Substituts parfaits de la consommation | Comportement du consommateur

Substituts parfaits :

Dans certains cas de consommation, un consommateur de deux produits (X et Y) peut préférer substituer l’un des produits, par exemple X, à l’autre produit Y à un taux constant, afin de maintenir son niveau d’utilité constant, c’est-à-dire MRS. X, Y = constant. Par exemple, il peut toujours vouloir substituer un crayon rouge à un crayon bleu pour se maintenir sur la même courbe d'indifférence (IC).

Dans ce cas, naturellement, son degré d'utilité dépendrait du nombre total de crayons, et non du nombre de crayons rouges et du nombre de crayons bleus, à condition que le consommateur ne soit fasciné par aucune couleur en particulier.

Par conséquent, sa fonction d'utilité peut être écrite comme suit:

U = x + y (6, 93)

où x et y sont respectivement le nombre de crayons rouges et bleus.

Cependant, (6.93) n’est pas la seule fonction d’utilité qui puisse être utilisée pour représenter le schéma de préférences du consommateur en discussion. Car toute transformation monotone positive de la fonction peut servir notre objectif. Par conséquent, il pourrait également utiliser le carré du nombre total de crayons pour déterminer son niveau d'utilité.

En d'autres termes, sa fonction d'utilité peut également être:

V (x, y) = (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2 (6, 94)

Il est évident que (6.94) est une transformation monotone positive de (6.93). Voyons maintenant à quoi ressemblerait la fonction d’utilité si le consommateur remplaçait le bien X par le bien Y à un taux autre que un à un. Supposons, par exemple, que le consommateur substitue 1 unité de bien X à 2 unités de bien Y.

Dans ce cas, le MRS X, y est égal à 2, c’est-à-dire que la pente de l’IC = −2 et que l’équation de l’IC serait donc U 0 = 2x + y, et donc la fonction d'utilité serait

U (x, y) = 2x + y (6, 95)

En général, les préférences pour les substituts parfaits peuvent être représentées par une fonction d’utilité de la forme:

U (x, y) = ax + par

Ici a et b sont des nombres positifs, le MRS xy = a / b = constant, la pente d'un IC serait - a / b = constante. Puisque MRS xy = a / b, la valeur de 1 unité marginale de bien X pour le consommateur est égale à a / b unité de bien Y, ou la valeur de «b» unité de bien X, en marge, est égale à à 'une' unité de bien y.

(A) Implications du taux marginal de substitution constant sur les courbes d'indifférence et l'équilibre du consommateur :

Supposons que le consommateur utilise seulement deux produits X et Y, tous deux de type plus-meilleur (MIB). L'une des hypothèses standard de la théorie de la courbe d'indifférence (IC) est celle de la diminution du taux marginal de substitution du bien X au bien Y (MRS X, Y ) lorsque le consommateur remplace X par Y.

Les axiomes de la MIB et de la diminution de la MRS donnent lieu à deux des propriétés standard des CI: les CI sont en pente négative et convexes à l'origine. Par conséquent, si le MRS X, Y ne diminue pas, s'il est constant ou en augmentation, les circuits intégrés seraient inclinés négativement, mais pas convexes à l'origine.

Parlons d’abord des implications d’un MRS constant. Par définition, MRS X, Y en un point quelconque d'un CI est égal à la pente numérique du CI en ce point. Par conséquent, la constance de MRS X, Y impliquerait que les circuits intégrés du consommateur seraient des lignes droites à inclinaison négative, comme indiqué dans les parties (a), (b) et (c) de la figure 6.37.

Discutons maintenant des implications des circuits intégrés en ligne droite à pente négative pour l’équilibre du consommateur. Si les CI sont convexes à l'origine, l'équilibre du consommateur serait obtenu au point de tangence entre sa ligne budgétaire et l'un de ses CI.

Mais lorsque les circuits intégrés sont des lignes droites à inclinaison négative, aucune d’entre elles ne peut avoir de point de tangence avec une ligne budgétaire linéaire. Donc, ici, il n’ya pas d’équilibre de point de tangence. Au lieu de cela, il y a trois cas différents.

Dans le premier cas, si les circuits intégrés sont des lignes droites à pente négative et que chacune d’elles est plus raide que la ligne budgétaire, comme le montre la Fig. 6.38 (a), alors que le consommateur se dirige vers la droite le long de sa ligne budgétaire, atteindre des CI de plus en plus hauts.

Enfin, au coin B de la ligne budgétaire en abscisse, le consommateur serait en équilibre car, à ce stade de la ligne budgétaire, il se situe au plus haut niveau possible de IC, à savoir, IC 4 .

L'équilibre au point d'angle s'appelle une solution d'angle ou une solution de limite. Ici, à la solution d'angle donnée par le point B, le consommateur n'achèterait que le bien X et non Y, c'est-à-dire qu'il dépenserait tout son argent en X. Évidemment, dans ce cas, le consommateur disposerait d'une solution d'équilibre unique.

L’interprétation économique de la raison pour laquelle le consommateur serait en équilibre au point B est la suivante. Ici, en tout point de la ligne budgétaire, la pente numérique d'un CI ou du MRS XY, ou la signification de l'unité marginale de X en termes de Y, est supérieure à la pente numérique de la ligne budgétaire, ou, le prix du marché de X en termes de Y.

En revanche, l’importance de l’unité marginale du bien Y en termes de X serait inférieure au prix du marché de Y en termes de X. Par conséquent, le consommateur qui maximisait l’utilité continuerait monotonement à augmenter ses achats de bien X et diminuer son achat de bien Y le long de sa ligne budgétaire jusqu'à ce qu'il atteigne l'extrême au point B.

Dans le second cas, qui est exactement le contraire du premier, si les circuits intégrés en ligne droite à pente négative sont plus plats que la ligne budgétaire, comme le montre la Fig. 6.38 (b), alors que le consommateur monte vers la gauche sa ligne budgétaire, il atteindrait des CI de plus en plus élevés, et enfin, au point A de la ligne budgétaire avec l’axe des y, le consommateur serait en équilibre, car à ce stade, il serait sur la IC le plus élevé possible, à savoir, IC 4 .

Par conséquent, dans ce cas également, il aurait une solution de coin unique. Au coin A, le consommateur n'achèterait que Y (OA de Y) et non X.

L’interprétation économique de la raison pour laquelle le consommateur serait en équilibre au point A est la suivante: étant donné que les CI sont plus plats que la ligne budgétaire, l’importance de l’unité marginale de X en termes de Y en tout point de la ligne budgétaire, est inférieur au prix du marché de X en termes de Y et, par conséquent, l'importance de l'unité marginale de Y en termes de X est supérieure au prix du marché de Y en termes de X.

Par conséquent, le consommateur ici continuerait à augmenter son achat de Y et à le diminuer jusqu'à ce qu'il atteigne le point A.

Enfin, dans le troisième cas, si les circuits intégrés de ligne droite à pente négative sont parallèles à la ligne budgétaire, l'un des CI coïncidera avec la ligne budgétaire, par exemple, IC 3 sur la figure 6.38 (c). Ce circuit intégré (c.-à-d. IC3) est la courbe la plus haute que le consommateur puisse atteindre sous réserve de sa contrainte budgétaire. Tout point de ce CI, qui est également un point de la ligne budgétaire, peut être considéré comme le point d'équilibre du consommateur.

