Le modèle Cobweb (avec équations) | L'équilibre du marché

Dans cet article, nous discuterons du modèle de toile d'araignée pour étudier l'équilibre du marché.

Supposons que sur le marché d'un bien unique, les équations d'offre et de demande pour la période t sont données par:

où les symboles ont leur signification habituelle. On suppose que le prix est défini à chaque période pour libérer le marché. Notez ici qu'il s'agit d'un modèle avec une offre retardée, comme le montre l'eqn. (4.25), l'offre de cette période dépend du prix de la période précédente ou le prix de cette période influe sur l'offre de la période suivante.

Comme la production prend du temps, les ajustements du côté de l'offre peuvent ne pas être instantanés, mais ne peuvent être perçus sur le marché qu'après un certain temps. Les produits agricoles fournissent souvent de bons exemples d’offre retardée.

Maintenant, si la pente de la fonction d'offre (β 1 ) est positive et celle de la fonction de demande (β 2 ) est négative, il convient d'examiner la convergence ou la divergence du prix actuel vers ou à l'écart du niveau d'équilibre. Ce modèle est connu sous le nom de modèle Cobweb car le chemin suivi par le prix et la quantité observés ressemble à une toile d'araignée.

Passons maintenant à la question de la convergence ou non du prix actuel vers le prix d'équilibre. Comme on suppose ici que le prix est fixé pour chaque période afin de libérer le marché,

S t = D t …… (4.27)

Etudier le comportement du modèle hors d'équilibre si β 1 > 0 et β 2 <0.

Remplaçant (4.25) et (4.26) en (4.27), et on obtient:

L’équation (4.34) est une équation différentielle du premier ordre et elle nous donne

t en fonction de

t-1, β 1 et β 2 étant donnés et constants. La solution pour

à tout moment t est donné par

t = A.

t-1 = At.

0 (4, 35)

La solution (4.35) peut être obtenue de la manière suivante:

1 = A.

0

2 = A

1 = A2

0

3 = A.

2 = A3.

0 et ainsi de suite

t = At

0.

L'équation (4.35) donne la solution générale pour le modèle linéaire Cobweb, telle que donnée par l'équation (4.25) - (4.27). Cela donne

t, étant donné les pentes des fonctions d’offre et de demande et les valeurs de

0 . Cette valeur de

0 = (

- p 0 ) est appelée la perturbation arbitraire initiale qui peut prendre tout signe et toute magnitude que l’on souhaite donner.

L'original

0 ≠ 0 peut avoir été provoqué par un déplacement de la courbe de la demande ou de l'offre, de sorte que

0 représente la différence entre le nouveau et l'ancien prix d'équilibre.

Si β 1 > 0 et β 2 <0, c’est-à-dire que la fonction d’offre augmente et que la demande est inclinée, A doit être négatif. Ainsi, At volonté alternera en signe, étant négatif en période impaire et positif en période paire.

Cela prouve qu'avec les courbes de demande et d'offre de forme normale, Cobweb produira toujours une oscillation sur deux périodes, le prix réel (p t ) étant alternativement supérieur et inférieur au prix d'équilibre (

). Si ces oscillations vont converger vers, ou diverger de,

. Mais auparavant, notez que dans les diagrammes de la courbe de la demande et de l’offre, mesurez généralement la quantité le long de l’axe horizontal et le prix le long de l’axe vertical. Dans ce cas, les pentes des courbes d'offre et de demande seraient respectivement les inverses des pentes des fonctions d'offre et de demande (c'est-à-dire, β 1 et β 2 ).

Notez également que si β 1 est positif, la pente de la courbe de l'offre, 1 / β 1, serait également positive et si β 2 est négative, la pente de la courbe de la demande, 1 / β 2, serait également négative. . Or, même si les fonctions et les courbes de l'offre et de la demande ont leurs pentes normales (respectivement positive et négative), il convient également de considérer trois cas de convergence ou de divergence.

Il ressort de l'analyse ci-dessus que le modèle linéaire Cobweb affiche une rétroaction négative.

Chaque fois que le prix est au-dessus de l'équilibre, il tombe dans la période suivante, et chaque fois que le prix est en dessous de l'équilibre, il augmente dans la période suivante; mais l'ajustement est toujours trop et le prix d'équilibre est toujours dépassé.

Dans le cas stable, le dépassement devient de plus en plus petit, de sorte que le prix d'équilibre est approché. En revanche, dans le cas instable, chaque dépassement est plus important que le précédent, de sorte que le prix réel s'écarte de plus en plus de l'équilibre avec le temps.

De l'analyse ci-dessus, la rétroaction négative est obtenue, bien qu'une condition nécessaire pour la stabilité, ne soit pas une condition suffisante. Essayons maintenant une représentation schématique du modèle Cobweb sur la Fig. 4.8. Supposons qu'au départ, l'offre du bien concerné soit en deçà de la quantité d'équilibre en raison de perturbations telles que la sécheresse ou les inondations. Laissez l'approvisionnement initial être q 0 .

Ce montant serait demandé dans la période initiale si le prix était p 0 . À p = p 0, les consommateurs demandent P 0 M 0 et cette quantité est égale à l'offre initiale. En d'autres termes, p 0 est le prix de compensation du marché pour la période 0.

Dans le modèle Cobweb, le prix de cette période influe sur l'offre de la période suivante. C'est pourquoi le prix, p 0, de la période initiale (période 0) détermine l'offre de la période 1, qui est P 0 N 1 . En d’autres termes, le prix p 0 incite les entrepreneurs à fournir p 0 N 1 au cours de la période 1.

