.

21.3 (b), les courbes d'indifférence du consommateur II (solides) ont été établies en supposant que la consommation de I est donnée par la combinaison A. Dans leurs situations d'équilibre individuelles, l'indice d'utilité du consommateur I est égal à 100 et celui de II 80.

Redistribuons maintenant les produits entre les deux individus de telle sorte que leurs quantités globales restent inchangées et que je passe au point C avec moins de Q 1 et plus de Q 2 et II passe au point G ayant plus de Q 1 et moins de Q 2 ( AB = FG et BC = EF). Le niveau d'utilité du consommateur I n'a pas changé à cause de cette redistribution: il reste sur le même circuit intégré.

Cependant, étant donné que la consommation de Q 1 du consommateur I a diminué, le schéma de préférence-indifférence du consommateur II serait affecté. Ses nouveaux circuits intégrés sont donnés par les courbes en pointillés. De plus, au point G, le niveau d’utilité du consommateur II a été porté à 90 puisque je consomme maintenant moins de Q 1 .

Par conséquent, grâce à la redistribution, nous avons pu augmenter le niveau d’utilité de II, le niveau de I restant constant. C'est-à-dire que les positions d'équilibre initiales en A et E où la MRS des consommateurs était égale, étaient de Pareto non optimales. Par conséquent, nous avons vu que l’égalité de MRS des deux consommateurs n’assure pas l’optimalité de Pareto.

Dans les situations d'équilibre actuelles, le MRS du consommateur I a augmenté depuis qu'il s'est déplacé vers le nord-ouest le long du même circuit intégré, et le MRS de II a diminué depuis qu'il s'est déplacé vers le sud-est, pas le même circuit intermédiaire, mais le long d'un circuit intermédiaire presque parallèle. .

Autrement dit, si ledit effet externe est présent, le MRS du consommateur II serait inférieur à celui du consommateur I. Ce résultat a déjà été obtenu dans l'analyse mathématique donnée ci-dessus.


7. Efficacité de la répartition des facteurs entre les produits, ou efficacité du mélange de produits ou de la composition de la production:

Une composition de la production ou de la combinaison de produits est Pareto-efficace s'il est impossible d'accroître l'utilité d'un individu sans réduire l'utilité de l'autre en réaffectant les facteurs entre les produits, ce qui conduit à une composition différente.

La condition marginale pour un mélange de produits Pareto-efficace stipule que le taux marginal de transformation du produit (MRPT) de Q 2 en Q 1 doit être identique au taux de substitution marginal (MRS) de Q 1 pour Q 2, pour chaque consommateur.

Ici, le MRPT de Q2 à Q1 est égal à la quantité par laquelle la production de Q2 doit être réduite afin de produire une unité supplémentaire (ou marginale) de Q1 et, en tant que telle, égale à la pente numérique de la courbe ou de la frontière des possibilités de production de l'économie (PPC ou PPF).

Le PPC d'une économie passe par toutes les combinaisons des deux biens (Q 1 et Q 2 ) que les quantités disponibles des deux intrants (X 1 et X 2 ) peuvent produire Pareto de manière efficace. C'est-à-dire que toute combinaison des deux biens figurant sur le PPC nous donne la quantité maximale de Q 1 pouvant être produite sous réserve de la production d'une quantité donnée de Q 2, ou le maximum de Q 2 sous une quantité donnée. de Q 1 .

En d’autres termes, les combinaisons des deux biens qui figurent sur le PPC sont celles qui se trouvent sur la courbe de contrat Edge-value pour la production (CCP) [Fig. 21.1]. C'est-à-dire qu'il y a une correspondance un à un entre les points du PCC et ceux du CPP. Puisque, au fur et à mesure que nous avançons dans le PCC, la quantité de l’un des biens augmente et celle de l’autre diminue, la pente du PPC serait négative.

De plus, à mesure que de plus en plus d’intrants sont retirés de la production de Q 2 et participent à la production de Q 1, Q 2 peut être transformé en Q 1 à une vitesse constante, auquel cas le CPP serait une ligne droite à pente négative avec sa pente numérique ou MRPT étant une constante ou, ce qui est plus probable, Q 2 peut être transformée en Q 1 à un taux croissant en raison de la loi du produit marginal décroissant, auquel cas le PPC serait concave à l'origine avec son la pente numérique ou MRPT augmente lorsque Q 1 augmente et que Q 2 diminue, c.-à-d. lorsque nous nous déplaçons vers le sud-est le long de la courbe. Nous avons montré ces deux types de PPC à la Fig. 21.4.

Maintenant, comme le MRPT indique le taux de transformation d’un produit en un autre en production et le MRS indique le taux de volonté des consommateurs d’échanger un produit contre un autre, le mélange de produits Pareto-efficient ne peut être obtenu que deux taux sont égaux. Ce n'est qu'alors que les plans du secteur de la production peuvent être compatibles avec les plans du secteur des ménages et que les deux sont en équilibre.

