Modèle de Cournot et modèle de Stackelberg (avec diagramme)

Le modèle de Cournot et la solution de Cournot:

Le premier modèle d'oligopole systématique a été publié par l'économiste français Antoine Augustin Cournot (1801-1877) en 1838. Bien que son modèle repose sur des hypothèses irréalistes, sa méthode d'analyse a été utile pour le développement théorique ultérieur dans les domaines du duopole et de l'oligopole. .

Les hypothèses du modèle de Cournot:

Le modèle de Cournot repose sur les hypothèses suivantes:

(i) Il n'y a que deux entreprises non collusives, c'est-à-dire qu'il existe l'exemple le plus simple d'oligopole, à savoir le duopole.

(ii) Les deux vendeurs (duopolistes), disons A et B, produisent des biens homogènes.

Les autres hypothèses du modèle (desquelles découleront la plupart des modèles décrits ci-après) sont les suivantes:

(iii) Le produit est périssable, c’est-à-dire qu’ils ne peuvent pas être stockés et doivent tous être vendus au cours de la période.

(iv) Il existe de nombreux acheteurs avertis du produit.

(v) Chaque duopoliste connaît la courbe de demande du marché pour le produit.

(vi) Les deux entreprises ont des courbes de coûts identiques et, dans le souci de simplifier les choses, nous supposerons que le coût de production de chaque produit est nul pour les deux entreprises.

(vii) Chaque entreprise élabore un plan de production au début de chaque période et ne peut pas le réviser avant la fin de la période.

(viii) Aucune des entreprises ne fixe de prix pour son produit et chacune accepte le prix auquel la production totale prévue peut être vendue.

(ix) Chaque duopoliste veut réaliser le profit maximum dans chaque période.

(x) Alors que les duopolistes sont conscients de l’interdépendance mutuelle de leurs plans de production, chacun ignore totalement l’orientation et l’ampleur de la révision du plan de son rival qui serait induite par un changement quelconque en lui-même. Nous supposerons donc que chaque duopoliste suppose que son rival maintiendra sa production au même niveau que lors de la période précédente, quel que soit son plan de production.

Les courbes d'iso-profit:

Sur la base d'hypothèses, nous obtiendrons les courbes iso-profit de chaque duopoliste. Comme son nom l'indique, la courbe iso-commerciale d'un duopoliste, A, nous donne les combinaisons de sorties des duopolistes A et B, qui produiraient le même profit pour le duopoliste A.

Les courbes iso-profit de A ressemblent à celles de la Fig. 14.1, où la sortie de A est mesurée le long de l'axe horizontal et celle de B le long de l'axe vertical.

Les points sur l'une quelconque de ces courbes sont les combinaisons (q A, q B ) des sorties par période des duopolistes qui donnent à A le même montant de profit par période. En d'autres termes, chaque courbe iso-profit d'un duopoliste représente un profit particulier, et nous verrons qu'une courbe iso-profit inférieure de A (c'est-à-dire, plus proche de l'axe horizontal) lui donnerait un profit plus élevé.

Mais expliquons d’abord la forme des courbes iso-profit présentées à la Fig. 4.1. Pour ce faire, nous devons comprendre la relation entre les résultats et les bénéfices des duopolistes A et B, sous réserve des hypothèses exposées ci-dessus.

Sur la figure 14.2, la courbe de demande du marché pour le produit a été définie comme étant DD b et OC une quantité donnée de la production du duopoliste B. Étant donné que chaque duopoliste suppose que la production de son rival reste constante à l'endroit où elle se trouve, la relation entre entre la production de A (q A ) et le prix du produit (p) serait maintenant donné par le segment dD 1 de la courbe de demande du marché DD 1 .

Par exemple, si A produit et vend une quantité de production CF, la quantité totale de production vendue sera OF et nous pouvons déduire de la courbe de la demande, DD 1, que le prix du produit à cette quantité serait de EF.

Par conséquent, dans les circonstances, la courbe de demande du duopoliste A serait dD c et l'axe des quantités et l'axe des prix de cette courbe de demande seraient respectivement CT et Cd. Maintenant, si E est le milieu du segment dD 1, alors la production de B (q B ) reste identique à OC = constante, si q A augmente à partir de zéro (et que p diminue), le revenu total de A (R A ) et son bénéfice total (π A ) augmenterait également jusqu'à ce que q A devienne égal à CF.

En effet, le coefficient numérique d’élasticité-prix de la demande (e A ) est supérieur à un (e A > 1) sur le segment dE de la courbe de demande de A, et le coût total des duopolistes (C A et C B ) à chaque sortie est zéro [hypothèse (vi)].

Si q A augmente au-delà de la quantité CF (et que p diminue), alors le revenu total de A (R A ) et son profit total (n A ) diminueraient, car, sur le segment ED] de sa courbe de demande, e A est inférieur à un (e A <1). Au point E de la courbe de demande dD 1 de A, nous avons = 1 et le revenu marginal de A (MR A ) = 0, et ainsi, en E, R A et π A sont maximaux.

De même, si sur la figure 14.2, la quantité spécifique de sortie du duopoliste B est OC '(OC'> OC), la courbe de demande de A correspond au segment d'D 1 de la courbe de demande du marché, DD 1 . Le long de cette courbe de demande, à mesure que q A augmente (et que p diminue) sur la plage C'F ', R A et également π A augmentent car, sur le segment d'E' de sa courbe de demande actuelle, d'D 1, il a e A > 1.

Au point E ', qui est le milieu du segment d'D 1, e A = 1 et, par conséquent, R A, ainsi que π A, est maximum. Maintenant, nous devons noter ici:

Maintenant, comme il est évident que C'D 1 <CD 1, nous obtenons C'F 'OC), la production de A qui maximise les bénéfices diminue (C'F' <CF).

Nous allons maintenant voir quel serait l'effet d'une augmentation de la production de B (q B ) sur le profit de A lorsque la production de A (q A ) reste constante pour une quantité donnée. Sur la figure 14.3, DD est la courbe de la demande du marché pour le produit et la production de A (q A ) est OV = constante.

Dans ce cas, si B augmente sa production de zéro à VD 1, le prix du produit (p) diminuerait et R A = π A de la vente de la production de q A = OV = constant diminuerait. .