Par conséquent, ici, le consommateur n'a pas de solution d'équilibre unique - il peut avoir un grand nombre de points d'équilibre. En outre, tous les points d'équilibre (sur la ligne budgétaire), à ​​l'exception des deux points d'angle, sont des solutions sans angle. Le consommateur achèterait alors une combinaison des deux produits.

L’interprétation économique de ce troisième cas peut être donnée comme ceci. Ici, puisque la pente numérique du CI est égale à celle de la ligne budgétaire, la signification marginale de X (ou Y) en termes de Y (ou X) est égale au prix du marché de X (ou Y). en termes de Y (ou X) en tout point du CI qui coïncide avec la ligne budgétaire, le consommateur est également satisfait de tous ces points.

Donc, n'importe quel point de ce CI sujet à son budget peut être son point d'équilibre.

Ainsi, l'analyse montre que si le MRS est constant, les circuits intégrés du consommateur seraient des lignes droites à inclinaison négative. Jusqu'à présent, son équilibre est concerné, ici trois cas distincts sont obtenus.

Dans les deux premiers cas, le consommateur aurait des solutions d’équilibre en coin: il n’achèterait que X dans le premier cas et seulement Y dans le second. Dans le troisième cas, le consommateur n'aurait pas de solution unique. Il peut avoir un grand nombre de solutions - corner ou non corner.

(B) La nature de l'équilibre du consommateur et les effets de prix, de revenu et de substitution :

Dans le cas de circuits intégrés à ligne droite à pente négative, si les circuits intégrés sont plus raides que la ligne budgétaire, l’équilibre du consommateur sera obtenu au point situé à l’angle de la ligne budgétaire par rapport à l’axe horizontal. À ce stade, le consommateur n'achètera que du bon X et pas de Y. Par exemple, sur la figure 6.39, avec la ligne budgétaire A1B1, l'équilibre du consommateur a été obtenu au point B1, le consommateur achetant l'OB 1 de X et zéro de Y.

Si maintenant le revenu monétaire du consommateur augmente, les prix des biens restant inchangés, sa ligne budgétaire évoluerait parallèlement vers la droite, passant de A 1 B 1 à A 2 B 2 et sa solution de coin d'équilibre passerait du point B 1 au point B 2. .

À mesure que le revenu de l'argent du consommateur, ainsi que son revenu réel, augmente, il passe du CI inférieur IC 1 au IC supérieur IC 2 . Bien sûr, il dépense tout son argent pour acheter l’OB 2 de X et rien de Y.

Dans ce cas, l'ICC du consommateur peut être obtenu en joignant le point d'origine O et les points B 1, B 2, etc. Il est évident que son ICC est l'axe des abscisses ou l'axe des x lui-même. En outre, ici, lorsque son revenu monétaire (M) est égal à zéro, il achète zéro des deux biens au point d'origine O.

À mesure que M augmente, son achat de X augmente proportionnellement, car il dépense tout son argent (M) sur X et le prix de X reste constant. C'est pourquoi sa courbe d'Engel serait une ligne droite ascendante passant par l'origine, le niveau de cette courbe dépendant du prix de X - le niveau étant supérieur, plus le prix de X est bas.

Essayez maintenant d’expliquer l’effet prix (PE) dans le cas de MRS constant et la décomposition de cet effet en un effet de substitution (SE) et un effet revenu (IE), à l’aide de la Fig. 6.41. Supposons qu'au départ la ligne budgétaire du consommateur soit A 1 B 1 et que son équilibre se situe au point B 1 - il achète OB 1 de X et zéro de Y sur IC 2 .

Supposons maintenant que le prix de X baisse, ceteris paribus, et que sa ligne budgétaire passe de A 1 B 1 à A 1 B 2 . Son point d'équilibre serait maintenant le coin B 2 . Il passe maintenant à un IC plus élevé, à savoir l'IC 3, alors que son revenu réel a augmenté, et il achète maintenant B 1 B 2 plus de X à cause du PE, et continue d'acheter zéro de Y. Ici, l'effet prix est le mouvement dans son point d'équilibre de B 1 à B 2 .

Pour connaître la partie effet de substitution de l’effet prix, appliquons maintenant la variation de revenu compensatrice de Slutsky en réduisant son revenu monétaire de B 1 B 2 en termes de X ou A 1 A 2 en termes de Y, de sorte la ligne budgétaire peut évoluer parallèlement à gauche de A 1 B 2 à A 2 B 1, et il peut éventuellement acheter la combinaison initiale B 1 . Cependant, lorsque sa ligne budgétaire est A 2 B 1, il serait également en équilibre au point B 1 .

Comparez son point d’équilibre initial B 1 à son nouveau point d’équilibre B 1 et constate que l’effet de substitution sur son plan d’achat est nul. En effet, aucune substitution n'est possible ici, car le consommateur achète toujours zéro de Y et dépense tous ses revenus sur X (quelle que soit sa ligne budgétaire).

Rendez-lui le revenu en argent qui lui est retiré, sa ligne budgétaire passerait parallèlement de A 2 B 1 à A 1 B 2 et son point d'équilibre passerait de B 1 à B 2 - ce mouvement représente le revenu effet.

Le même mouvement représente l'effet prix. Par conséquent, ici, l’effet revenu et l’effet prix seraient identiques. Ceci est évident, car il n'y a pas d'effet de substitution.

On peut noter ici que, dans le cas considéré, les courbes revenus-consommation et prix-consommation seraient l'axe horizontal (x) lui-même, car, du fait des variations du revenu et des prix, le point d'équilibre du consommateur se déplace le long de l'axe des x.

(C) Relations prix-demande en cas de SRP constant:

On obtient les relations de demande suivantes en cas de MRS constant:

(i) Si la ligne budgétaire est plus plate que les courbes d'indifférence, le consommateur dépenserait tout son revenu monétaire (M) sur le bien X, c'est-à-dire que sa demande pour le bien X serait:

x = M / p x v (6, 97)

Puisque M est constant, eqn. (6.97) donne que la courbe de demande pour le bien X (d x d x ) serait dans ce cas une hyperbole rectangulaire, comme le montre la Fig. 6.42.

(ii) Si les CI sont plus plats que la ligne budgétaire, le consommateur dépenserait tout son argent en Y et il exigerait zéro du bien X à n'importe quel prix, c'est-à-dire

x = 0 (6, 98)

L'équation (6.98) donne la courbe de demande (d x d x ) pour le bien X. Dans ce cas, l'axe p x est lui-même (figure 6.43).

(iii) Si la pente de la ligne budgétaire est la même que celle des CI, l'un des CI coïncidera avec la ligne budgétaire. Dans ce cas, n'importe quel point de la ligne budgétaire peut être le point d'équilibre du consommateur, de sorte que la demande du consommateur en biens X puisse être toute quantité comprise entre zéro et M / p x à la p x donnée (Fig. 6.44), à savoir, nous aurions

X = toute quantité comprise entre 0 et M / p X, c.-à-d. 0 ≤ x ≤ M / p X ……. (6.99)

L'équation (6.99) donne la courbe de la demande (d x d x ). Dans ce cas, la courbe est celle indiquée à la Fig. 6.44 - il s'agirait d'une droite horizontale au niveau de p x soumis à x ≤ M / p X

Un cas particulier intéressant de relation prix-demande dans le schéma de préférence MRS constant serait obtenu lorsque le MRS du consommateur X, Y = 1, c'est-à-dire lorsque la pente numérique de ses CI est égale à 1.

