Production à proportion fixe d'intrants

Isoquants dans le cas de la proportion d'entrée fixe:

Dans l'analyse isoquante standard (QI), la proportion entre les entrées (par exemple, X et Y) est une variable continue. les intrants sont substituables, bien qu'ils ne soient pas des substituts parfaits, MRTS X, Y diminuant au fur et à mesure que l'entreprise utilise plus de X et moins de Y.

Nous supposerons cependant ici que les intrants (X et Y) utilisés par l'entreprise ne peuvent en aucun cas se substituer l'un à l'autre - ils doivent toujours être utilisés dans un rapport fixe. La fonction de production de l'entreprise dans ce cas s'appelle la fonction de production à coefficient fixe.

Pour illustrer ce cas, supposons que les deux entrées (X et Y) doivent toujours être utilisées dans le rapport 1: 1 pour produire la production de l'entreprise. C'est-à-dire que n'importe quelle quantité de X peut être utilisée avec la même quantité de Y. Supposons que 10 unités de X, lorsqu'elles sont utilisées avec 10 unités de Y, produiraient une sortie de 100 unités.

Puisque les entrées doivent être utilisées dans un rapport fixe (ici 1: 1), si la quantité de Y est augmentée, en maintenant la quantité de X constante à 10, la sortie resterait la même à 100 unités. De même, si la quantité de X est augmentée, en maintenant la quantité de Y constante à 10 unités, la production resterait la même à 100 unités.

C'est-à-dire que les combinaisons d'entrées (10, 15), (10, 20), (10, 25), etc., produiraient toutes la même sortie, 100 unités, telle que produite par la combinaison A (10, 10). De même, les combinaisons (15, 10), (20, 10), (25, 10), etc. produiront la même sortie, 100 unités, telle que produite au point A (10, 10).

Maintenant, si nous joignons toutes ces combinaisons qui produisent la sortie de 100 unités, nous obtiendrons un isoquant en forme de L pour q = 100 unités, avec son angle à la combinaison A (10, 10). Ce QI a été montré à la Fig. 8.19. De la même manière, nous pouvons avoir des QI en forme de L dans ce cas de ratio 1: 1, avec des angles dans la combinaison B (15, 15), C (20, 20), etc.

Tous ces QI ensemble nous donnent la carte de QI dans le cas du coefficient fixe. La ligne passant par les points A, B, C, etc. serait une ligne droite à partir de l'origine, car le rapport y / x est égal à 1: 1 et la pente de la ligne est égale à 1.

La fonction de production de coefficient fixe peut ou non être soumise à des rendements d'échelle constants. Par exemple, dans la Fig. 8.19, lorsque les entreprises passent du point A au point B, les deux entrées sont augmentées du facteur 1, 5. Si, en conséquence, la production augmente également dans les mêmes proportions et devient égale à 150, la fonction de production efficiente et fixe est à rendement d’échelle constant. Cela a été le cas à la Fig. 8.19.

De nouveau, sur la figure 8.19, lorsque l'entreprise passe du point B (15, 15) au point C (20, 20), x et y augmentent tous les deux du facteur 4/3. Dans ce cas, q augmenterait donc du facteur 4/3 et deviendrait égal à yx 150 = 200, car on a supposé qu'il s'agissait d'un cas de rendements d'échelle constants.

Cependant, si la production avait augmenté de plus (ou moins) que 1, 5 fois dans un premier temps, puis d'un facteur supérieur (ou inférieur) à 4/3, la fonction de production à coefficients fixes nous aurait donné des rendements croissants (ou décroissants). mettre à l'échelle.

Equilibre minimisant les coûts de l'entreprise dans le cas du coefficient fixe :

La carte du coefficient fixe IQ de l'entreprise est donnée à la Fig. 8.19. Étant donné que les QI ici sont en forme de L, la ligne iso-coût (ICL) en pente descendante peut «toucher» un QI uniquement à son angle. Les prix des intrants étant indiqués, nous avons les ICL parallèles sur la figure 8.19, chacun correspondant à un niveau de coût particulier.

Compte tenu de la contrainte de production ou du QI, l’entreprise serait en équilibre minimisant les coûts au point crucial du QI où un ICL le touche. Car, à ce stade, le QI emmène l’entreprise au plus bas ICL possible. Il convient de noter ici que l’ICL peut toucher (physiquement) un QI au coin de ce dernier, mais il ne peut pas être une tangente au QI pour le moment, car ici, dy / dx | Le QI n'existe pas.

Maintenant, si l'entreprise veut produire 100 unités de production, sa contrainte de production est donnée par IQ 1 . L'entreprise serait en mesure de produire cette production au coût le plus bas possible si elle utilisait la combinaison d'entrées A (10, 10). À ce stade, le QI emmène l'entreprise sur l'ICL le plus bas possible.

