Programmation linéaire (expliquée à l'aide de diagrammes)

I. Notes générales:

La programmation linéaire est une technique récemment mise au point pour fournir des solutions numériques spécifiques à des problèmes qui ne pouvaient auparavant être résolus que par des termes qualitatifs vagues en utilisant l'appareil de la théorie générale de l'entreprise.

La programmation linéaire a ainsi permis de combler le fossé entre la théorie économique abstraite et la prise de décision en matière de gestion dans la pratique.

L'utilisation de la programmation linéaire est en pleine expansion du fait de l'utilisation d'ordinateurs capables de résoudre rapidement des problèmes complexes impliquant l'utilisation optimale de nombreuses ressources données à l'entreprise à un moment donné, ce qui impose des contraintes au choix de l'entreprise. La programmation linéaire peut être considérée comme une méthode opérationnelle pour traiter les relations économiques, qui impliquent des discontinuités. C'est une approche spécifique dans le cadre général de la théorie économique.

Les principales similitudes et différences entre l'analyse économique traditionnelle et la programmation linéaire peuvent être décrites comme suit. Les deux approches montrent comment les agents économiques (consommateurs ou producteurs) parviennent à des choix optimaux, comment ils planifient ou programment pour atteindre une utilité maximale, un profit maximum, un coût minimum, etc. La théorie économique et la programmation linéaire ne disent rien de la mise en œuvre du projet. plan ou solution optimale.

Ils trouvent simplement la solution optimale dans une situation donnée. En ce sens, les deux approches sont des méthodes ex ante visant à aider les unités économiques à trouver la solution qui leur permet d'atteindre leur objectif (maximisation de l'utilité, maximisation des bénéfices, minimisation des coûts) compte tenu de leurs ressources (entrées de revenus ou de facteurs) à un moment donné.

Cependant, dans la théorie économique, la solution optimale est généralement présentée sous forme de termes abstraits qualitatifs, de diagrammes ou de symboles mathématiques généraux, tandis que la programmation linéaire fournit des solutions numériques spécifiques aux problèmes d'optimisation particuliers.

Une autre différence entre l'analyse économique et la programmation linéaire est que les relations de la théorie économique sont généralement non linéaires, décrites par des courbes (pas de lignes droites), tandis qu'en programmation linéaire toutes les relations entre les variables impliquées sont supposées être linéaires.

Des méthodes de programmation non linéaire ont récemment été mises au point, mais leur présentation fait appel à des mathématiques sophistiquées et ne sera pas tentée ici. Nous illustrerons l’utilisation de la programmation linéaire par un exemple simple d’entreprise qui dispose d’une quantité donnée de trois facteurs de production avec laquelle elle peut produire deux produits de base, x et y. Le problème de l’entreprise, compte tenu de ses ressources, est de choisir la combinaison de produits optimale qui maximise les bénéfices de l’entreprise.

II. Énoncé du problème de programmation linéaire:

Supposons qu'une entreprise dispose des quantités suivantes de facteurs de production

L = 400 unités de travail (heures)

K = 300 unités de capital (heures-machine)

S = 1000 unités de terrain (pieds carrés)

L’entreprise peut produire le produit x ou le produit y avec les processus (activités) disponibles suivants:

En mots, la production d'une unité de x nécessite 4 heures de travail, 1 heure machine et 2 pieds carrés de terrain. De même, la production d'une unité de y nécessite 1 heure de travail, 1 heure machine et 5 pieds carrés de terrain. Commodity x génère un profit unitaire de 2 £ et un produit y donne un profit unitaire de 1, 5 £. L'objectif de la société est de choisir la combinaison de produits optimale, c'est-à-dire la combinaison qui maximise son bénéfice total.

La fonction de profit total peut être écrite comme suit:

Z = 2X + 1 Y

où Z = bénéfice total

X = quantité de marchandise x (ou niveau d'activité A 1 )

Y = quantité de produit y (ou niveau d'activité A 2 )

2 et 1 sont les bénéfices unitaires des deux produits. La fonction de profit total s'appelle la fonction objectif, car elle exprime l'objectif de l'entreprise, qui dans notre exemple particulier est la maximisation du profit. En général, la fonction objectif est la fonction qui représente les objectifs de l'agent économique.

L’entreprise, dans la poursuite de la maximisation de sa fonction objectif, a plusieurs contraintes. Nous distinguons deux groupes de contraintes, les contraintes techniques (ou fonctionnelles) et les contraintes de non-négativité. Les contraintes techniques sont déterminées par l'état de la technologie et la disponibilité des facteurs de production.