Or, les acheteurs ne demanderaient cette quantité, p 0 N 1 que lorsque le prix tombera à p 1 dans la période 1. Par conséquent, p 1 est le prix de compensation du marché pour la période 1. Toutefois, le prix P 1 dans la période 1 incite les producteurs à fournir la quantité de p 1 N 2 en période 2.

De cette façon, le processus se poursuit indéfiniment, produisant un motif Cobweb. Voir Fig. 4.8 que le niveau des prix fluctue, étant supérieur au prix d'équilibre p e dans une période et inférieur à p e au cours de la période suivante, mais converge vers le niveau d'équilibre au point d'intersection des courbes d'offre et de demande.

Cette convergence serait obtenue si la courbe de la demande est plus plate que la courbe de l'offre.

Dans la Fig. 4.9, le même processus que celui obtenu dans la Fig. 4.8 fonctionne, mais les fluctuations de prix tendent à devenir de plus en plus grandes et le marché est soumis à des oscillations explosives, c'est-à-dire qu'ici le prix s'écarte de l'équilibre et que le marché est instable. Comme cela a déjà été obtenu, ce sera le cas si la courbe de la demande est plus raide que la courbe de l'offre.

Exemple 1:

Considérons le modèle Cobweb suivant (les notations ayant leur signification habituelle):

Trouvez la trajectoire temporelle de Q et analysez les conditions de sa convergence.

Solution:

Les équations du modèle Cobweb donné sont

Exemple 2:

Considérez les deux marchés concurrentiels suivants:

Marché I: (i) qd t = 1200 - 6p t ; (ii) qs t = 2p t − 2,

Marché II: (i) qd t = 2700 - 4p; (ii) qs t = 5p t-1

où qd t et qs t font référence aux fonctions d'offre et de demande et t à la période.

(a) Découvrez le prix et la quantité d'équilibre sur les deux marchés.

(b) Considérez la stabilité de l'ajustement à une perturbation sur chaque marché.

(c) Dessinez un graphique de série chronologique pour p au cours des cinq premières périodes suivant une perturbation qui déplace le prix 200 unités au-dessus de son équilibre sur le marché I et 20 unités au-dessous de celui-ci sur le marché II.

d) Les oscillations explosives sur un marché ne peuvent continuer à augmenter indéfiniment. Quelles limites économiques à l'oscillation sont finalement atteintes?

Solution:

a) Fonction de l'offre et de la demande pour le marché I:

Les prix indiqués sur le marché I pour la période 0 (zéro) et pour les cinq périodes suivantes sont obtenus dans (8) - (13), respectivement. Sur la base de ces valeurs, le graphique de la série temporelle pour le prix sur le marché I a été tracé à la fig. 4.10.

Sur le marché II, à cause de la perturbation qui déplace le prix 20 unités en dessous de son équilibre:

Maintenant, la trajectoire temporelle du prix sur le marché II est la suivante:

En mettant t = 0, 1, 2, 3, 4 et 5 dans (15), les chiffres des prix pour cette période sont obtenus comme suit: p 0 = 280, p 1 = 325, p 2 = 268, 75, p 3 = 339, 06, p 4 = 251, 17 et p 5 = 361, 04. Sur la base de ces valeurs, le graphique de la série temporelle pour le prix sur le marché II est obtenu comme indiqué à la fig.4.1.

d) Selon nos hypothèses, le prix du marché d’un produit n’a pas de limite supérieure, mais il a une limite inférieure qui est nulle. Ainsi, les limites économiques des oscillations explosives du marché II sont atteintes lorsque le prix finit par osciller jusqu'à zéro ou moins que zéro, ce qui se produit à la 14e période. La manière suivante est obtenue.

Il est évident d'après (15) que p t devient inférieur à p̅ = 300 dans les périodes paires, et ainsi, rappelons-nous, p t approcherait zéro, ou une valeur négative dans les périodes aux nombres pairs. Mais laissez-nous,

pour le moment, mettons p t = 0 dans (15) en supposant que A = 5/4 soit positif et supérieur à 1, puis:

Ce qui sera obtenu ici est que si t était une variable continue et si on supposait que A était positif et supérieur à 1 (= 5/4), alors p se déplacerait de manière monotone vers le bas (c.-à-d. Sans aucune oscillation) et deviendrait nul (0 ) en période t = 12, 14 (environ). En d’autres termes, dans la période t = 12, p serait toujours positif (il peut être calculé comme suit: p = 9).

Par conséquent, dans notre cas discret, p dans t = 13, oscillerait jusqu'à p 13, ce qui est supérieur à

= 300. Et le processus d’oscillation se termine à la période t = 14 car, à présent, p baisserait pour devenir négatif [peut être calculé comme suit: p 14 = - 154, 6 (environ ..).]

Exemple 3:

Considérez les marchés suivants caractérisés par une réponse d'offre décalée:

(a) D t = 40 - 10 P t ; S t = 2 + 9P t − 1

(b) D t = 30 - 5 P t ; S t = 20 - P t − 1

Déterminez le prix et la quantité d'équilibre pour chaque marché. Supposons un prix initial inférieur de 20% au prix d'équilibre pour chaque marché et déterminez le nombre de périodes nécessaires pour que chaque prix s'adapte à 1% de l'équilibre.

Solution:

(a) Les fonctions d'offre et de demande sont:

 

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