Ici, trois cas sont obtenus:

(a) Pour p x > p Y, la ligne budgétaire serait plus raide que les CI et la solution d'équilibre serait obtenue dans le coin supérieur de la ligne budgétaire, c'est-à-dire que le consommateur achèterait une quantité nulle de bien X, c'est-à-dire, l’axe vertical (p x ) de la figure 6.45 serait la courbe de demande du consommateur pour le produit X.

(b) Pour p x = P y, la ligne budgétaire serait parallèle aux CI - la pente numérique des deux serait égale à 1. Par conséquent, pour tout p x, la demande de X serait comprise entre zéro et M / p X. Ainsi, dans ce cas, la courbe de la demande pour le bien X serait une droite horizontale au niveau de p x sur 0 ≤ x ≤ M / p X = M / p Y (p X = p Y ).

(c) Pour p x <p y, la ligne budgétaire serait plus plate que les courbes d'indifférence, sa pente numérique étant inférieure à 1. Ici, à n'importe quel p x, la demande du consommateur pour X serait égale à M / p X, c'est-à-dire:

x = M / p X.

ou p x .x = M = constant. Dans ce cas, la courbe de demande du consommateur pour X serait une hyperbole rectangulaire.

On obtient donc que, sous MRS X, Y = 1, la courbe de demande du consommateur pour le bien X serait semblable à d x d x, comme le montre la figure 6.45; tout d'abord, la courbe aurait un segment vertical pour p X > P Y, elle aurait alors un segment horizontal pour p x = p Y et, enfin, la courbe aurait un segment d’hyperbole rectangulaire pour p X <p Y.

La relation prix-demande entre la demande de bien Y et son prix peut être obtenue de la même manière que celle obtenue dans le cas du bien X.

(D) La relation entre le revenu et la demande lorsque le MRS X, Y est constant :

De,

x = M / p x [eqn. (6, 97)]

on obtient que p x reste constant lorsque M (revenu monétaire) augmente, x (demande du bien X) augmente également et x est proportionnel à M, c'est-à-dire si M augmente t fois (où t est un nombre réel positif), x augmente également t fois.

On peut noter ici que l’équation (6.97) est la courbe de la demande du bien X si M reste inchangé - ce serait alors une relation entre p x et x; et la même équation est la courbe d'Engel pour le bien X si p x reste inchangé - ce serait alors une relation entre M et x.

Comme le montre l’équation (6.97), la courbe de Engel, qui est la relation entre M et x, est une ligne droite et mesure M le long de l’axe horizontal et x le long de l’axe vertical; la pente de la courbe de Engel serait alors égal à 1 / p x = positif [Fig. 6.46 (a)],

Lorsque les CI sont plus plats que la ligne budgétaire et que l'équilibre est une solution d'angle ou de limite sur l'axe des ordonnées, la demande du consommateur en biens X serait nulle, quel que soit son revenu. Donc, dans ce cas, la relation revenu-demande est

x = 0 [(6.98)]

à chaque M (revenu), qui est également l'équation de la courbe de Engel pour le bien X. Mesurez x le long de l'axe vertical et M le long de l'axe horizontal, la courbe de Engel serait alors dans ce cas l'axe horizontal (M) lui-même [ Figure. 6.46 (b)].

Enfin, lorsque les CI sont parallèles à la ligne budgétaire, le consommateur serait en équilibre à tout moment sur la ligne budgétaire ou sur la courbe d'indifférence qui coïncide avec la ligne budgétaire.

Dans ce cas, à tout M donné, la demande du consommateur en biens X peut prendre toute valeur comprise entre zéro et M / p x . Par conséquent, dans ce cas, la courbe d'Engel [illustrée à la Fig. 6.46 (c)] serait une droite verticale à M = M̅ donné sur la plage 0 ≤ x ≤ M̅ / p x .

Les courbes d'indifférence de ligne droite horizontale ou verticale :

Parmi les deux biens que le consommateur achète, si l’un est «mieux-que-mieux» et que l’autre n’est ni «plus-meilleur-mieux» (MIB), ni «plus-pire-pire» (MIW), alors il avoir ses circuits intégrés pour être des lignes droites horizontales ou verticales. Par exemple, supposons qu'un bon Y mesuré le long de l'axe vertical soit un MIB et qu'un bon X mesuré le long de l'axe horizontal ne soit ni un MIB ni un MIW, c'est-à-dire que MU X = 0 et MU Y > 0.

Dans ce cas, plus de bien Y donnera au consommateur un niveau de satisfaction plus élevé, mais plus ou moins de bien X ne changera rien à son niveau de satisfaction. Par conséquent, ici, les circuits intégrés du consommateur seront des lignes droites horizontales comme celles illustrées à la Fig. 6.47 (a).

Si le consommateur se déplace d'un point à un autre le long d'un CI, par exemple, s'il passe d'un point A à un autre point B, ou si C le long d'un CI en particulier, disons IC 2, il aurait alors plus ou moins de bien X qui ne changerait pas son niveau de satisfaction, puisque MU X = 0.

En revanche, lorsqu’il passe de A à B, ou de C à C, il n’a aucun changement dans la quantité de Y. Par conséquent, bien que MU Y > 0, son niveau de satisfaction reste constant sur ces points. C'est-à-dire que le consommateur serait indifférent entre les points A, B et C le long de l'IC 2, qui est donc l'un de ses IC.

À la Fig. 6.47 (a), la carte du consommateur est horizontale par rapport aux CI. Notez que dans cette carte d’indifférence, un CI supérieur représente un niveau d’utilité supérieur.

Par exemple, si le consommateur se déplace verticalement du point A de l'IC 2 au point D d'un IC supérieur, à savoir, IC 3, son niveau de satisfaction augmentera car, au point D, par rapport à A, il aurait un une plus grande quantité de bien MIB, Y, avec la même quantité de bien X. (Bien sûr, même s'il y avait eu un changement dans la quantité de X, cela n'avait pas d'importance, puisque MU X = 0)

Si les circuits intégrés sont des lignes droites inclinées négativement et sont plus plats que la ligne budgétaire du consommateur, sa solution d'équilibre serait alors une solution d'angle ou de limite au point d'angle de la ligne budgétaire avec l'axe vertical.

Ici aussi, il se passe la même chose. Étant donné que les circuits intégrés sont les plus plats à la limite, à savoir les lignes droites horizontales, la solution d'équilibre du consommateur serait obtenue au point angulaire de la ligne budgétaire avec l'axe vertical.

Dans la Fig. 6.47 (a), ce point est le point L où la ligne budgétaire amène le consommateur au CI le plus élevé possible, à savoir le IC 4 . À ce stade, le consommateur n'achèterait que Y et non X. L'économie de cette décision repose sur nos hypothèses de MU X = 0 et MU Y > 0.

Dans une analyse similaire, on constate que si MU X > 0 et MU Y = 0, les circuits intégrés du consommateur seront alors des lignes droites verticales, comme indiqué sur la figure 6.47 (b). Dans ce cas, l'un des deux CI, l'un à droite de l'autre, représentera un niveau de satisfaction supérieur. Par exemple, le niveau d’utilité de IC 4 > le niveau d’utilité de IC 3 > le niveau d’utilité de IC 2 > le niveau d’utilité de IC 1 .

En effet, si le consommateur se déplace horizontalement d’un point à l’autre d’un CI à la droite, il aura plus de bien X, la quantité de bien Y restant la même. Comme MU X > 0 et MU Y = 0, il obtiendrait un niveau de satisfaction plus élevé dans le processus.