Par conséquent, dans la discussion ci-dessus, nous avons obtenu:

(i) Si q B reste inchangé pour une quantité donnée (par exemple, OC sur la Fig. 14.4), alors à mesure que q A augmente, π A augmente dans un premier temps; puis à une sortie (comme CF), π A serait maximum. Si la sortie de A augmente encore, π A serait en baisse.

(ii) Plus la quantité fixe de q B est grande, plus la quantité de q A maximisant les profits sera petite. Par exemple, pour OC '> OC, nous avons obtenu C'F' <CF.

(iii) Si q A reste constant à une quantité particulière telle que OV sur la figure 14.3, alors π A tomberait à mesure que q B augmente.

Sur la base des points ci-dessus, nous pourrons maintenant arriver à la forme des courbes iso-profit du duopoliste A. Deux de ces courbes sont représentées à la Fig. 14.4. Sur cette figure, la production par période du duopoliste A a été mesurée le long de l’axe horizontal et celle du produit B par période le long de l’axe vertical.

En d’autres termes, les points de l’espace de sortie de la figure 14.4 représentent différentes combinaisons des sorties de A et B. Par conséquent, chaque point de cet espace représente implicitement une combinaison de R A et de R B et, par conséquent, de π A et π B.

Représentons maintenant ce que nous avons obtenu à la Fig. 14.2 dans un diagramme distinct, à savoir, Fig. 14.4. Sur la figure 14.4, à q B = OC = constant, A devrait produire une sortie de CF afin d’obtenir le profit maximum, c’est-à-dire la combinaison de sortie ou le point F (CF, OC) situé sur la ligne horizontale, Cx, donnerait à A le profit maximum à q B = OC.

Comme nous le savons déjà, B reste constant en OC, à mesure que q A augmente de zéro à CF, π A augmente, puis lorsque q A augmente au-delà de CF, π A diminue. Par conséquent, aux points de la ligne Cx à gauche ou à la droite de F, par exemple aux points H 1 ou H 2, le bénéfice de A serait inférieur à celui du point F.

Or, au point H 1, c’est-à-dire au niveau de la sortie CH, (CH, <CF), l’entreprise A peut obtenir le même bénéfice qu’en F, si la production de B diminue suffisamment, disons de H 1 T 1, à partir du niveau d’OC, car si q B diminue, le prix du produit augmentera.

Par conséquent, π A peut être identique aux points F et T 1, c’est-à-dire qu’une courbe iso-profit de A peut passer par les points T 1 et F. De même, si q B diminue suffisamment, disons de H2 T 2, à partir du niveau de OC, π A peut être identique à celui du point F. Par conséquent, la courbe d’iso-profit passant par T 1 et F peut également passer par le point T 2 .

Par conséquent, comment pouvons-nous obtenir les combinaisons de sortie des duopolistes donnant à A le même profit qu'au point F, et nous avons obtenu que la courbe T 1 FT 2 est l’une des courbes iso-profit du duopoliste A. Cette courbe être concave par rapport à l’axe horizontal et le point le plus haut de la courbe serait F.

Il ressort clairement de la construction de la courbe iso-profit T 1 FT 2 que la ligne horizontale Cx touche cette courbe au point F. De plus, F est le point maximum (le plus haut) de la courbe iso-profit T 1 FT 2, puisqu'un droit horizontal (Cx) peut toucher une courbe concave descendante (comme T 1 FT 2 ) seulement au point maximum de ce dernier.

Afin de compléter notre explication de la géométrie des courbes iso-profit, nous devons dessiner une autre courbe comme T 1 FT 2 . Comme nous l'avons déjà obtenu à la Fig. 14.2 et maintenant représentée à la Fig. 14.4, à q B = OC '= constant (OC'> OC), la sortie de A maximisant le profit est C'F '(C'F' < CF).

C'est maintenant à la sortie de B = OC '= constante, la sortie de A maximisant les profits serait obtenue au point F' de la droite horizontale C'x '. En procédant de la même manière que dans le cas précédent, nous constaterons que les niveaux de profit aux points T 3 et T 4 seraient identiques à ceux du point F '.

Par conséquent, la courbe T 3 F'T 4 devient une autre courbe iso-profit du duopoliste A. Comme dans le cas précédent, la ligne C'x 'toucherait cette courbe au point maximal de ce dernier, F'.

Dans la Fig. 14.4, nous avons maintenant obtenu deux courbes iso-profit du duopoliste A. Les caractéristiques générales de ces courbes (de tout duopoliste) peuvent maintenant être systématiquement listées:

(a) Les courbes d'iso-profit d'un duopoliste seraient concaves à l'axe le long duquel sa sortie est mesurée. Dans la Fig. 14.5, nous avons mesuré la sortie du duopoliste A le long de l’axe horizontal. Ainsi, les courbes iso-profit de A seraient concaves à cet axe. De même, si nous mesurons la sortie de la duopoliste B le long de l’axe vertical, les courbes iso-profitables de B seront concaves par rapport à l’axe vertical.

(b) Sur la figure 14.4, nous avons obtenu: C'F '<CF. C'est-à-dire que le point maximum F 'de la courbe iso-profit supérieure de A serait plus proche de l'axe vertical que le point maximum F de sa courbe iso-profit la plus basse. De même, plus la courbe B de l'iso-profit serait éloignée de l'axe vertical, plus son point maximum serait proche de l'axe horizontal.

(c) La courbe iso-profit plus élevée d'un duopoliste représente un niveau de profit inférieur. Ceci est obtenu à partir du point (iii) ci-dessus, ce qui nous indique que, q A restant constant à une quantité donnée, le bénéfice de A (π A ) serait en baisse à mesure que q B augmente. De même, une courbe iso-profit plus élevée du duopoliste B représenterait un niveau de profit inférieur. Par conséquent, un duopoliste cherchant à maximiser son profit s'efforcerait d'atteindre la courbe iso-profit la plus basse possible.

Certaines des courbes iso-lucratives des duopolistes A et B qui assument les caractéristiques ci-dessus ont été représentées à la Fig. 14.5.