Il y a autant de contraintes techniques que de facteurs de production. Ils expriment le fait que les quantités de facteurs qui seront absorbés dans la production des produits ne peuvent excéder les quantités disponibles de ces facteurs. Ainsi, les contraintes technologiques prennent la forme d'inégalités.

Dans notre exemple, les contraintes techniques sont les trois suivantes:

4X + 1 Y <400

1x + 1Y <300

2X + 5Y <1000

où X et Y sont les niveaux des produits x et y (niveaux d'utilisation des activités A 1 et A 2 ) et les nombres entiers du côté gauche sont les coefficients techniques de production, c'est-à-dire les facteurs de production nécessaires à la production d'une unité des produits x et y. Les chiffres à droite représentent les ressources dont dispose l'entreprise. Ces contraintes d’inégalité stipulent que les niveaux de X et Y dans la combinaison de produits optima ne devraient pas nécessiter plus que les quantités disponibles des trois ressources.

Les contraintes de non-négativité expriment la nécessité que les niveaux de production des produits ne puissent être négatifs, car les quantités négatives n’ont pas de sens en économie. Le niveau de production de tout produit peut être nul ou positif

X> 0

y> 0

Compte tenu des informations ci-dessus, le problème de programmation linéaire peut être formellement formulé comme suit:

Notez que toutes les contraintes prennent la forme d'inégalités. Ainsi, le système ne peut pas être résolu avec les méthodes habituelles de résolution d’équations simultanées. La technique de programmation linéaire a été conçue pour traiter la solution de problèmes impliquant des inégalités. Son approche de base est celle de l'itération. La solution optimale est définie en examinant l'ensemble des solutions alternatives possibles et en éliminant progressivement les solutions sous-optimales jusqu'à atteindre l'optimum.

III. Détermination de la solution optimale:

La solution optimale est trouvée par le point de tangence de la frontière de la région des solutions possibles à la courbe d'isoprofit la plus élevée possible. La solution optimale sera un point à la frontière de la région de toutes les solutions réalisables, car tout point à l'intérieur de cette région se trouve sur une ligne d'isoprofit inférieure. Il est clair que la solution optimale dépend de la pente des lignes d’isoprofit, c’est-à-dire du ratio des bénéfices unitaires des deux produits. Dans notre exemple, la solution optimale est le point G de la figure 20.7.

À ce stade, la gamme de produits est de 178 unités de y et 56 unités de x, et le bénéfice maximal s'élève à 290 £, comme le prouve la fonction de profit.

Z = 2X + 1Y = 2 (56) + 1 (178) = 290

Si la pente de la ligne d'isoprofit est égale à la pente de l'une des lignes de délimitation définissant la région des solutions possibles, il n'existe pas de solution optimale unique au problème de la programmation linéaire. Par exemple, si π x / π y = l x / l y (= pente de AB qui est la limite du facteur «travail», tous les points du segment GB constitueront des solutions optimales.

De même, si πx / πy - sx / sy (= pente de EF qui est la limite du facteur 'terre'), tous les points du segment EG de la frontière des possibilités de production seront des solutions optimales. De la discussion ci-dessus, il devrait être évident qu’une solution optimale unique existe si la pente de la ligne représentant la fonction objectif a une valeur située dans la plage définie par les pentes des lignes de démarcation qui dénotent les restrictions techniques du problème de programmation linéaire.

Nous pouvons généraliser la procédure ci-dessus pour la détermination de la solution optimale comme suit:

Étape 1:

Écris les inégalités techniques sous forme d’égalités et résous-les pour Y

l 1 x + / l 2 y = L

k 1 X + k 2 Y = K

s 1 X + s 2 Y = S

En résolvant ces équations pour Y, nous obtenons les équations des trois lignes de démarcation:

L'équation de la frontière L est

La pente de la limite L est

∂Y / ∂X = - l 1 / l 2

Nous pouvons tracer la limite L en assignant diverses valeurs à X et en traçant les points résultants sur un graphique. (La valeur de L est donnée.)

L'équation de la frontière K est

La pente de la limite K est

∂Y / X = - k 1 / k 2

Nous pouvons tracer la limite K en assignant diverses valeurs à X (étant donné la valeur de K) et en traçant les points résultants sur un graphique.

L'équation de la frontière S est

La pente de la limite S est

∂Y / ∂X = - s 1 / s 2

Nous pouvons tracer la frontière S en assignant différentes valeurs à X (étant donné la quantité de S) et en traçant les points résultants sur un graphique.