Si les circuits intégrés sont des lignes droites inclinées négativement et plus raides que la ligne budgétaire, alors le point d'équilibre du consommateur sera le point angulaire de la ligne budgétaire avec l'axe horizontal. Dans le cas présent, étant donné que les circuits intégrés de ligne droite verticale sont les plus abruptes jusqu'à la limite, le point d'équilibre du consommateur serait le point d'angle M de la ligne budgétaire avec l'axe horizontal.

À ce stade, le consommateur serait sur le plus haut niveau possible IC, à savoir, IC 4, et il n'achèterait que du bon X et aucun Y. L'interprétation économique de la raison pour laquelle il achèterait uniquement X et aucun Y est donnée par le fait qu'ici on suppose que MU X > 0 et MU Y = 0.

Augmentation du taux marginal de substitution :

On peut observer un cas comme celui-ci: un consommateur de deux biens aime avoir plus des deux produits, c’est-à-dire que les deux produits lui sont des MIB, mais il n’aime pas avoir les deux produits en même temps, par exemple il peut aimer avoir du thé et des biscuits mais pas les deux en même temps. Dans un cas comme celui-ci, le choix optimal du consommateur n'aurait évidemment qu'un seul des deux produits et aucun autre.

Pour arriver au point d'équilibre du consommateur dans un tel cas, prenez note du fait qu'au tout début, ici, si les deux biens sont X et Y, alors par la nature du problème, le consommateur évolue dans son indifférence. courbe voudrait renoncer à l’un des produits, disons Y, pour obtenir une unité supplémentaire de l’autre bien, X, à un taux croissant, c’est-à-dire ici le taux marginal de substitution de X pour Y (MRS X, Y ) augmenterait au fur et à mesure que le consommateur substituerait X à Y. En d'autres termes, il s'agit d'un cas d'augmentation du MRS par opposition à notre hypothèse habituelle de diminution du MRS.

(A) Implications de l’augmentation du MRS sur les courbes d’indifférence et l’équilibre du consommateur :

Examinons maintenant les implications de l’augmentation du MRS pour l’analyse de la courbe d’indifférence. Si le MRS X, V augmente à mesure que le consommateur remplace le bien X par le bien Y, les CI du consommateur ne seraient pas convexes à l'origine.

Puisque MRS X, Y en un point quelconque d'un CI est égal à la pente numérique de la courbe en ce point, augmenter MRS XY implique que, comme le consommateur a de plus en plus de X et de moins en moins de Y, c'est-à-dire qu'il se déplace vers le bas le long du circuit intégré, la pente numérique de la courbe augmente, c’est-à-dire que la courbe devient plus raide, ce qui nous indique que les circuits intégrés ici seraient concaves à l’origine.

Voyons maintenant ce que cette concavité implique pour l'équilibre du consommateur. Le point de tangence est la condition de premier ordre (FOC) et la convexité à l'origine des CI est la condition de second ordre (SOC) pour l'équilibre du consommateur ou la maximisation de l'utilité.

Par conséquent, si le FOC est satisfait au point de tangence entre la ligne budgétaire et un CI, mais s'il existe une concavité des CI, c'est-à-dire que le SOC n'est pas satisfait, le point (de tangence) ne serait pas le point de maximum utilité, ce serait plutôt le point d’utilité minimale.

On peut le voir dans n’importe quelle partie de la figure 6.48. Ici, le point de tangence E sur la ligne budgétaire LM n’est pas le point de maximisation de l’utilité, car à mesure que le consommateur avance sur sa ligne budgétaire, il passe à des CI de plus en plus hauts.

Par conséquent, le point de tangence E sur sa ligne budgétaire n'est pas le point qui maximise l'utilité, mais le point qui minimise l'utilité. Le consommateur ne peut pas être en équilibre à ce stade. Ainsi, il quitterait ce point et procéderait de haut en bas à droite ou de haut en bas à gauche le long de sa ligne budgétaire et passerait de plus en plus aux CI.

En fin de compte, le consommateur atteindrait le point M sur l’axe des x ou le point L sur l’axe des y. Maintenant, il devrait comparer les niveaux de satisfaction aux points M et L. On voit ici à la Fig. 6.48 (a) que le point M se situe sur un IC supérieur, à savoir, IC 4, au point L qui se trouve sur IC 3 .

Par conséquent, sur cette figure, le consommateur serait finalement en équilibre au point M sur IC 4 . Comme le point M est un point d’angle de la ligne budgétaire, il existe une solution d’angle. Au point M, le consommateur n'achèterait que du bon X (OM de X) et pas de Y. Cependant, l'équilibre est ici un équilibre unique.

De nouveau, sur la figure 6.48 (b), le point L se trouve sur un IC supérieur, à savoir, IC 4, au point M qui se trouve sur IC 3 . Par conséquent, sur cette figure, le consommateur serait en équilibre au coin L de l’IC 4 . Donc, ici aussi, il existe une solution de coin unique. Dans ce coin, le consommateur n'achèterait que du bon Y (OL de Y) et non du X.

Enfin, sur la figure 6.48 (c), les deux points d’angle L et M de la ligne budgétaire se trouvent sur le même CI, c’est-à-dire IC 4 . Par conséquent, dans ce cas, le consommateur est indifférent entre les points L et M - les deux points peuvent être son point d'équilibre, car ils se trouvent tous deux sur le CI le plus élevé possible, dans les limites de son budget.

S'il décide de rester au point M, il achètera seulement X et s'il choisit de rester au point L, il achètera seulement Y. Par conséquent, dans ce troisième cas, le consommateur disposera d'une solution d'angle, mais la solution est: Pas unique.

Il peut maintenant tenter d’interpréter économiquement le comportement décisionnel du consommateur dans ce cas. Si le MRS augmente, ses circuits intégrés seraient concaves à l'origine et il disposerait d'une solution d'équilibre en coin.

Puisque les CI sont concaves à l'origine, le consommateur, lorsqu'il quittera le point de tangence E et descendra vers la droite le long de sa ligne budgétaire, constatera que les CI sont plus raides que la ligne budgétaire, c'est-à-dire l'importance marginale de X en termes de Y est supérieur au prix du marché de X en termes de Y. Par conséquent, il voudrait acheter davantage de X et continuer à baisser vers la droite.

Le processus se poursuivrait jusqu'à ce que le consommateur atteigne le coin M où il dépenserait tout son argent en X et achèterait le montant maximal possible de X (OM) et, bien entendu, zéro de Y.

De même, si le consommateur se déplace vers le haut le long de sa ligne budgétaire en quittant le point E, il rencontrera des CI plus plats que la ligne budgétaire, c’est-à-dire que l’importance marginale de Y en termes de X est supérieure au prix du marché de Y en termes de X.

Alors, le consommateur voudrait acheter plus de Y et il se dirigerait vers la gauche le long de sa ligne budgétaire jusqu’au coin L, où il dépenserait tout son argent en Y et achèterait le montant maximal possible de Y (OL ) et zéro de X.

Courbes d'indifférence standard conduisant à des résultats inhabituels :

Il arrive parfois que les courbes d'indifférence possèdent toutes leurs propriétés «standard» sans pour autant aboutir à une solution de tangence ou d'équilibre intérieur.