Les fonctions de réaction de Cournot dérivées des courbes Iso-Profit:

Sur la figure 14.6, nous avons dessiné des courbes iso-profit du duopoliste A. Ce chiffre peut également être appelé la carte iso-profit du duopoliste A. À partir de cette carte iso-profit, nous obtiendrions une fonction qui exprimerait la production de A par période (q A ) en fonction de la sortie de B (q B ). Cette fonction s'appelle la fonction de réaction (Cournot) du duopoliste A.

Nous pouvons maintenant voir comment nous pouvons obtenir la fonction de réaction du duopoliste A à partir de sa carte iso-profit donnée à la Fig. 14.6. Comme nous le savons déjà, si q B est donné, disons, OC = constant, alors la sortie maximisant le profit du duopoliste A sera donnée par le point de tangence, F, entre la droite horizontale Cx et une de ses iso- courbes de profit, ici si. Car, au point F, l’entreprise se trouve sur la courbe iso-profit la plus basse possible, c’est-à-dire sur le niveau de profit le plus élevé possible, sous réserve de la production de B = OC = constante.

Maintenant, si la production de B augmente de OC à OC ', OC, la production maximisant le profit de A serait donnée par le point F' qui est le point de tangence entre la droite horizontale C'x 'et l'une des iso-profit courbes, à savoir, IA 2 .

Nous avons donc obtenu que si q B est OC, alors la sortie de A (maximisant le profit), q A, sera CF et si q B est OC ', alors q A serait C'F'. De même, nous obtiendrions que si q B est OC ”et OC '”, alors q A serait alors, C ”F” et c “” F' ”, et ainsi de suite.

On obtient donc ici q A en fonction de q B. La ligne qui donnerait cette fonction de réaction du duopoliste A serait celle reliant les points tels que F, F ', F ", F"', etc. Sur la figure 14.6, cette fonction de réaction de A a été obtenue comme étant la ligne RS.

Ce serait une ligne droite si la courbe de la demande du marché pour le produit était une ligne droite et elle serait inclinée négativement, car à mesure que la production de B augmente, la production de A qui maximise les profits diminue.

Nous avons vu plus haut comment obtenir la fonction de réaction du duopoliste A. Nous pouvons obtenir la fonction de réaction du duopoliste B en suivant également le même processus. Cette fonction nous donnerait la sortie de B maximisant les profits en fonction de la sortie de A. Nous l’avons fait à la Fig. 14.7 où nous avons reçu la carte iso-profit du duopoliste B.

Sur cette figure, à q A = OD = constant, la sortie de B (q B ) maximisant le profit serait obtenue au point de tangence, G, entre la droite verticale Dy et une des courbes iso-profit de B, à savoir., Si . En effet, au point G, B est sur la courbe iso-profit la plus basse possible sous réserve de q A = OD.

De même, si q A augmente jusqu'à OD ', OD ", OD'", etc., q B sera donné respectivement par les points G ', G ", G"', etc. Si nous joignons ces points par une ligne, nous obtiendrions la fonction de réaction de B, ce qui donnerait la production de B en fonction de celle de A. La fonction de réaction de B, comme celle de A, serait également une droite négativement inclinée si la courbe de la demande du marché pour le produit était linéaire.

Dérivation mathématique des fonctions de réaction de Cournot :

Sur la base des hypothèses retenues dans le modèle de Cournot, nous pouvons maintenant déduire mathématiquement les fonctions de réaction de Cournot.

Supposons que la courbe de la demande du marché pour le produit soit

où p = prix du produit

q = quantité de demande du marché pour le produit

q A = quantité vendue par le duopoliste A

q B = quantité vendue par le duopoliste B

a = intersection verticale de la courbe de demande du marché (14.9) = constante positive

-b = pente de la courbe de demande du marché (14.9) = constante négative

Dans un souci de simplicité, nous avons supposé ici que la courbe de la demande du marché (14.9) était une ligne droite (à pente négative).

Par définition, la fonction TR (ou simplement R) du duopoliste A (c.-à-d. R A ) est

L’équation (14.14) nous donne que la sortie du duopoliste A (q A ) qui maximise les profits (ou l’équilibre) est fonction du résultat du duopoliste B (q 0 ), c’est-à-dire que cette fonction permet de connaître le résultat de A à n’importe quelle quantité de sortie de B. En d’autres termes, (14.14) est la fonction de réaction du duopoliste A.

Comme le montre la forme de l'équation (14.14), la fonction de réaction de A a été obtenue sous la forme d'une ligne droite (à pente négative) (comme RS sur la figure 14.6).

En effet, nous avons supposé ici que la courbe de la demande du marché pour le produit était une ligne droite (à pente négative).

Comme on peut le voir sur les équations (14.9) à (14.14), si la courbe de la demande du marché (14.9) est une ligne droite, la fonction R A (14.10) est une courbe en second degré et la fonction MR A (14.11), la dérivée de R A par q A serait une droite, et cette fonction MR A en ligne droite conduit à une fonction de réaction en ligne droite (14.14) quand on met MR A = MC A = 0.

Maintenant, la fonction de réaction du duopoliste B serait obtenue de la même manière, et cette fonction de réaction serait

Comme pour la fonction de réaction (14.14) du duopoliste A, la fonction de réaction (14.17) du duopoliste B serait également une droite comme celle de MN sur la figure 14.7.

Équilibre dans le modèle de Cournot - Solutions concurrentielles, monopolistiques et duopolys :

Nous avons vu plus haut que les fonctions de réaction des duopolistes ont été dérivées des conditions de maximisation du profit et que, par hypothèse, les deux duopolistes poursuivent l'objectif de maximiser le profit. Par conséquent, les deux auraient l'intention de rester sur leurs fonctions de réaction respectives.

Dans les circonstances, l'équilibre dans le modèle de Cournot ne peut se produire qu'au point d'intersection des deux fonctions de réaction. En d’autres termes, on obtiendrait la combinaison des rendements des deux vendeurs à l’équilibre si on résolvait les deux fonctions de réaction pour q A et q B. Mais auparavant, notons ce qui suit.