Étape 2:

Déterminez la région des solutions réalisables. C'est la zone comprise dans toutes les limites définies par les restrictions techniques. Seules les parties des zones situées au-dessous des lignes de démarcation individuelles qui coïncident, lorsque les différents graphiques (de l'étape 1) sont combinés, satisfont à toutes les contraintes.

Étape 3:

Définir les lignes d'isoprofit en résolvant l'équation de profit pour Y

L'ensemble des lignes d'isoprofit peut être tracé en affectant différentes valeurs à Z et à X.

Étape 4:

Définissez la solution optimale en comparant la pente de la ligne d'isoprofit avec les pentes des lignes de démarcation définissant la région des solutions réalisables. Comme toutes les lignes ont des pentes négatives, nous pouvons ignorer leurs signes lors de la comparaison. Dans notre exemple, seules deux lignes de démarcation définissent la région des solutions réalisables. (Le facteur K ne fixe aucune limite au choix de l'entreprise, compte tenu des autres facteurs L et S.)

Nous concluons qu’il existe une solution unique en son genre et que cette solution optimale est définie par l’intersection des deux lignes de démarcation qui définissent la région des solutions réalisables.

IV La méthode simplex:

Lorsque les variables dont les valeurs doivent être déterminées à l'aide de la méthode de programmation linéaire sont supérieures à deux, la solution graphique est difficile, voire impossible, car nous avons besoin de diagrammes multidimensionnels. La méthode itérative suivante pour atteindre la solution optimale, appelée méthode simplex, peut être utilisée.

Nous allons illustrer la méthode simplex en utilisant l'exemple suivant.

Supposons qu'une entreprise puisse produire cinq produits, x 1, x 2, …, x 5, avec trois facteurs de production F 1, F 2, F 3 .

Les quantités de facteurs disponibles sont:

F 1 = 100 unités de travail

F 2 = 80 unités de capital

F 3 = 150 unités de terre

Les méthodes de production connues (processus ou activités) de chaque produit sont

L'entreprise souhaite choisir la combinaison de produits qui optimise son bénéfice total z. Notons les niveaux de production des cinq produits de base par la lettre X en majuscule et l’indice approprié.

Avec les informations ci-dessus, nous pouvons énoncer le problème de programmation linéaire formellement comme suit:

En substituant les informations techniques de notre exemple, nous:

Pour surmonter les difficultés créées par les inégalités dans les contraintes, nous transformons les contraintes techniques en égalités en introduisant dans chacune d’elles une variable, appelée «variable de jeu», qui affichera les unités inutilisées du facteur de production correspondant. De toute évidence, il y aura autant de variables de jeu que de facteurs de production. On suppose que les facteurs non utilisés ont une rentabilité nulle (ni profit ni perte).

Avec l'introduction des variables de jeu, les contraintes deviennent:

une. La procédure itérative

Itération I:

Nous partons de n'importe quelle solution réalisable, trouvons sa rentabilité et examinons si elle génère un profit maximal par rapport à d'autres solutions réalisables. Les niveaux de production et de facteurs inutilisés dans une solution constituent une base. La façon la plus simple de commencer les itérations est de partir de la base indiquant une production nulle, c'est-à-dire qu'elle inclut les trois activités inactives avec des valeurs égales aux quantités disponibles des trois facteurs de production, car sans production, tous les facteurs sont inutilisés. . Ainsi, la solution initiale (base I) est l’origine, où tous les niveaux de sortie sont nuls

X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = X 5 = 0

et tous les intrants sont au chômage, de sorte que

S 1 = F 1 = 100

5 2 = F 2 = 80

5 3 = F 3 = 150

C'est une solution réalisable, car toutes les contraintes sont satisfaites. Clairement, ce n’est pas optimal car les profits sont nuls s’il n’ya pas de production

Z = 2 (0) + 2 (0) + 3 (0) + 4 (0) + 6 (0) 4 0 (S 1 ) + 0 (S 2 ) + 0 (S 3 ) = 0

Avant de rechercher une solution réalisable, nous allons présenter la première solution (base I) dans un tableau (tableau 20.1).

Dans la première colonne, nous montrons les activités incluses dans la solution (Base) examinée et leurs niveaux d'utilisation. La base I comprend les activités en jeu S 1, S 2, S 3 et leurs niveaux d'utilisation sont égaux aux facteurs de production non utilisés, 100 unités de f 1, 80 unités de f 2 et 150 unités de f 3 .