Si les circuits intégrés en pente négative, convexe à l'origine et non sécants fondés sur tous les axiomes standard et hypothèses de préférences sont plus raides ou plus plats sur toute leur longueur par rapport à la ligne budgétaire, la solution d'équilibre serait obtenue comme un angle. Dans ce cas, le consommateur n’achèterait qu’un des produits.

Le cas soit illustré à l’aide des figures 6.49 (a) et (b). Dans la Fig. 6.49 (a), les CI sont plus raides que la ligne budgétaire. Ici, à n'importe quel moment de la ligne budgétaire, la signification marginale du bien X en termes de bien Y est supérieure au prix du marché de X en termes de Y et la signification marginale de Y en termes de X est inférieure au prix du marché de Y en termes de X.

Par conséquent, le consommateur continuerait à augmenter son achat de X et à diminuer celui de Y, c'est-à-dire qu'il se dirigerait vers le bas, le long de sa ligne budgétaire, jusqu'au coin M de la ligne budgétaire. Au point M, il achèterait seulement le bon X et ne dépenserait rien pour le bien Y.

En revanche, sur la figure 6.49 (b), les CI sont plus plats que la ligne budgétaire. Par conséquent, ici, à n'importe quel point de la ligne budgétaire, la signification marginale du bien X en termes de bien Y serait inférieure au prix du marché de X en termes de Y, et la signification marginale de Y en termes de X serait supérieur au prix du marché de Y en termes de X.

Ainsi, le consommateur continuerait à augmenter son achat de Y et à diminuer celui de X, c’est-à-dire qu’il remonterait vers la gauche le long de sa ligne budgétaire jusqu’à atteindre le coin L. Au point L, il n’achèterait que du bon Y et ne dépense rien pour le bon X.

Les courbes positivement indifférentes:

Sur les deux produits (disons X et Y) que le consommateur achète, si l’un est «plus-mieux-mieux» (MIB) avec MU> 0 et l’autre est «plus est pire» (MIW) avec MU <0, alors les circuits intégrés du consommateur seraient en pente positive. Par exemple, supposons que bon X est un MIB avec MU X > 0 et bon Y est un MIW avec MU Y <0.

Maintenant, des deux points, A et B, sur n'importe quel CI, disons, IC 3 dans la Fig. 6.50, si le consommateur a plus de X en B, alors il devrait aussi avoir plus de Y en B, pour rester indifférent. entre les deux points. En effet, l'amélioration de son niveau de satisfaction rendu possible par davantage de X devrait être dûment annulée par la détérioration d'une égale mesure de son niveau de satisfaction par le biais d'une augmentation de sa consommation du bien MIW, Y.

Par conséquent, le circuit intégré dans ce cas entre une marchandise MIB et une marchandise MIW serait en pente positive. La carte d’indifférence d’un consommateur constituée de circuits intégrés en pente positive est illustrée à la figure 6.50. Notons maintenant que sur la figure 6.50, un IC plus éloigné de l'axe des ordonnées représenterait un niveau de satisfaction plus élevé si le bon X est un MIB et le bon Y est un MIW.

En effet, si le consommateur se déplace horizontalement du point B sur l'IC 3 au point C sur l'IC 4, il aura alors plus du bien MIB, X avec une quantité inchangée du bien MIW Y. est, IC 4 représenterait un niveau de satisfaction supérieur à IC 3 .

D'autre part, si X est un produit de type MIW et Y est un produit de type MIB, un CI situé plus loin de l'axe des x représenterait un niveau de satisfaction plus élevé. En effet, si le consommateur se déplace, par exemple, du point D de l'IC 5 au point C de l'IC 4, il disposerait alors d'une plus grande quantité du bien MIB Y, ainsi que de la même quantité du bien MIW, X, c’est-à-dire qu’ici IC 4 représenterait un niveau de satisfaction supérieur à IC 5 .

Que le IC entre une MIB (avec MU> 0) et un MIW (avec MU <0) soit en pente positive, peut être facilement établi en termes de mathématiques.

La pente d'un CI est:

La solution d'équilibre :

Il ressort clairement de la figure 6.50 que la solution d'équilibre dans le cas de circuits intégrés en pente positive constituerait une solution de coin. Si MU X > 0 et MU Y <0, c'est-à-dire si un CI plus éloigné de l'axe des y représente un niveau de satisfaction plus élevé, alors l'équilibre se produirait au point d'angle M de la ligne budgétaire avec l'axe des x. Le point M emmène le consommateur sur la courbe IC 6 qui est la plus éloignée de l’axe des y soumis à son budget.

À ce stade, le consommateur n'achèterait que le bien X et non Y. C'est simplement parce que X est un bien MIB ici et que Y est un bien MIW. Par contre, si MU X <0 et MU Y > 0, c’est-à-dire si un CI plus éloigné de l’axe des x représente un niveau de satisfaction supérieur, alors l’équilibre se produirait au point L de la ligne budgétaire avec le axe des y.

Le point L emmène le consommateur sur la courbe IC 1 la plus éloignée de l'axe des x soumise à son budget. À ce stade, le consommateur n'achèterait que du bon Y et pas de X. C'est parce qu'ici, Y est un bien MIB et X est un bien MIW.

Les effets de revenu, de substitution et de prix pour les modèles de préférences avec solution de coin :

If the equilibrium solution is obtained at the corner of the budget line with the horizontal axis along which the quantity of good X is measured, then the following will be obtained:

(i) The substitution effect of a change in the price of X upon its purchase is zero.

(ii) Therefore, the price effect of this price change is identical with its income effect.

(iii) That is why both the income-consumption and price-consumption curves would be identical and would coincide with the horizontal axis.

The substitution is not obtained individually, income and price effects, and the ICC and the PCC is not derived because all these characteristics would be the same in these cases and mentioned in (i), (ii) and (iii) above.

The Negatively Sloped ICs with the Higher Curve Representing a Lower Level of Utility :

If both the goods (say, X and Y) that the consumer purchases are more-is-worse (MIW), then the consumer's ICs would be negatively sloped with the higher curve (ie the one farther from the origin) representing a lower level of satisfaction.

In this case, the ICs would be negatively sloped because if the consumer moves from one point to another on the same curve getting a larger quantity of good X, and therefore, obtaining a lower level of satisfaction at the second point, then the quantity of good Y at this point must be appropriately smaller so that his level of satisfaction might increase to the initial level and he might be indifferent between the two points.

The negative slope of the ICs can be easily established if MU X < 0 and MU Y < 0 in eq. (6.8). Also, in this case, a higher IC would represent a lower level of satisfaction. This is because, as the consumer moves horizontally or vertically from a lower IC to a higher IC, he would obtain more of the MIW good, X or Y, the amount of the other MIW good, Y or X, remaining unchanged.

Now, assuming that as the consumer gets more of an MIW good, its negative utility on the margin increases (from, say, -2 to -3), then the MRS X, Y in this case where both the goods are MIWs, would increase as the consumer substitutes X for Y, ie, his ICs here would be concave to the origin. Therefore, his indifference map consisting of these ICs would be like the one shown in Fig. 6.51.

The Equilibrium Solution :

If the consumer is subject to no constraint, then the maximum amount of utility that he would be willing to obtain from the two goods, is zero, because, here both the goods give him negative utility. Therefore, and so the equilibrium point of the consumer here would be the point of origin (x = 0, y = 0) in Fig. 6.51. Since both the goods give him a negative utility, he would prefer not to buy the goods.