Comme on le sait, la condition pour un équilibre compétitif est p = MC. Dans le modèle de Cournot, à chaque valeur de q A et q B, nous avons supposé MC A = MC B = 0 [hypothèse (vi)]. C’est pourquoi, pour toute production des deux entreprises considérées ensemble, c’est-à-dire que pour toute q = q A + q B, nous aurions MC = 0. Par conséquent, la condition pour l’équilibre concurrentiel serait ici p = MC = 0.

Donc, si on met p = 0 dans (14.9), on obtiendrait la solution compétitive (sortie) du modèle de Cournot:

q c = a / b (14.18)

Notons ensuite l’importance des interceptions des fonctions de réaction de Cournot, qui, comme on le sait, ont une pente négative, c’est-à-dire que lorsque la production d’un vendeur augmente, la production maximisant le profit de l’autre vendeur diminue.

Supposons maintenant que les fonctions de réaction de A et B sont RS et MN sur les Fig. 14.6 et 14.7. Nous obtenons de la fonction de réaction RS que, lorsque q B monte à OR, q A se réduit à zéro. Si on met q A = 0 dans la fonction de réaction de (14.14) de A, on obtient

Autrement dit, lorsque q B monte à OR = a / b, q A tombe à zéro. En d'autres termes, l'interception verticale du OU de la fonction de réaction de A est égale à la sortie concurrentielle. De nouveau, nous obtenons de la fonction de réaction de A que, lorsque la sortie de B diminue à zéro, et que A devient un monopole, c'est-à-dire que lorsque le duopole devient un monopole, la sortie de A passe à OS, appelée sortie du monopole.

Donc, si on met q B = 0 dans la fonction de réaction de A, on obtient la solution monopolistique (q m ) du modèle de Cournot comme

Résoudons maintenant les équations de réactions de Cournot (14.14) et (14.17) pour les valeurs d'équilibre de q A et q B. En remplaçant de (14.17) par (14.14), on obtient

Présentation géométrique de la solution d'équilibre dans le modèle de Cournot :

La solution de Cournot est basée sur ses hypothèses. La dernière hypothèse [à savoir, l'hypothèse (x)] peut être appelée hypothèse clé du modèle. Cette hypothèse est très naïve car elle implique que les duopolistes n’apprennent rien de l’expérience - ils restent convaincus que le rival maintiendrait sa production au niveau de la période précédente bien qu’ils se soient toujours trompés.

Cependant, comme nous le verrons, la dernière hypothèse, bien que naïve, donne au modèle de Cournot une solution déterminée.

L'explication de Cournot est basée sur l'exemple de l'eau minérale provenant de deux sources adjacentes. L'eau minérale est produite à zéro coût marginal à long terme. Son analyse est illustrée au moyen de la figure 14.8, où la courbe de la demande du marché pour le produit correspond à DD 1 .

La courbe MR associée à cette courbe de demande est MR 1 . Puisque MC = 0, la sortie compétitive est ici le q auquel p = MC = 0. Par conséquent, la sortie compétitive est obtenue comme étant Oq c sur la figure 14.8.

En revanche, la sortie monopolistique est celle à laquelle la condition MR = MC = 0 est satisfaite. Par conséquent, la production monopolistique ici est Oq 1 et le prix de monopole est Op 1 et le bénéfice de monopole correspond à la zone de revenu total Op 1 Aq 1, puisque le coût total par hypothèse est nul. La solution de monopole serait la solution si les deux duopoleurs se concertaient et formaient un monopole multi-usines.

Cependant, la solution de Cournot au problème du duopole consiste à:

Supposons qu’initialement, c’est-à-dire qu’en période 0, A soit le seul vendeur sur le marché. Il se comporte donc comme un monopole et produit la production monopolistique (MR = MC = 0), Oq 1 = 1/2 Oq c, et vend à un prix, Op 1, et réalise un bénéfice égal à la surface Op 1 Aq 1 . Par conséquent, à la période 0, nous avons la sortie de A = Oq 1 et la sortie de B = 0.

Supposons maintenant que, dans la période 1, B entre sur le marché. Par hypothèse (x), il s’attendrait à ce que A produise et vende sa production de la période précédente, c’est-à-dire Oq 1, et A produirait effectivement Oq 1 en supposant qu’il n’y aurait pas de rival comme lors de la période précédente. Or, si B produit au cours de la période 1, il ne peut rien vendre à un prix supérieur ou égal au prix, Op 1 . À un prix inférieur à l'Op 1, B peut vendre la quantité demandée supérieure à Oq 1 .

Par exemple, au prix de Op ', B peut s’attendre à vendre q 1 q'. La courbe de demande du duopoliste B serait le segment AD 1 de la courbe de demande du marché DD 1 avec origine à q 1 . Sa courbe de revenu marginal serait MR 2 avec origine à nouveau à q 1 .

Puisqu'il produirait et vendrait au point MR = MC (= 0), sa production serait de q 1 . La production totale de duopole serait maintenant de Oq 2 . La production totale ayant augmenté, le prix passerait de l’op 1 à l’op 2 . En période 1, donc, A s'avère faux et B correct. Dans cette période, nous aurions la sortie de A = Oq 1 et la sortie de B = q t q 2 .

Comme B est maintenant entré sur le marché et que, du fait de son entrée sur le marché, l'offre du produit a augmenté et le prix a baissé, A réviserait son plan de production au cours de la période suivante, c'est-à-dire pendant la période 2. Encore une fois, selon l'hypothèse (x), A supposerait que B continuerait à produire la sortie de q 1 q 2 = q 2 q c, ce que ferait effectivement B en supposant que la sortie de A soit Oq 1 .

Par conséquent, pendant la période 2, A devrait déplacer sa courbe de demande en déplaçant horizontalement DD 1 vers la gauche vers D'q 2 du montant q 2 q c (= q 1 q 2 ), c'est-à-dire qu'il re-déterminerait maintenant sa fonction de demande. en soustrayant le montant q 2 q c de chaque quantité de sa demande initiale.

La nouvelle courbe MR de A serait maintenant MR 1 et sa nouvelle quantité de sortie serait déterminée au point MR = MC (= 0) et serait Oq 3 = 1/3 Oq 2 . Comme il y a maintenant B sur le marché, A a réduit sa production de Oq 1 à Oq 3 . En période 2, donc, A s’est avéré correct et B s’est avéré faux. Pendant cette période, nous aurions la sortie de A = Oq 3 = 1/2 Oq 2 et la sortie de B = q 1 q 2 .