Dans les colonnes des cinq activités de production, nous insérons les intrants des trois facteurs de production nécessaires à la production d'une unité des produits correspondants.

Dans les colonnes des activités vides, nous insérons une unité pour le facteur de production correspondant et zéro pour tous les autres facteurs.

Dans la dernière ligne du tableau, insérez le bénéfice total (Z) de la base et les bénéfices unitaires des activités avec un signe négatif. Cette ligne (que nous appellerons la "ligne de rentabilité") est cruciale dans la procédure itérative de la méthode simplex, car elle indique quelle est l'activité la plus rentable à introduire lors de la prochaine itération. Lorsque tous les éléments de cette ligne deviennent positifs ou nuls, nous arrêtons les itérations.

Les éléments positifs de la ligne "rentabilité" suggèrent que l'introduction des activités correspondantes dans la base entraînera une diminution du bénéfice total. L'élément zéro dans la ligne «rentabilité» (dans les colonnes des activités de production A1 , …, A5) implique qu'il existe d'autres solutions optimales produisant le même bénéfice total. Ainsi, lorsque les éléments de la «ligne de rentabilité» (des colonnes des activités de production) sont soit positifs, soit nuls, nous arrêtons (généralement) les itérations, car une solution optimale a été atteinte.

Itération II:

Nous devons trouver l'activité entrante et l'activité sortante, c'est-à-dire l'activité que nous devons introduire dans la base et celle qui sera remplacée.

En tant qu'activité entrante, nous choisissons celle qui génère le profit unitaire le plus élevé, c'est-à-dire l'activité qui présente l'élément négatif le plus important dans la ligne «rentabilité». Dans notre exemple, l'activité la plus rentable est A 5 .

L'activité sortante est trouvée en divisant chaque niveau d'activité de la première base (F 1, F 2 et F 3 dans notre exemple) par le coefficient d'entrée pertinent de l'activité entrante, et en choisissant de remplacer l'activité de l'ancienne base pour laquelle le rapport est le plus petit. Dans notre exemple, nous avons

Le plus petit rapport est F 2 / k 5, l'activité sortante est donc S 2 . La nouvelle base comprendra les activités S 1, A 5 et S 3 . Nous remplaçons les activités vides dont le ratio est le plus faible, car la ressource correspondante sera la première à être épuisée à mesure que nous étendrons la production de produits de base x 5 (produits par l'activité entrante).

Notre prochaine étape consiste à rechercher les éléments de la nouvelle table d’itération.

Les étapes suivantes sont impliquées dans ce processus:

1. Nous définissons l'élément pivot, qui est l'élément situé à l'intersection des activités entrantes et sortantes. Dans notre exemple, l'élément pivot est 2, à l'intersection de A 5 et S 2 .

2. Nous trouvons les éléments de la ligne pivot, c'est-à-dire la ligne qui sera occupée par l'activité entrante, prenant la place de l'activité sortante. Les éléments de la ligne de pivot sont trouvés en divisant les éléments de la ligne d'origine (de l'activité sortante) par l'élément de pivot (2 dans notre exemple). Les éléments de la ligne de pivot sont les éléments de l'activité entrante (A 5 ) dans le nouveau tableau d'itérations.

Dans notre exemple, les éléments de la ligne pivot sont:

3. Tout autre élément de la deuxième table d'itération b i est trouvé en soustrayant de l'élément d'origine correspondant a, (dans la première table d'itération) le produit de l'élément de la ligne de pivot qui se trouve dans la même colonne que, multiplié par l'élément de l'activité entrante qui se trouve dans la même ligne qu'un i .

Les calculs sont présentés dans le tableau 20.2. Les données cruciales requises à ce stade sont les éléments de la ligne de pivot (b 10, b 1 1 …, b 18 ) et les éléments de la colonne de l'activité sortante (a 6 = 2, a 15 = 2, a 24 = 2)

Les éléments des première et troisième lignes de la deuxième table d'itération sont:

4. Le bénéfice total de la nouvelle solution (Z ll ) est obtenu en multipliant le niveau des activités de cette base par leurs bénéfices unitaires.