Nous pouvons illustrer l’argument à l’aide d’un exemple numérique simple. Supposons qu’à une composition de produit donnée, le MRPT soit égal à 7, c’est-à-dire que 7 unités de Q 2 peuvent être transformées en 1 unité de Q 1 .

Par ailleurs, pour cette composition de produit, le MRS de chaque consommateur est de 3. Par exemple, pour remplacer une unité supplémentaire (ou marginale) de Q 1, chaque consommateur est prêt à renoncer à 3 unités de Q 2 que son niveau d'utilité pourrait rester constant.

Pour améliorer la situation en matière de bien-être, nous pouvons dans ce cas: prendre 1 unité de Q 1 consommateur et en remplacer 7 unités de Q 2 puis, sur ces 7 unités, nous pouvons give 3 units to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 . We are then left with 4 units of Q 2 for each consumer.

If their number is 2, then we are left with 8 units of Q 2 some of which we may give to consumer I and some to consumer II. Thus the utility level of both the consumers would increase. This shows us that the initial situation of MRPT ≠ MRS was Pareto-non-optimal.

Now, as we take away Q 1 from each consumer, his MRS Q1, Q2 would increase (from 3) and as we move northwestward along the PPC curve to have Q 2 in its place, the MRPT would decrease (from 7). We have to continue the process unless at some product composition MRPT becomes equal to MRS.

Therefore, the marginal condition for the Pareto-efficient product-mix gives us that the MRPT between the products should be equal to the MRS of each consumer. It may very well be seen that once these two become equal, no improvement in welfare can be achieved by any further change in product composition.

For example, if both MRPT and MRS are equal to 5, say, then, if we take away 1 unit of Q 1 from each consumer, 5 more units of Q 2 would be obtained in its place, and all of these 5 units would have to be given to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 —to keep him on his initial utility level. Thus, nothing would be available for any improvement.

On the basis of the above analysis, we may write the marginal condition for the Pareto- efficient product-mix or composition of output as

MRPT Q2 into Q1 = MRS Q1, Q2 of consumer I = MRS Q1, Q2 of consumer II (21.25)


8. Pareto-Optimal Composition of Outputs and Perfect Competition:

Like the other two marginal conditions, the third marginal condition of Pareto-efficient composition of output is also guaranteed by perfect competition, where the prices p 1 and p 2 of the goods Q 1 and Q 2, are given to the two firms and two consumers.

Also, in profit-maximising equilibrium under perfect competition, we have the marginal cost of production (MC 1 ) of Q 1 equal to pi and the marginal cost of production (MC 2 ) of Q 2 equal to p 2 (ie, p 1 = MQ and P2 = MC 2 ).

We have seen above that the Pareto-efficient product-mix cannot be obtained unless the MRPT of Q 2 into Q 1 and the MRS of Q 1 for Q 2 for each consumer are equal, and that this condition is guaranteed under perfect competition. We may now see graphically how eqn. (21.28) can be solved for the combination of the two goods that would make the production sector's plans consistent with the household sector's plans.

We have obtained, therefore, that the equilibrium commodity combination for our society consisting of two profit-maximising firms and with given quantities (x0 1 and x0 2 ) of two inputs, is the one where the condition given by equation (21.27) or equation (21.28) is satisfied.

We might remember at this point that the PPC passes through the commodity combinations implicit at the points on Edgeworth contract curve for production (CCP), ie, these commodity combinations on the CCP have been mapped into the PPC, or, there is a one-to-one correspondence between these commodity combinations implicit at the points on the CCP and those lying on the PPC.

(21.27) gives us that the point where the condition for equilibrium commodity combination is satisfied is the point of tangency between the PPC curve and line of slope –p 1 /p 2 . In Fig. 21.5, AB is this line, say, and it has touched the PPC curve at the point E. Therefore, the society's equilibrium production point is the point E, and it should produce q0 1 and q0 2 of the two commodities.

We may now come to the distribution of the goods between the two consumers, I and II. They have to be so distributed that the Pareto-efficiency in consumption is achieved, ie, the marginal condition for such efficiency is satisfied.

As we know, this marginal condition is:

We also know that the satisfaction of this condition is guaranteed under perfect competition, since both of them would be equal to p 1 /p 2 which is given and constant:

In Fig. 21.5, the Pareto-efficient distribution of the goods is obtained at the point e on the Edgeworth contract curve for consumption (CCC), for, at this point, both the indifference curves (ICs) of the two consumers have touched the line A'B' which is parallel to the line AB.

That is, in order to obtain the Pareto-efficient distribution of the goods, we have to find out the point (like e) on the Edgeworth CCC at which the numerical slopes of the ICs of the two consumers are equal to p 1 /p 2 which is here the numerical slope of the line AB.

To be more specific, as the solution of eqn. (21.26), we have obtained the economy's production of the two goods to be E(q0 1 q0 2 ) and by solving (21.17), we would obtain the distribution of these quantities between the two consumers (at the point e) to be (q0 11, q0 12 ) for the first consumer and (q0 21, q0 22 ) for the second consumer.


 

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