Par conséquent, à la période 3, B réévaluerait la situation. Sa nouvelle courbe de demande serait le segment ED 1 de la courbe de demande du marché, DD 1 avec une origine à q 3 et sa courbe MR serait maintenant un MR 2 de même origine.

Par conséquent, il produirait maintenant la sortie q 3 q 4, qui serait déterminée au point MR = MC (= 0). Dans cette période, alors A s'avère faux et B s'avère correct. Maintenant, nous aurions la sortie de A = Oq 3 = 1/2 Oq 2 et la sortie de B = q 3 q 4 .

Ce processus se poursuivrait dans le modèle de Cournot, la sortie de A diminuant et la sortie de B augmentant jusqu'à ce que A et B produisent la même sortie de 1/3 q c . Le modèle de Cournot sera en équilibre lorsque chaque duopoliste produit une sortie de 1/3 q c et que la sortie totale serait de 2/3 q c, où q c (ou Oq c ) est la sortie compétitive.

Nous pouvons maintenant facilement vérifier que si chaque duopoliste produit une sortie de 1/3 Oq c, le modèle de Cournot sera en équilibre. Sur la figure 14.9, la courbe de la demande du marché est égale à DD 1 et la production concurrentielle à Oq c, comme sur la figure 14.9.

Or, si le duopoliste A produit la sortie Oq 1 = 1/3 Oq c, la courbe de demande du duopoliste B serait le segment AD 1 de la courbe de demande du marché DD 1 et sa courbe MR serait MR 2, les deux ayant pour origine l'origine q 1 Par conséquent, B produirait une sortie de qjq 2 au point MR = MC (= 0). Mais nous avons q 1 q 2 = 1/2 q 1 q c = 1/2. 2/3 Oq c = 1/3 Oq c .

Autrement dit, si A produit 1/3 Oq c, la production de B qui maximise les profits sera également 1/3 Oq c . Voyons maintenant quelle serait la sortie de A si la sortie de B est donnée comme étant q 1 q 2 = q 2 q c = 1/3 Oq c .

Si B produit q 2 q c, alors A décalerait horizontalement la courbe de la demande DD 1 vers la gauche de la quantité q 2 q c et deviendrait D'q 2 pour A et la courbe MR correspondante serait MR 1, les deux avec origine en O. A produirait maintenant au point où il a MR = MC (= 0) et sa sortie serait donc 1 / 2Oq 2 = Oq 1 = 1 / 3Oq c .

Par conséquent, si la sortie de A est 1/3 Oq c, B produira une sortie égale à 1/3 Oq c ; et si la sortie de B est de 1/3 Oq c, alors A produirait une sortie égale à 1/3 Oq c . C'est-à-dire que, le long de la voie d'approche vers l'équilibre, lorsqu'un des duopolistes produira 1/3 de la production concurrentielle, l'autre entreprise produira également le même résultat et le modèle de Cournot sera en équilibre.

Ensemble, les duopolistes produiraient les 2/3 de la production concurrentielle (Oq c ).

Équilibre du marché des duopoles de Cournot - une illustration géométrique alternative:

Nous pouvons maintenant illustrer l’équilibre du marché du duopole de Cournot à l’aide de la Fig. 14.10. Sur cette figure, la droite AB est la courbe de demande du marché (14, 9) pour le produit.

Ici, OA = a et OB = a / b. Supposons maintenant que p * = 1 / 3a = OA = Op0 et q * = 2/3 a / b = 2/3 OB = Oq0 [eqn (14.21)]. Par conséquent, dans la figure 14.10, le point d'équilibre sur le marché du duopole est E (p = Op 0, q = Oq 0 ).

Dans le modèle de Cournot, par hypothèse (x), chaque duopoliste fixe sa production pour une période donnée, en supposant que son rival maintiendrait sa production inchangée par rapport à la quantité produite au cours de la période précédente.

En dépit de cette hypothèse qui se vérifie à plusieurs reprises dans la réalité, si les duopolistes s'accrochent à cette hypothèse, leur hypothèse s'avérera éventuellement correcte et les deux atteindront le point d'équilibre. Nous pouvons illustrer le processus à l'aide de la Fig. 14.11.

Sur la figure 14.11, les sorties de A et B (q A et q B ) sont mesurées, respectivement, le long de l'axe horizontal et de l'axe vertical. Ici, la droite RS est la courbe de réaction du duopoliste A. A partir de cette courbe, nous pouvons savoir quelle serait la sortie d'équilibre de A pour une sortie donnée de B. De même, la droite MN est la courbe de réaction du duopoliste B. Cette courbe nous donnerait la sortie d'équilibre de B à n'importe quelle sortie donnée de A.

Notons que RS et MN sont les courbes de réaction correspondant aux fonctions de réaction (14.14) et (14.17), respectivement. Par définition, OR et ON représentent tous les deux la sortie compétitive du modèle de Cournot. C'est pourquoi OR serait égal à ON sur la Fig. 14.11. Encore une fois, OS et OM représentent la solution monopolistique du modèle [14.2.2 (d)], et ici, OM serait égal à OS.

Nous pouvons maintenant illustrer comment et sur quelle voie les firmes en duopole s'approcheraient de leur équilibre. Initialement (dans la période 0), il n'y a pas de B et le duopoliste A se comporterait comme un monopole. Sa fonction de réaction (RF) nous donne qu’à q B = 0, q A = OS (ou Oa 0 ) - c’est la solution monopolistique.

Supposons maintenant que pendant la période 1, le duopoliste B entre sur le marché et commence à produire la marchandise. Donc, le marché devient maintenant duopolistique. Au cours de la période 1, l’entreprise A produirait q 1 = OS (ou Oa 0 ) comme dans la période précédente, en supposant que la production de B, q B, serait égale à zéro et que B produirait la production, Ob 1, en supposant que A produirait la sortie de la période précédente, OS.