Z II = π 6 (S 1 ) + π 5 (/ A 5 ) + π 8 (S 3 ) = (20) (0) + (40) (6) + (70) (0) = 240

5. Les éléments de la «ligne de rentabilité» sont estimés de la même manière que les autres éléments du second tableau d'itérations. C'est-à-dire que, dans les "éléments de rentabilité" initiaux, nous soustrayons le produit de l'élément de la ligne de pivot (qui se trouve dans la même colonne que π iI ) fois le "facteur de rentabilité" de l'activité entrante

Nous avons maintenant terminé le calcul des éléments de la deuxième itération. Les résultats sont présentés dans le tableau 20.3.

S 1 = 20 A 5 = 40 S 3 = 70

Il est clair que la seconde base est meilleure que la solution initiale, car elle génère un bénéfice total de 240 unités monétaires. Cependant, tant que des éléments négatifs apparaissent dans la dernière ligne du tableau d'itérations, nous pouvons continuer à améliorer notre solution (augmenter les bénéfices) en introduisant dans la base l'activité qui présente le "facteur de rentabilité" le plus négatif.

Dans notre exemple d'activité, un 2 qui produit un produit x 2 sera l'activité entrante dans la nouvelle solution (base III). L'activité sortante est déterminée de la même manière que dans l'itération précédente. En d’autres termes, nous divisons les activités inutilisées de la base II par les éléments correspondants de la colonne de l’activité entrante (A 2 ) et abandonnons l’activité dont le rapport est le plus petit. Dans notre exemple, nous avons

20/2 = 10 et 70/1 = 70

Depuis (20/2) <(70/1), l’activité sortante à cette itération est 5, . (Tableau 20.4.)

Avant de procéder aux calculs de la troisième itération, il est utile d'indiquer les implications du critère du simplexe. Ce critère sert à définir si la solution optimale a été atteinte ou si une amélioration supplémentaire peut être obtenue par des itérations supplémentaires.

Le critère simplex peut être résumé dans les propositions suivantes:

Si un ou plusieurs éléments de la «ligne de rentabilité» sont négatifs, une amélioration supplémentaire de la solution est possible et les itérations doivent continuer, à moins que tous les éléments de l'activité entrante ne soient positifs ou nuls. Dans ce cas, nous en déduisons que le problème n'a pas de solution ou qu'il n'a pas été correctement énoncé.

Si tous les éléments de la «ligne de rentabilité» sont positifs ou nuls, la base de ce tableau est une solution optimale et de nouvelles itérations ne sont (généralement) pas nécessaires. L'inclusion dans la base des activités présentant des «éléments de rentabilité» positifs réduit les bénéfices totaux de l'entreprise. Ces activités ne doivent donc pas être considérées comme un moyen d'améliorer la solution.

Si certaines activités de production ne présentent aucun «élément de rentabilité» dans le tableau final, il existe plusieurs solutions optimales. Si nous introduisons dans la base une activité à «rentabilité» nulle, le bénéfice total n'est pas affecté.

Itération III:

La dernière ligne de la deuxième table d'itérations contient des éléments négatifs et la solution peut donc être améliorée. L’activité entrante est celle dont l’élément de rentabilité est le plus négatif (A 2 dans notre exemple) et l’activité sortante est S 1, avec le ratio le plus petit (S 1/2 = niveau de S 1 dans la base II divisé par le élément correspondant de la colonne de l'activité entrante).

Après avoir défini les activités entrantes et sortantes, nous répétons les calculs de la deuxième itération:

1. L'élément pivot est 2, défini par l'intersection des activités entrante et sortante.

2. Les éléments de la «rangée de pivot» sont définis par la division des éléments de l'activité sortante en élément de pivot. Elles sont

20/2 = 10, 0/2 = 0, 2/2 = 1, 0/2 = 0, 1/2, 0/2 = 0, 1/2, -1/2, 0/2 = 0

3. Les éléments restants (c i ) de la troisième table d'itérations sont trouvés en soustrayant des éléments correspondants de la deuxième table d'itérations (b i ) le produit de l'élément de la «rangée de pivot» (qui se trouve dans la même colonne que b i ) fois l'élément de l'activité entrante (qui se trouve dans la même ligne que b i ).

Les valeurs des éléments de la troisième itération sont:

4. Le bénéfice total de la base III est obtenu en additionnant les produits des niveaux d’activités inclus dans cette base multiplié par les bénéfices unitaires correspondants (tels qu’indiqués dans la fonction objectif).

Z III = (10) (2) + (40) (6) + (60) (0) = 260

Ceci est supérieur au bénéfice de la solution précédente (Z II = 240).

5. Les éléments de la «ligne de rentabilité» de la troisième itération sont calculés comme dans la deuxième itération

Nous avons donc terminé les calculs des éléments de la troisième base. Les résultats sont présentés dans le tableau 20.5.