De même, si la quantité produite par l’entreprise atteint q = 150 unités, son point d’équilibre minimisant les coûts serait B (15, 15) et, à q = 200, l’équilibre de l’entreprise serait au point C (20, 20). bientôt. Par conséquent, ici, le chemin d'expansion de l'entreprise serait le rayon d'origine, OE, passant par les points A, B, C, etc.

Etant donné que l'entreprise utilise toujours les entrées dans le même rapport (ici 1: 1), son chemin d'expansion serait le rayon de l'origine avec une pente = 1 et l'équation de ce chemin serait y = x. En général, si le rapport d’entrée fixe est L: K = m: n, alors à chaque point du trajet de développement, nous aurons K / L = n / m et l’équation du trajet sera donc K / L = n / m, ou, K = (n / m) L, et la pente du chemin serait.

Les courbes de produit moyenne et marginale sous la fonction de production de coefficients fixes avec des rendements d'échelle constants :

Supposons que l'entreprise, pour produire sa production, doit utiliser deux intrants, le travail (L) et le capital (K), dans des proportions fixes. Si les quantités utilisées des deux entrées sont L et K, et si les quantités de travail et de capital requises par unité de production sont respectivement "a" et "b", l'entreprise serait alors en mesure de produire une quantité de production (Q ) qui serait la plus petite des deux quantités L / a et K / b.

C’est pourquoi la fonction de production de coefficient fixe serait:

Dans (8.77), L et K sont utilisés dans un rapport fixe qui est a: b. De plus, si L et K sont doublés, par exemple, L / a et K / b seraient tous deux doublés et le plus petit des deux, qui est la quantité de sortie, serait également doublé. C'est pourquoi (8.77) est une fonction de production de coefficient fixe à rendements d'échelle constants.

Voyons maintenant comment nous pouvons obtenir le produit total, moyen et marginal d'un intrant, par exemple le travail, lorsque la fonction de production est un coefficient fixe avec des rendements d'échelle constants comme (8.77). Si nous voulons faire cela, nous devons supposer que l'entreprise utilise des quantités variables de travail avec une quantité fixe, K̅, de l'autre intrant, le capital.

Si les entrées sont utilisées dans le rapport fixe a: b, la quantité de travail, L *, à utiliser avec K̅ du capital est

Ici, puisque L * / a = K̅ / b, (8.77) nous donne que Q * à la combinaison (L *, K̅) des entrées serait

Q * = TP L = L * / a = K / b (8.79)

La quantité de sortie (Q *) est la même pour L = L * et K = K̅ pour L *: K̅ = a / b [à partir de (8.78)]

De (8.79), nous avons obtenu que lorsque L * de travail est utilisé, nous avons

Q * = TP L = K̅ / b (8, 80)

Nous avons tracé les valeurs de L * et Q * = TP L sur la figure 8.20 (a), où le point R représente

la combinaison (L *, Q *). Dans le cas de la fonction de production (8.77), lorsque L diminue par rapport à L * et approche de zéro, Q = TP L diminue proportionnellement et s’approche de zéro le long de la droite RO, c’est-à-dire que la droite OU est la courbe de TP L pour L ≤ L *.

Par ailleurs, lorsque L augmente à partir de L = L *, K reste constant à K = K̅, Q reste inchangé à Q * = K̅ / b, car la production utilise des intrants dans un rapport fixe. Autrement dit, pour L> L *, la courbe Q = TP L serait une droite horizontale au niveau Q * = K̅ / b. Par conséquent, la courbe TP L de la firme aurait un pli au point R, comme le montre la Fig. 8.20 (a).

Or, puisque OU est un rayon de l'origine, nous avons, le long de ce rayon, Q / L = Q * / L * = ∂Q / ∂L = constant, ou, nous avons AP L = MP L le long du rayon OR. C'est-à-dire que pour L ≤ L *, nous avons AP L MP L = Q * / L * = K̅ / b 1 / L * = K̅ / bb / aK = 1 / a = constant, c'est-à-dire pour L ≤ L *, AP L ≡ MP L courbe serait une ligne droite horizontale au niveau de 1 / a.

Ensuite, pour L> L *, nous avons, TP L = constante = K̅ / b sur la figure 8.20 (a), et nous aurions donc

PA L = TP L / L

Ou, AP L. L = TP L = constante (8.81)

(8.81) indique aux États-Unis que l'aire sous la courbe AP L est une constante, c'est-à-dire que la courbe AP L est une hyperbole rectangulaire. En d'autres termes, pour L ≤ L *, la courbe AP L serait une droite horizontale et pour L> L *, la courbe AP L serait une hyperbole rectangulaire. Cette courbe a été représentée à la Fig. 8.20 (b).