La combinaison de sortie qui serait produite à la période 1 serait donc K 1 (Oa 0, Ob 1 ). Au cours de cette période, A s'avérerait être faux et B, ses hypothèses concernant le plan de production de l'autre, seraient correctes.

Au cours de la période 2, le duopoliste A réviserait son plan de production car il s’avère être dans l'erreur au cours de la période 1. Au cours de cette période, A produirait Oa 2 en supposant que B produirait le résultat de la période 1, c’est-à-dire Ob 1, et B produirait effectivement Ob 1 (à tort) en supposant que A produirait sa sortie de période 1, c’est-à-dire Oa 0 .

La combinaison de sortie à la période 2 serait donc K 2 (Oa 2, Ob 1 ). Au cours de la période 2, A prouverait correctement son hypothèse à propos de la sortie de B, mais B se tromperait dans son hypothèse à propos de la production de A.

De même, à la période 3, B réviserait son plan de production car il s’était trompé à la période 2 dans son hypothèse concernant la production de A. Dans la période 3, B produirait ob 3, en supposant que A produirait la sortie de sa période précédente, Oa 2, et A produirait effectivement cette sortie (Oa 2 ), en supposant (à tort) que B produirait sa sortie pour la période 2, à savoir., Ob 1, La combinaison de sortie à la période 3 serait donc K 3 (Oa 2, Ob 3 ).

Dans cette période, A s'avérerait faux et B s'avérerait correct.

Le processus d'ajustement que nous avons souligné ci-dessus se poursuivrait tant que l'un des duopolistes s'avérerait faux, alors que l'autre s'avérera correct: la combinaison de sorties passerait du point K 1 sur MN à K 2 sur RS à K 3 sur MN., etc.

Comme nous le voyons sur la figure 14.11, depuis que B est entré sur le marché, la production de A a diminué au cours du processus d'ajustement et la production de B a augmenté, de sorte que la combinaison de sortie se déplacerait alternativement d'abord de RF de B à l'ouest sur RF de A (comme de K 1 à K 2 ) puis de RF de A au nord sur B (de K 2 à K 3 ), puis de nouveau à l'ouest, et ainsi de suite, jusqu'à ce que la combinaison de sortie devienne E (q * A, q * B ) au point d'intersection des deux courbes de réaction, où la quantité de sortie de chaque duopoliste serait obtenue comme étant q * 1 = q * 2 = 1/3 a / b [éq. (14.20)].

Puisque E repose sur les RF des deux duopolistes, une fois que l'un d'eux produit q * A = q * B = 1/3 a / b, l'autre produit également q * A = q * B, c'est-à-dire si A produit q * A, B produirait q * B et si B produirait q * B, A produirait q * A, et ainsi il continuerait.

Par conséquent, E est le point d'équilibre du modèle de duopole de Cournot, où chaque duopoliste produirait:

Commentaires critiques sur le modèle de Cournot :

Notons que le modèle de Cournot peut être généralisé en un modèle d'oligopole à plus de deux firmes. Le modèle peut également être étendu au coût marginal positif.

Soit n le nombre d'oligopoleurs (n> 2), q c la production concurrentielle, p c le prix concurrentiel et p m le prix de monopole. La production totale à l'équilibre de Cournot sous oligopole serait alors de nq c / n +1. La production de chaque entreprise serait de q c / (n + 1) et le prix sur le marché de l'oligopole serait de 2p m / n + 1 + np c / n + 1.

Dans le modèle en duopole, nous avions n = 2 et p c = 0. De plus, comme le nombre d'entreprises (n) tend vers l'infini et que le modèle tend à devenir un modèle de marché concurrentiel, n / n + 1 tendrait à 1. Par conséquent, la production totale, comme prévu, tendrait à devenir q c, la production compétitive, et le prix, à devenir p c .

Deuxièmement, dans le modèle de Cournot, chaque duopoliste estime que le rival ne changera pas sa production. Cela a été critiqué par un mathématicien français Joseph Bertrand. Bertrand soutient qu'une hypothèse plus réaliste aurait été que chaque duopoliste pense que son rival ne changera pas son prix.

Parallèlement à cette hypothèse, Bertrand n'introduit qu'une autre hypothèse supplémentaire, à savoir que chaque duopoliste a une capacité suffisante pour satisfaire l'ensemble du marché. Dans ce modèle, A commencera par le prix monopolistique; B entre ensuite sur le marché, réduisant quelque peu le prix et capturant l’ensemble du marché.

A abaisse ensuite le prix en dessous du niveau de B et capture le marché, et le processus se poursuivra. Enfin, la guerre des prix se termine lorsque le prix atteint le niveau p = MC = 0 et que la production totale produite devient égale à la production concurrentielle.

Chamberlin also changes Cournot's assumption that each duopolist naively believes that his rival's output would remain unchanged. Instead, he simply assumes that the duopolists are aware of their interdependence.

He argues like this:

A starts with output Oq 1 and price Op 1 in Fig. 14.8, and B produces q 1 q 2, as was the case with Cournot. A, however, then realizes that B will change his behaviour if A changes his output, and that the maximum joint profit occurs at the output level Oq 1 .

A, therefore, cuts his output level to 1/2 Oq 1 leaving B to produce 1/2 Oq 1 = q 1 q 2 . A stable solution is thus obtained, which is the monopoly solution. Here, there is no explicit collusion. There is only some understanding of mutual benefit. In the Cournot model, however, there is no scope for price competition since here the duopolists are price-takers.

Third, in the Cournot model, a duopolist is not able to make any guess about the rival's reactions to a change in his own output. He, therefore, cannot make any conjecture about his rival's behaviour, ie, he does not behave conjecturally.

He rather behaves autonomously for he assumes that his rival's output is given autonomously. Of course, this autonomous behaviour takes both of them to the intersection point of their reaction functions where they would be in equilibrium, ie, ultimately they would prove right, although for wrong reasons.

Lastly, we should note that although the duopolists in the Cournot model are able to maximise their individual profits subject to the given assumptions, their joint profit and, therefore, their individual profits (obtained after the joint profit is appropriately distributed), might have been larger if they acted collusively and formed a multi-plant monopoly. This we can prove very simply in the following way.