En utilisant les propositions du critère simplex, on observe ce qui suit. Tous les éléments de la dernière ligne («ligne de rentabilité») sont positifs ou nuls. Cela implique que cette table contient une solution optimale.

Les activités de cette base sont:

A 2 = 10 unités de marchandise x 2

A 5 - 40 unités de marchandise x 5

S 3 = 60 unités de facteur F 3 non utilisé

Le bénéfice total de cette solution optimale est de 260 unités monétaires. Étant donné qu'il y a des zéros dans la dernière ligne (et dans les colonnes des activités productives), nous en déduisons que la solution ci-dessus n'est pas unique. C'est-à-dire qu'il existe d'autres solutions optimales (qui incluent les activités productives sans «éléments de rentabilité»). Ces solutions optimales alternatives produisent bien sûr le même bénéfice total. Puisque nous avons trouvé une solution optimale, nous ne procéderons plus à de nouvelles itérations. Cependant, il existe des cas dans lesquels la localisation de solutions optimales supplémentaires peut être utile.

V. Le double problème et les prix virtuels:

Le problème de base dont la solution est tentée par la technique de programmation linéaire est appelé le problème primaire. A chaque problème primal correspond un problème double, qui apporte des informations supplémentaires au décideur. La nature du double problème dépend du problème primordial. Si le problème primaire est un problème de maximisation, son double est un problème de minimisation. De même, si le primal est un problème de minimisation, son dual est un problème de maximisation.

L'examen détaillé du double problème dépasse le cadre de ce livre. Nous allons nous concentrer ici sur le double problème de notre exemple précédent de maximisation du profit. Le double problème dans ce cas est celui de la minimisation des coûts, et de sa solution découlent les prix virtuels des facteurs de production utilisés par l'entreprise.

Le problème double peut être résolu indépendamment de son problème principal par une procédure similaire à celle décrite ci-dessus. Cependant, les valeurs obtenues à partir de la solution du dual sont également obtenues en tant que sous-produit de la dernière itération du primal, ce qui donne la solution optimale.

Dans notre exemple, les prix fictifs des trois facteurs de production sont les éléments figurant dans les trois dernières cellules de la ligne «rentabilité» du tableau 20.5.) Si la solution optimale contient une activité inactive montrant qu'une partie du facteur correspondant reste au chômage, ce facteur a un prix fictif égal à zéro.

Si les facteurs sont pleinement utilisés, leurs prix virtuels sont positifs. Dans notre exemple, les prix virtuels du facteur travail (F 1 ) et du facteur capital (F 2 ), qui sont pleinement utilisés dans la solution optimale, apparaissent respectivement comme positifs et égaux à 1 et 2 unités monétaires. Le prix fictif du facteur terre (F 3 ) est égal à zéro, car ce facteur n'est pas pleinement utilisé dans la solution optimale.

Les prix virtuels des facteurs sont les coûts imputés ou les coûts d’opportunité des facteurs pour l’entreprise concernée. En tant que tels, ils sont des indicateurs cruciaux pour l'expansion de l'entreprise. Ils montrent quels sont les goulots d'étranglement à la poursuite de l'expansion de l'entreprise, car ces facteurs apparaîtront avec un prix fictif positif (coût d'opportunité) dans la solution optimale.

En outre, les prix virtuels des ressources peuvent être comparés à leurs prix de marché et aider l’entrepreneur à décider s’il est rentable d’engager des unités supplémentaires de ces facteurs. Le prix fictif d'un facteur indique combien le bénéfice de l'entreprise sera augmenté si l'entreprise emploie une unité supplémentaire de ce facteur.

Dans notre exemple, nous voyons que si l'entreprise embauchait une unité de travail supplémentaire, ses bénéfices augmenteraient d'une unité monétaire. De même, si l'entreprise employait une unité de capital supplémentaire, son bénéfice augmenterait de 2 unités monétaires. Mais pour pouvoir louer des unités supplémentaires de L et / ou k, l'entreprise devrait payer leur prix du marché (salaire ou loyer du capital).

Ainsi, si le prix fictif d'un facteur est supérieur à son prix du marché, l'entreprise paierait pour augmenter l'emploi de ce facteur, car son bénéfice net augmenterait. De toute évidence, les prix virtuels, dont les valeurs sont estimées à l'aide de la technique de programmation linéaire, revêtent une grande importance pratique pour l'entreprise.

 

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