On the other hand, if, theoretically, he is constrained to spend a certain sum of money on the two goods at given prices, he would have a budget line like LM in Fig. 6.51. Now, if the consumer's indifference map is the one given in Fig. 6.51, then his equilibrium point would be the point of tangency E between the curve IC 2 and his budget line.

Since the ICs here are concave to the origin, the point of tangency E takes the consumer to the lowest possible IC subject to his budget, ie, to the highest possible level of utility, for here a lower IC represents a higher level of utility.

It may be noted here that the highest possible level of utility here would be negative with minimum absolute value, since the MUs for both the goods are negative. It may also be noted here that although the ICs here are concave to the origin, the equilibrium solution obtained here is not a corner solution—it is an interior solution.

Implications for the Shape of the Indifference Curves and the Equilibrium of the Consumer if the Marginal Utility of the Goods becomes Negative Eventually :

One of the standard assumptions of the indifference curve theory is that both the goods, say, X and Y, that the consumer uses are of more-is-better (MIB) type, ie, the MUs of both the goods are positive. On the basis of this assumption, the standard properties of the ICs is obtained, viz., the ICs are negatively sloped curves.

Now, if this assumption is restricted to one where it is said that each good is an MIB for the consumer up to a certain quantity and then it would have negative MU for him, ie, the good would become a more-is-worse (MIW) good, then the standard IC analysis would change in important ways. In order to proceed further, remember certain points.

Refer to Fig. 6.52. Suppose that good X is an MIB for the consumer up to the quantity x 0 and for x > x 0, good X becomes an MIW. Similarly, good Y is an MIB for the consumer up to y = y 0 and for y > y 0, Y becomes an MIW.

In Fig. 6.52, the commodity space has been divided into four quadrants with the help of the vertical and the horizontal lines drawn at x = x 0 and y = y 0, respectively.

It follows from the assumptions:

(i) In quadrant I, both the goods are MIBs. So, the ICs going through the points in this quadrant would be negatively sloped, the higher IC representing a higher level of utility,

(ii) In quadrant II, one of the goods, X, becomes an MIW, although Y is an MIB.

Therefore, the portion of an IC passing through the points in this quadrant would be positively sloped, the higher (farther from the x-axis) IC here representing a higher level of utility,

(iii) In quadrant III, both the goods are MIWs. Therefore, the ICs passing through the points in this quadrant would be negatively sloped, but a higher IC here would represent a lower level of utility,

(iv) In quadrant IV, one of the goods, Y, is an MIW, but X is an MIB. So, here also, like quadrant II, the ICs would be positively sloped, but a higher IC (one farther from the x-axis) would represent a lower level of utility.

It follows from above that ICs under the given assumptions would be circular or elliptical, somewhere convex and somewhere concave, depending on the preference-indifference pattern of the consumer. Some such ICs have been given in Fig. 6.52.

Now go into the implications for the equilibrium of the consumer if his ICs are like those given in Fig. 6.52. Let's first make it clear that if looking at IC in Fig. 6.52 in its totality, it is found that all its segments except that lying in the first quadrant are to be rejected prima facie by the utility-maximising consumer.

The reasons may be given in this way. Along the segment of an IC in the second quadrant, as the consumer moves upward towards right, he uses more of both the goods, but his utility remains the same. This follows from the fact that one of the goods, X, is MIW here. But this cannot be accepted by the consumer if he pays positive prices for the goods, which, is assumed, he does.

Again, as compared to the points on the segment of an IC in quadrant II, there are points on the quadrant III portion of the same IC that contain more of both the goods (compare the points A and B on IC 1 ) or more of one good and the same quantity of the other (compare the points A and C on IC 1 ). This follows from the fact that both the goods are MIWs in the third quadrant.

That is why the quadrant III segment of an IC becomes irrelevant for the consumer's consideration. Lastly, as the consumer moves upward towards right along the positively sloped quadrant IV segment of an IC, he uses more of both the goods, but his level of utility remains unchanged.

This follows from the fact that one of the goods, Y, is MIW here. Therefore, the consumer would keep this segment of an IC out of his consideration.

However, the consumer cannot prima facie reject the points on an IC that lie in quadrant I. For, here, as he moves along an IC, his utility remains the same and it is not that he uses more of both the goods— rather as his use of one of the goods increases, that of the other good decreases. This follows from the fact that both the goods are MIBs in this quadrant, which is consistent with the assumption of utility maximisation.

From the analysis, it may be concluded that the ICs given in Fig. 6.52, only quadrant I is relevant for the consumer, and his equilibrium may be obtained only in this quadrant.

For example, if his budget line is L 1 M 1, he would be in equilibrium at the point E 1 on IC 2, and if his budget increases, prices of the goods remaining constant, his budget line would have a parallel rightward shift to say L 2 M 2, and now his equilibrium point would move from E 1 to E 2 .

It may be noted here that as the ICs become higher in quadrant I representing a higher level of utility, the 'circle' of the IC would become smaller, and in the limit it would become a point. That point in Fig 6.52 is the point E 3 which is the point of intersection of the horizontal and vertical lines at y = y 0 and x = x 0, respectively.

It may also be noted that under the circumstances given in Fig. 6.52, the consumer may go on increasing his expenditure till his budget line becomes L 3 M 3 .

With this budget line, he would be in equilibrium at the point E 3 (x 0, y 0 ) which is the limiting point of both the goods being MIBs. Under the given circumstances, the consumer need not spend more money than that associated with the budget line L 3 M 3, to maximise his level of satisfaction.

Implications for the ICs and Consumer Equilibrium if the Goods are to be used in a Fixed Proportion :

The standard assumption of the indifference curve analysis is that the two goods, say, X and Y, that the consumer uses can be substituted for one another subject to diminishing MRS. On the basis of this assumption, it is obtained that the ICs are convex to the origin.

If this assumption is replaced by the assumption that the goods, X and Y, are to be used in a fixed proportion, ie, they are perfect complements to each other, no longer the ICs gets to be convex to the origin. Rather, it obtained to be L-shaped.

The point may now be explained with the help of Fig. 6.53, where it is assumed that the goods are always to be used in the ratio 1:1, which implies that the consumer has to use the combinations of the goods like A(1, 1), B(2, 2), C(3, 3), etc.

Since the goods are MIBs a combination of more of the goods gives the consumer a higher level of satisfaction, ie, the IC on which the combination B (2, 2) lies is higher than that on which A (1, 1) lies.

Similarly, the IC on which C (3, 3) lies is higher than the one on which B(2, 2) lies, and so on. Again, since the goods are to be used in a fixed ratio, here 1:1, more of any good out of the ratio would add nothing to the consumer's satisfaction level.

Thus, the consumer would be indifferent between the combinations (1, 1), (2, 1), (3, 1), . . ., (1, 2), (1, 3), (1, 4), . . and the formation shall be obtained when these points are joined, is an L-shaped IC, viz., IC 1 .

Similarly, the consumer would be indifferent between the combinations (2, 2), (3, 2), (4, 2), . . ., (2, 3), (2, 4), (2, 5), . . . and if these points are joined by a curve another L-shaped IC is is obtained like IC 2 ; IC 2 would be a higher curve and it would give the consumer a higher level of satisfaction, since B(2, 2) is preferable to A(l, 1).

Again, the consumer would be indifferent between the combinations (3, 3), (4, 3), (5, 3)…………… (3, 4), (3, 5), (3, 6), . .. and through these combinations shall get another L-shaped IC, viz., IC 3 ; IC 3 would be higher than IC 2 and it would give the consumer a higher level of satisfaction than the latter, since C(3, 3) is preferable to B(2, 2).