If the market demand curve for the product is

The Cournot Solution—Non-Zero Costs :

The basic behaviour assumption of the Cournot model is that each duopolist maximises his profit on the assumption that the quantity produced by his rival does not depend on his own quantity decision.

That is, duopolist A maximises π A wrt q A, treating q B as a constant, and duopolist B maximises k b wrt q B, treating q A as a constant. We may now obtain the Cournot solution for the market model given by equations (14.1)—(14.4).

Setting the appropriate partial derivatives of the n equations in (14.3) equal to zero, we obtain

That is, the duopolist with the greater output will have the smaller MR, and the MRs of the duopolists will be equal if they produce and sell the same quantity of output. The duopolistic market will be in equilibrium if the values of q A and q B are such that each duopolist maximises his profit given the output of the other, and neither desires to alter his output.

The equilibrium solution can be obtained if we solve the FOCs (14.28) for q A and q B, provided the SOCs (14.29) are satisfied. However, the Cournot solution may be better represented and better explained if we proceed through the reaction functions.

Reaction functions, by definition, express the output of each duopolist as a function of his rival's output. As such, the reaction function of duopolist A would be obtained if we solve the first equation of (14.28) for q A in terms of q B and the reaction function of duopolist B would be obtained if we solve the second equation of (14.28) for q B in terms of q A . These two functions may be written as

Duopolist A's reaction function gives the value of q A for any specified value of q B, which maximises π A . Similarly, duopolist B's reaction function gives the value of q B for any specified value of q A, which maximises π B . The equilibrium solution of the Cournot model, as we already know, is obtained at the point of intersection of the two reaction functions. This equilibrium solution is a (q A, q B ) combination.

Let us denote this combination by E (q A, q B ) in Fig. 14.12. Since this combination lies on the reaction function of duopolist A, A sells q* A, given q B = q* B, and maximises his profit (π A ). Again, since the combination E lies on the reaction function of duopolist B, B sells q* B, given q A =q* A, and maximises his profit (π B ). Therefore, when they arrive at point E, neither of them would be willing to alter his output.

Let us now suppose that the market demand function for the product and the cost functions of the duopolists are:

Comparison between the Cournot Solution and the Quasi-Competitive Solution:

We may now compare the Cournot solution (14.37) with the quasi-competitive solution by using the example given in (14.5). The example gives us: a= 100, b = 0.5, d = 5, e = 0, g = 0and h = 0.5. Putting these values in (14.36) we obtain the Cournot reaction functions to be

If we now compare the Cournot solution (14.40) with the quasi-competitive solution (14.8), we find that the Cournot duopolists produce a smaller total output, sell at a higher price and earn larger profits.

The Output Leadership Model/The Stackelberg Model:

In this model, we shall retain the assumptions (i) to (ix) of the Cournot model, and the assumption (x) here would be:

(a) The duopolist A conjectures that B will accept A's output as autonomously given and

(b) B will actually behave in this way.

That is, in this model, A is the output-leader and B the output-follower.

A is the leader because, he will choose the output which he will produce in the light of his correct conjectures about B's reactions, and B is the follower because he will accept any output that A might produce as autonomously given.

Given the assumptions (i) to (ix), the profit-indifference curves of the duopolists would be like those of the Cournot model. Some of these iso-profit curves have been drawn in Fig. 14.13. Assumption (x) implies that A knows B's Cournot reaction function, for as we shall see, he would have to maximise profit subject to the constraint that he remains on B's reaction function which is given by the line MN in Fig. 14.13.

This line, shows what would be B's output at each given level of A's output.

The points of intersection (and tangency) between this line and A's profit indifference curves, viz., the points like L 1, I, and L 2, give us the alternative levels of profit that the duopolist A may earn at different levels of his output in combination with B's output.

For example, at A's output = OA 1, B's output would be L 1 A 1 and A would be on his iso-profit curve IP 1 . Similarly, at A's output of OA 2 and OA 3, A would be on the iso-profit curves IP 2 and IP 3 .

It is easily seen in Fig. 14.13 that the output leader, A, would select that point on the follower B's reaction function where this reaction function touches one of his (A's) iso-profit curves, for, at this point here the point L 2, the output combination of A and B, viz., OA 3 of A's output and L 2 A 3 or OB 3 of B's output, would take A to the lowest possible iso-profit curve or the highest possible level of profit.

It is clear from above that in this leadership model, the leader has no use of his own reaction curve, for he simply chooses that point on his rival's reaction function where he achieves the maximum possible profit. There is, therefore, no path along which the leadership equilibrium is reached—rather the equilibrium point like L 2 may be pointed out instantaneously in Fig. 14.13.

We may now compare the equilibrium in this leadership model with that in the Cournot model. In Fig. 14.13, the dotted line RS is the Cournot reaction function of duopolist A, ie, his output production would react along this line if he accepts the output of B as autonomously given. The point of intersection I of the Cournot reaction functions of the duopolists gives us the equilibrium in the Cournot model.

If we compare now the point I with the point L 2, we find that at I, the duopolist A lies on a higher iso-profit curve, ie, on a lower profit level than at point L 2, and B lies on a lower iso-profit curve, ie, on a higher profit level than at L 2 .

In other words, the output leader A would prefer the leadership equilibrium to Cournot equilibrium, and the output follower B would prefer the Cournot equilibrium to the leadership equilibrium.

Now, if the leadership equilibrium as obtained above is to be maintained over a succession of periods, then the assumption (x) of the model would have to hold over these periods. Not only this, but also A would have to accept B's present pattern of reaction as given by his reaction function MN, and B must remain ignorant of the fact that A knows his reaction function.

We may also note that if the duopolists are not satisfied with the present position, then each of them may seek to alter it to his advantage. For example, A may try to convince B, by threat or rumour, to accept a reaction curve that lies below the present one, viz., MN. Because, he may then move on to a still lower iso-profit curve giving him a higher level of profit.

On the other hand, if B suspects that A knows about his autonomous behaviour, he would try to convince A that he will react along a curve that lies above MN. If he succeeds in doing this, A would move on to a point of tangency on a higher iso-profit curve giving him a lower level of profit, and B would be able to move on to a lower iso-profit curve, giving him a higher level of profit.