Enfin, nous avons déjà vu que pour L <L *, les courbes MP L et AP L seraient la même ligne droite horizontale. Mais pour L> L *, le TP L devient constant par rapport à L et la courbe du TP L est une ligne droite horizontale. Alors maintenant, le MP L qui est, par définition, la dérivée de TP L (= Q) par L, devient nul si L> L *, c’est-à-dire que la courbe MP L coïnciderait maintenant avec l’axe L de la Fig. 8.20 ( b)

Par conséquent, pour L ≤ L *, la courbe MP L est une droite horizontale à un niveau positif identique à la courbe AP L, et pour L> L *, la courbe MP L coïnciderait avec l'axe L horizontal. Par conséquent, à L = L *, la courbe MP L aurait une discontinuité entre ses deux parties horizontales - la discontinuité a été montrée par les points de la figure 8.20 (b).

Nombre fini de processus en production avec une proportion d'intrants fixe :

Tout en discutant de la fonction de production de coefficients fixes, nous avons supposé jusqu’à présent que les facteurs peuvent être combinés dans un rapport particulier pour produire un produit, et qu’aucune substitution n’est possible entre les intrants, c’est-à-dire que le produit ne peut jamais être produit en utilisant les tout autre rapport.

Cependant, un cas plus réaliste serait obtenu si nous supposons qu'un nombre fini de processus ou de ratios d'entrée peut être utilisé pour produire un résultat particulier. Un processus ou un rapport d'entrée est représenté par un rayon de l'origine, la pente du rayon étant égale au dit rapport d'entrée.

Dans la Fig. 8.21, nous avons donné cinq rayons différents représentant cinq processus différents ou cinq rapports d'entrée différents. Ces ratios sont 11: 1, 8: 2, 5: 4, 3: 7 et 2:10 et les rayons représentant ces ratios sont OA, OB, OC, OD et OE.

Nous avons supposé ici que les combinaisons d'entrées (1, 11), (2, 8), (4, 5), (7, 3) et (10, 2) des cinq processus peuvent toutes produire la quantité de sortie de 100 unités: tous ces points sont les points de coin des QI en forme de L.

Dans la Fig. 8.21, les points A, B, C, D et E peuvent tous produire la quantité de sortie de 100 et seuls ces cinq points dans les cinq processus sont disponibles pour la production de 100 unités de sortie. Si nous joignons ces points par des segments de ligne, nous obtiendrions un chemin de QI déformé. Sur cette trajectoire, seuls les cinq points A, B, C, D et E sont des combinaisons d’entrées directement réalisables pouvant produire 100 unités de sortie.

Il est intéressant de noter que la courbe ABCDE de la Fig. 8.21 est très similaire au QI continu "convexe" à pente négative "normale". Mais c'est pourtant très différent, parce que ce n'est pas une courbe continue. Aucune combinaison d’entrées située sur le segment entre deux plis n’est directement réalisable pour produire la quantité de sortie de 100 unités.

Par exemple, 100 unités de sortie ne peuvent pas être produites directement par un processus utilisant la combinaison d'entrées (2, 5, 7, 25) qui se trouve sur le segment de ligne BC car le rapport d'entrée 7, 25: 2, 5 n'est pas réalisable.

Cependant, si les quantités entrées sont suffisamment divisibles, tout rapport d’entrée tel que 7.25: 2.5 peut être utilisé pour produire 100 unités de sortie, c’est-à-dire que l’entreprise peut produire la sortie en un point du segment situé entre deux points de repli (ici B et C).

La seule chose que l'entreprise devrait faire dans ce cas est de combiner les deux processus, OB et OC. Ici, l'entreprise devrait produire 75 unités de production en appliquant le processus OB. Dans ce processus, il utiliserait 1, 50 unité de X et 6 unités de Y.

Et il faudrait produire 25 unités de sortie en appliquant le processus OC. Dans ce processus, elle utiliserait 1 unité de X et 1, 25 unité de Y. À la fin, l’entreprise serait capable de produire 100 unités de production en utilisant 2, 50 unités de X et 7, 25 unités de Y.

Maintenant, si le nombre de processus à proportions fixes n'était pas de 5 mais de plusieurs, il y aurait beaucoup de nœuds dans le chemin de QI déformé, un nœud pour chaque processus, et il y aurait beaucoup de rayons d'origine tels que OA, OB, etc. le nombre de processus augmentant, le chemin du QI déformé ressemblerait de plus en plus au QI continu d'une entreprise.

Nous pouvons donc en conclure que le quotient intellectuel «normal» et continu d’une entreprise émanant d’une fonction de production à proportions variables est la forme limitante du trajet de quotient intellectuel tordu des processus à proportions fixes; nous aborderons cette forme limitante par le nombre de processus. augmente indéfiniment.

C'est pourquoi, bien que la production dans le monde réel soit souvent caractérisée par des processus de production à proportions fixes, les économistes trouvent tout à fait rationnel d'utiliser la fonction de production des isoquants lisses et des proportions variables dans la théorie économique. Cela simplifierait grandement l'analyse de la théorie économique sans causer beaucoup de tort à la réalité.

 

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