Therefore it is seen that if the goods are to be used in a fixed ratio, then the ICs would be L-shaped—the horizontal arm of the L contains the combinations of the same quantity of Y and more and more of X, and the vertical arm of the L contains the same quantity of X and more and more of Y, and the meeting point of these two arms like the point A or B, etc. in Fig. 6.53 represents the combination where the quantities of the goods are in the required ratio (here 1:1).

Let's now see the implications of the L-shaped ICs for the equilibrium of the consumer. Suppose, the consumer's ICs are those given in Fig. 6.53, and his budget line is the line EF.

In this figure, the line OR joining the points A, B, C, etc. and the point of origin 'O' may be called the line of XY relationship—it gives what should be the value of Y for any particular value of X, and what should be the value of X for any particular value of Y, so that the required ratio is maintained.

Now, the consumer's equilibrium point, in this case, would be the point of 'tangency', T, between his budget line and the line of XY relationship. For, the point T on the budget line EF takes the consumer to the highest possible IC, viz., the dotted IC', and any other point on the budget line takes him to a lower IC.

It is seen in Fig. 6.53 that the point T is a combination of 2.5 units of good X and 2.5 units of good Y. Since T is also a point on the XY relationship, it is ensured that the quantities of the goods are in the required ratio (here 1:1).

(A) Mathematical Expression for Perfect Complements:

Suppose, a two-good consumer is required to consume the two goods in a fixed ratio. For example, he has to use the left shoe and the right shoe in a 1 : 1 ratio.

So it is natural in this case that the level of utility is a function of the number of complete pairs of shoes, not of the total number of left and right shoes. Now, the number of complete pairs of shoes the consumer may have is the minimum of the number of right shoes, say, x and the number of left shoes, say, y.

Thus the utility function of perfect complements takes the form:

U (x, y) = min {x, y} (6.100)

Also, any monotonic transformation of (6.100) would also be a suitable utility function, representing the same preferences.

There may also be cases where the consumer has to use the goods in a ratio other than 1:1. Let's see how to obtain the utility function in such a case. Suppose that the consumer uses 2 teaspoons of sugar with each cup of tea—the number of cups of tea being denoted by x and the number of teaspoons of sugar by y. Therefore, in this case, the number of

As usual, any monotonic transformation of (6.101) will also represent the same preferences.

So, here, to get rid of the fraction 1/2, shall apply a monotonic transformation by multiplying (6.101) by 2, and then the utility function can be obtained as

U (x, y) = min {2x, y} …(6.102)

In general, a utility function that describes the perfect complement preferences is given by

U (x, y) = min {ax, by} …(6.103)

where a and b are positive numbers and the goods X and Y are consumed in the ratio b : a.

(B) Demand Relations under Perfect Complementarity :

For a given money income, M, and for the given prices p x and p Y of the goods, the consumer's budget constraint is

pxx + pyy = M …(6.104)

The consumer can purchase at any point on the budget line (6.104), eg, the line L 1 M 1 in Fig. 6.54. But the optimal choice will be obtained at the point H 1 on L 1 M 1 where the consumer is on the highest possible IC subject to his budget.

Now, under perfect complementarity, the consumer has to use the goods in a fixed ratio, say, m : n. Therefore, at the equilibrium choice like H 1 we would have

Eqn (6.106) gives the demand function for good X under conditions of perfect complementarity—demand for X is a function of p x, p y and M. In the same way, the demand function for good Y would be obtained to be

It is seen from (6.106) and (6.107) that, since the goods X and Y are complements, increase in p x and/or p Y would cause a fall in the demand for each good. [ . . . p x and p Y are in the denominator of the RHS expressions of (6.106) and (6.107). However, an increase in M would cause a rise in their demands ( . . . M is in the numerator of the RHS expressions)].

From (6.106), we have

Eqn. (6.108) gives the slope of the demand function for good X, which has been obtained to be negative. Similarly, the slope of the demand function (6.107)is obtained for good Y as

Therefore, as already obtained and now (6.108) and (6.109), also, gives that, under conditions of perfect complementarity, the demand for each good is inversely related to its price. It is also obtained in Fig. 6.54, that as the price of good X falls and the budget line rotates from L 1 M 1 to L 1 M 2, the consumer's purchase of good X increases from OA 1 to OA 2 .

(C) Income-Demand Relations :

If p x and p Y remain constant, then demand function (6.106) itself becomes the income-demand relation for good X, known as the Engel curve for good X. The slope of this curve is

Similarly, if p x and p Y remain constant, (6.107) becomes the income-demand relation for good Y or the Engel curve for good Y. The slope of this curve is

Under conditions of perfect complementarity, the Engel curve is obtained for each good as a positively sloped straight line from the origin, ie, as income increases, demand for each good also increases in the same proportion. This is already noted by inspection of (6.106) and (6.107).

(D) Price Effect, Income Effect and Substitution Effect under Perfect Complementarity :

Let's now discuss the nature of consumer equilibrium and the effects of changes in money income and relative prices of the goods, upon this equilibrium under conditions of perfect complementarity. In Fig. 6.54, a negatively sloped linear budget line of the consumer like L 1 M 1 would 'touch' one of the L-shaped ICs at its corner point, and this IC is the highest one that the budget line can take the consumer to.

For example, the budget line L 1 M 1 would 'touch' IC 1 at its corner point H 1 At any other point on this budget line, eg, at J or K, the consumer is on a lower IC. So when the budget line is L 1 M 1, the consumer is in equilibrium at the corner point H 1 on IC 1 .

Suppose, initially, the budget line of the consumer is L 1 M 1 and he is in equilibrium at the point H 1 where he purchases OA 1 of good X and OB, of Y. Again suppose, the price of X falls, ceteris paribus, and the budget line of the consumer rotates as a result, from L 1 M 1 to L 1 M 2 .

The new budget line 'touches' IC 2 at the point H 2 . So the new equilibrium point is H 2 . The consumer is now on a higher IC, since his real income has increased. By definition, the movement of the equilibrium point of the consumer from H 1 to H 2 is the price-effect movement. On account of the price effect, the consumer purchases A 1 A 2 more of X and B 1 B 2 more of Y.

In order to isolate the substitution effect portion of the price effect, now notionally reduce the money income of the consumer by the amount of “compensating variation” so that his budget line would now have a leftward parallel shift to FG and it would 'touch' IC 2 at the point H 2 . Under conditions of perfect complementarity, both the lines L 1 M 1 and FG 'touch' IC 1 at the same corner point H 1 .

So, in this case, the substitution effect (SE) movement of the consumer's equilibrium point is from H 1 to H 2 ie, here there is no SE movement and the SE upon both the goods is zero. This is what is expected because, under conditions of perfect complementarity, substitution between the goods is not possible.

In order to obtain the income effect (IE) portion of the price effect, now return the money to the consumer, which is taken away from him in order to know the SE. His money income now increases, prices remaining constant.

As a result, due to IE, there would be a parallel rightward shift in his budget line from FG to L 1 M 2 and his equilibrium point will move from H 1 to H 2, which is the same as the PE movement, ie, the IE movement in his equilibrium point is the same as the PE movement. This is again expected because in this case SE movement is absent.

Because of the IE, the consumer purchases A 1 A 2 more of X and B 1 B 2 more of Y. Thus, under perfect complementarity, income effect is the same as the price effect, since the substitution effect is zero.