Mathematical Presentation of the Output Leadership (Stackelberg) Model :

The follower (firm B) in the output leadership model wants to maximise profit. Let us suppose that the total revenue (R) function of the follower is

It follows from the properties of iso-profit curves that the profit of firm B will increase as it moves to the iso-profit curves further to the left (ie, nearer the q B -axis). That is why, at any particular q A (output of firm A), firm B will produce that output (q B ) at which the ordinate at q A would become a tangent to an iso-profit curve of B.

Therefore, at different values of q A, we would obtain the corresponding values of q B that would make the profit of firm B the maximum. If we join these (q A, q B ) combinations by a curve, we would obtain the required reaction curve of firm B.

Since the demand curve for the product has been assumed to be linear, this reaction curve also would be linear like the line MN in Fig. 14.13. We have already obtained this reaction curve. It is given by equation (14.17).

This equation has been obtained by putting MR B equal to zero (since MC B has been assumed to be zero):

As we have already noted, the reaction curve of firm B, as given by eqn. (14.17), gives us the profit maximising output, q B, of the follower (firm B) as a function of the given (and optimum) output, q A, of the leader (firm A).

We have analysed above how the follower will choose his output given the choice of output of the leader. Let us now turn to the leader's (firm A's) profit-maximisation problem. By assumption (x) of the model, the leader is aware that his actions influence the output choice of the follower.

This relationship is summarised by the reaction function, q B = f B (q A ). Therefore, while determining his optimal output, he would recognise the influence that he would exert on the follower.

The profit-maximisation problem of the leader may be analysed, therefore, in the following way. The TR function of firm A is

Conjectural Variation and Stackelberg's Analysis:

When there are only two sellers (firms) in the market for a product, we may assume that the profit of each seller is a function of the output levels of both:

An interesting example of conjectural variation is contained in Stackelberg's analysis of leadership and followership. A follower obeys his reaction function given in (14.32) and adjusts his output level to maximise his profit, given the quantity decision of his rival, whom he accepts as a leader.

A leader does not obey his own reaction function. He assumes that his rival acts as a follower, and maximises his profit, given his rival's reaction function. If the duopolist A desires to play the role of a leader, he assumes that B's reaction function is valid and substitutes this relation into his profit function

π A = h A [q A . Ѱ B (q A )] (14.61)

A's profit now is a function of q A alone, and can be maximised wrt this single variable (q A ). Similarly, if the duopolist B wants to play the role of a leader, his profit function would be

π B = h B [q B, Ѱ A (q B )] (14.62)

and he would have to maximise his profit wrt the variable, q B .

In this model, each duopolist determines his maximum profit level from both leadership and followership and desires to play the role which yields the larger maximum.

Four cases are possible here:

(i) A desires to be a leader, and B a follower;

(ii) B desires to be a leader, and A a follower;

(iii) Both desire to be followers; et

(iv) Both desire to be leaders.

As we have seen, case (i) results in a determinate equilibrium. Case (ii) would also result in a determinate equilibrium, since this case is the same as (i) with the two duopolists reversing their roles. Case (iii) also would have a determinate solution which is nothing but a Cournot solution under Stackelberg assumptions, since, here each seller acts autonomously, knowing that the other will also act autonomously.

Lastly, in case (iv), both the duopolists aspire to be the leader. Here each assumes that he need not obey his reaction function, and rival's behaviour is governed by his (the rival's) reaction function. Thus, here neither of the reaction functions is obeyed, and we encounter a disequilibrium which is known as the Stackelberg disequilibrium.

Comparison between Stackelberg Solution and the Quasi-Competitive Solution :

In order to compare the Stackelberg solution with the quasi-competitive solution, let us now go back to the example given by (14.5). We have already obtained the reaction functions of the two sellers to be

Here, as compared with the quasi-competitive solution, the Stackelberg duopolists produce a smaller output (120 5); and the profits of both the sellers are higher (3.266.67, 868.28 > 0, 12.5), and so their combined profit is also higher,

(ii) When B is the leader and A the follower, the Stackelberg solution is

Here also the Stackelberg duopolists produce a smaller output (112.5 5); and the profits of both the sellers are higher (3, 172.66, 918.75 > 0, 12.5), and so their combined profit is higher.

The Stackelberg Disequilibrium :

In this model, we shall suppose that both the duopolists are striving to be the output leader. We shall continue to make assumptions (i) to (ix) of the Cournot model. Our assumption (x), in this case, would be that each duopolist assumes that his rival would accept his output as given and constant, ie, the rival would behave autonomously. In other words, each duopolist conjectures that his rival is an output-follower and he is an output-leader.

We may illustrate the consequences of these assumptions with the help of Fig. 14.14.

Let us suppose that initially A has been a monopolist and B suddenly joins the industry to compete with him. As per our assumption (x), A thinks that B would behave autonomously wrt output, and he would react along his reaction function MN, and B also thinks that A would behave autonomously, and he (A) would react along his reaction function RS.

Under the circumstances, A would immediately accept the point L a on the line MN as his profit-maximising point, and B would determine his profit-maximising position at the point L b on the line RS, and, therefore, in period 1, A would produce the quantity OA r of the product expecting B to produce OB, and B would produce OB r of output assuming that A would produce OA 1 .

That is, the combination of output that would be produced by the two firms in period 1 would be given by the point G (OA r, OB r ) in Fig. 14.14. But G lies on a higher iso-profit curve in A's map than the point L a and it lies also on a higher iso-profit curve in B's map than the point L b, and so, both the duopolists would earn less than expected amount of profit in period 1.

Therefore, it would not be difficult for each of them to understand that his rival is not behaving as expected, and so, in the subsequent periods, each would seek some more appropriate conjecture about his rival's reactions.

Each of them may go on experimenting and observing how his rival's output plan reacts to changes in his own plan, or, each of them may desperately force his rival to react along some reaction function that suits him.

In the above analysis, we have seen that when each duopolist wants to become the leader, the hypothesis that each makes about his rival's behaviour will be proved wrong.

However, the model helps us to understand what might follow from the given assumptions, and the assumptions, especially assumption (x), is not unrealistic. The model is also useful as it helps us to understand how and why the oligopolists may be driven to bargaining or collusion.

 

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