One more point should be noted. Under conditions of perfect complementarity, the (income-consumption curve) ICC of the consumer is obtained by joining the equilibrium points like H 1 H 2, etc. lying on the fixed xy ratio line OA, and the (price-consumption curve) PCC of the consumer for good X is also obtained by joining the points H 1 H 2 etc.

Therefore, here the PCC for good X is the same as the ICC—this is the line OA. Also, it can be seen in the same way that PCC for good Y is the same as the ICC which is also OA; so here PCC for good X and that for good Y, and ICC, all are the same line OA. All this is due to the fact that the substitution effect is zero under conditions of perfect complementarity.

Cobb-Douglas Preference :

If the utility function of a consumer is of the form:

U(x, y) = xαyβ ….(6.112)

then his preference pattern would be called Cobb-Douglas preference. The function (6.112) is known as the Cobb-Douglas function named after the economists Cobb and Douglas. In (6.112) α and β are positive numbers and they describe the preferences of the consumer.

Cobb-Douglas ICs are well-behaved negatively sloped and convex-to-the-origin ICs. A positive monotonic transformation of a utility function will represent exactly the same preferences, and the Cobb-Douglas utility function is no exception. Here a couple of examples can be examined for such transformation.

First, if the natural log of utility is taken in (6.112) we would have

The ICs for the utility (V) function (6.113) will look just like those for the function (6.112), since taking logarithm is a positive monotonic transformation.

In the second case, suppose let's with the Cobb-Douglas form:

This means that it can always take a monotonic transformation of the Cobb-Douglas utility function that makes the sum of the exponents equal to 1.

The optimal choices for the utility function (6.112) are

where p x and p Y are the prices of goods X and Y, and M is the money income of the consumer. The Cobb-Douglas preferences have a convenient property. The fraction of his income that a Cobb-Douglas consumer spends on good X is p x x. Substituting from demand function, we have

p x x/M = p x /M. α/α +β. M/p x = α/α +β = constant (6.117)

Similarly, the fraction of his income that the consumer spends on good Y is

p y .y/M = β/α +β = constant (6.118)

It is evident from (6.117) and (6.118) that the Cobb-Douglas consumer always spends a fixed fraction of his income on each good. The size of the fraction is determined by his preference- indicating parameters α and β.

It is also clear from above that it would be quite convenient for us to work with a form of the Cobb-Douglas utility function in which the sum of the exponents is equal to 1. For, if our function is U = xα y1- α, then it can immediately interpret a as the fraction of income spent on good X and 1 – α as the fraction of income spent on good Y.

Quasilinear Preferences :

In order to understand quasilinear preferences, suppose that a consumer has indifference curves (ICs) that are vertical translates of one another as given in Fig. 6.55. This means that all of the ICs are just vertically shifted versions of one IC.

It follows that the equation of an IC here takes the form:

y = k – v (x) (6.119)

where U = U (x, y) (6.120)

is the ordinal utility function of the consumer.

Eqn. (6.119) says that the height of each IC (ie, y) is some function of x, viz., – v(x), plus constant k. Higher values of k give higher ICs. The significance of the minus sign before the function of x would be clear in the discussion below.

The natural way to label the ICs here is with k—roughly speaking, the height of the IC along the vertical axis. Solving for k and setting it equal to ordinal utility, we have

U (x, y) = k = v (x) + y. (6.121)

In this case, the utility function is linear in the quantity of good Y, but (possibly) non-linear in the quantity of good X; hence the name quasilinear utility, meaning “partly linear” utility. Specific examples of quasilinear utility would be

U = √x + y (6.122)

and U (x, y) = In x + y (6.123)

Quasilinear utility functions are not particularly realistic, but they are very easy to work with. Let's first see what happens if the budget line is shifted outward. In this case, if an IC is tangent to the budget line at a bundle (x*, y*), then another IC must also be tangent at money income (M) (x*, y* + b) for any constant b.

Therefore, an increase in income does not change the demand for good X at all, and all the extra income goes entirely to the consumption of good Y.

If preferences are quasilinear, sometimes say that there is a zero income effect for good X. Thus, the consumer's income-consumption curve and the Engel curve for good X are both vertical straight lines as shown in Figs. 6.56 and 6.57. As change in income, demand for good X remains constant. This is true of course, for his money income ≥ p x .x*, where p x is the price of good X.

Price Effect, Income Effect and Substitution Effect under Quasilinear Preferences (QLP) :

PCC under QLP for price-changes of good X has been shown in Fig. 6.58. Here the initial budget line of the consumer is L 1 M 1 and the initial equilibrium point is E 1 .

As the price of X falls, ceteris paribus, the budget line rotates from L 1 M 1 to L 2 M 2 to L 3 M 3 … and the consumer's equilibrium point moves from E 1 to E 2 to E 3, …. Join the points L 1 E 1 E 2, E 3, .. ., by a curve, the consumer's PCC under QLP for price changes of good X is obtained.

The price-effect, income effect and substitution effect under QLP have been explained in Fig. 6.59. In this figure, the consumer's initial budget line is L 1 M 1 and his initial equilibrium point is E 1 on IC 1 . At this point he purchases OA 1 of good X and OB 1 of good Y. Suppose, the price of good X falls, ceteris paribus.

As a result, the consumer's budget line would rotate anticlockwise about the point L 1 —it would now be, say, L 1 M 2 . In this new situation, the consumer would be in equilibrium at the point E 2 where his budget line L 1 M 2 would touch a higher IC, viz., IC 2, and he would now purchase a larger quantity of X, viz., OA 2 and a smaller quantity of Y, viz., OB 2 .

He is now on a higher IC since his real income has improved. Here the movement in his equilibrium point from E 1 to E 2 is the price effect movement—his purchase plan changes from the point E 1 to the point E 2 on account of the price-effect (PE). Specifically, here PE for good X has been + A 1 A 2 and that for good Y has been – B 1 B 2 .

Now break up this price effect (PE) into a substitution effect (SE) and an income effect (IE). In order to isolate the SE portion of the PE, let's apply the compensating variation in consumer's money income, ie, let's notionally reduce his money income by M 2 G in terms of good X or L 1 F in terms of good Y, so that his budget line now would have a parallel shift to FG and it would touch IC 1 at some point like E 3 ; this indicates that the consumer's real income now has been brought back to its initial level while there has been a change in the relative prices of the goods.

Therefore, by definition, the movement from point E 1 to E 3 is the SE movement and due to SE, the consumer purchases A 1 A 2 more of X and B 1 B 3 less of Y, since X now is relatively cheaper and Y is relatively dearer. So the SE here has been obtained to be +A 1 A 2 for good X and -B 1 B 3 for good Y.

The IE portion of the PE is obtained if the consumer is given back the amount of compensating variation in income. As this is done, the consumer's budget line would have a parallel rightward shift from FG to L 1 M 2 .

Under QLP, his equilibrium point would now move vertically from point E 3 to point E 2 . This movement is the IE movement. Since the movement is vertical, IE for good X is zero, as it should be under the QLP under consideration, and the IE for good Y has been +B 2 B 3 in Fig. 6.59.

It may be now verified:

For good X, SE + IE = + A 1 A 2 + 0 = + A 1 A 2 = PE

and for good Y, SE + IE = – B 1 B 3 + B 2 B 3 = – B 1 B 2 = PE

Therefore, it is verified, for both the goods:

PE = SE + IE.

 

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