Fonction de production de Cobb-Douglas et ses propriétés

Lors de leurs discussions sur la théorie de la production de la société, les économistes CW Cobb et PH Douglas ont utilisé une forme spéciale de fonction de production, appelée fonction de production Cobb-Douglas. La fonction de production de Cobb-Douglas (CD) est de la forme

Q = ALαKβ (8.100)

où L = quantité utilisée de travail

K = quantité utilisée de capital

Q = quantité de sortie produite

A, α, β = constantes positives.

En réalité, le paramètre A est le paramètre d'efficacité. Il sert d'indicateur de l'état de la technologie. Plus la valeur de A est élevée, plus le niveau de production pouvant être obtenu par une combinaison d'intrants donnée est élevé.

Α et β sont également les paramètres de distribution. Ils ont à voir avec les parts de facteurs relatifs dans le produit. Ici, on suppose que l'entreprise utilise deux intrants, la main-d'œuvre (L) et le capital (K), et ne produit qu'un seul produit (Q).

Propriétés de la fonction de production de Cobb-Douglas :

Les fonctions de production de CD possèdent un certain nombre de propriétés importantes qui l’ont rendu très utile dans l’analyse des théories économiques. Nous allons maintenant en discuter.

La fonction de production de CD (8.100) est une fonction homogène, le degré d'homogénéité de la fonction étant α + β. Pour ici nous obtenons

A (tL) α (tK) β = tα + β A LαKβ = ta + β Q (8.100a)

où t est un nombre réel positif.

Nous obtenons de (8.100a) que si L et K sont augmentés du facteur t, Q augmenterait du facteur tα + β. Aussi (8.100a) nous donne que la condition pour que la fonction CD (8.100) devienne homogène de degré un (ou linéairement homogène) est

α + β = 1. (8.101)

Dans ce cas, (8.100) nous donnerait que si L et K sont augmentés du facteur t, alors Q augmenterait également du facteur t. Si la fonction de production de CD est homogène d'un degré quelconque α + β, comme dans (8.100) et (8.100a), alors (8.100) peut être appelée version généralisée de la fonction CD.

Par contre, si la fonction CD est homogène de degré un, comme indiqué par (8.100) et (8.101), alors la fonction est appelée une fonction CD linéairement homogène.

Propriétés de la fonction de production de Cobb-Douglas, homogène de degré un :

La fonction de production de CD du premier degré peut être écrite

Q = ALαKβ.α + β = 1 (8.102)

Les propriétés de cette fonction, c'est-à-dire (8, 102), sont

(i) Les produits moyens et marginaux de L et K, c'est-à-dire AP L, AP K, MP L et MP K seraient tous les fonctions du rapport LK ou KL. Etablissons maintenant cette propriété.

On nous donne:

Q = ALα K1, 0 <α <1 ( ... Α, β> 0 et α + β = 1) (8.103)

⇒Q / L = ALα-1K1-α

⇒Q / L = A (K / L) 1-α

⇒AP L = g (K / L) [ . . . Par définition, Q / L = AP L ] (8.104)

c'est-à-dire que AP L est une fonction du rapport KL.

De même, à partir de (8.103), nous avons:

Q / K = ALαK − α

⇒ Q / K = A (L / K) α

⇒ PA K = h (L / K) [. . . Q / K = PA K ] (8, 105)

c'est-à-dire que AP K est une fonction du rapport KL.

Encore une fois, à partir de (8.103), nous avons

∂Q / L = αA.Lα − 1. K1-α

= αA (K / L) 1 α

⇒ MP L = ϕ (K / L) [ . . . Q / ∂L = MP L ] (8.106)

c'est-à-dire que MP L est une fonction du rapport KL.

Enfin, à partir de (8.103), nous avons

∂Q / ∂K = (1 − α) ALαK − α

= (1-α) A (L / K) α

⇒ MP K = Ψ (L / K) [ . . . Q / ∂K = MP K ] (8, 107)

c'est-à-dire que MP K est une fonction du rapport LK.

Nous avons vu plus haut que AP L, AP K, MP L et MP K sont toutes des fonctions du rapport KL. Par conséquent, si l’entreprise modifiait les quantités de L et de K tout en maintenant leur ratio, tous ces produits moyens et marginaux resteraient constants. En d'autres termes, ils ne peuvent changer que lorsque l'entreprise change L et K dans des proportions différentes.

(ii) Etant donné que dans le cas de la fonction de production de CD (8.103), nous avons obtenu que MP L et MP K soient des fonctions du rapport LK, cette fonction a également la propriété suivante:

MRTS LK = MP L / MP K = fonction du rapport L / K. (8.108) serait

Comme nous le savons, MRTS L, K est le taux marginal de substitution technique de L à K.

(iii) Dans le cas de la fonction de production de CD (8.103), les courbes AP L et MP L et les courbes AP K et MP K seraient toutes inclinées vers le bas. En d’autres termes, si l’entreprise augmente l’utilisation de l’un des intrants, celle de l’autre restant inchangée, le PA et le PM de l’ancien intrant diminuent. Laissez-nous établir cette propriété.

De eqns. (8.104) et (8.106), on obtient:

MP L = αA (K / L) 1-α = αAP L

⇒ MP L <AP L ( . 0 <α <1) (8.109)

De nouveau, à partir de (8.106) nous obtenons

/ ∂L (MP L ) = αAK1 − α (α − 1) Lα − 2

= α (α − 1) AK1-αL α − 2 <0 (8.110)

[ . . . 0 <α <1]

Il est clair d'après (8.110) que la pente de la courbe MP L est négative, c'est-à-dire que cette courbe est inclinée vers le bas à droite. En d'autres termes, lorsque L augmente, K restant constant, MP L diminue.

De nouveau, à partir de (8.104), on obtient:

∂ / ∂L (AP L ) = AK1 − α (α − 1) Lα − 2

= A (α − 1) K1-αL α − 2 <0 (8.111)

[ . . . 0 <α <1]

(8.111) nous indique que la pente de la courbe AP L est négative, c'est-à-dire que cette courbe est également inclinée vers le bas, à l'instar de la courbe MP L.

Comme nous le savons à partir de la relation AP L - MP L, si la courbe AP L est inclinée vers le bas, nous aurions alors MP L <AP L, c’est-à-dire que la courbe MP L se situerait au-dessous de la courbe AP L (8.6.4, 8.6.5). Bien sûr, nous avons déjà obtenu en (8.109) que MP L serait inférieur à AP L.

Nous avons obtenu ci-dessus que, dans le cas de la fonction de production de CD (8.102), les courbes AP L et MP L seraient toutes les deux inclinées vers la droite et que la courbe MP L se situerait au-dessous de la courbe AP L. De même, à partir des équations (8.105) et (8.107), nous pouvons établir que les courbes AP K et MP K seraient toutes les deux inclinées vers le bas et que la courbe MP K se situerait au-dessous de la courbe AP K.

(iv) Dans le cas de la fonction de production de CD (8.103), le coefficient d'élasticité partielle de Q par rapport à une variation de L, K restant constant, serait EQ L = a = constant, et le coefficient d'élasticité partielle de Q par rapport à une modification dans K, L restant constant, serait EQ L = 1 - α = constant. Nous pouvons établir cette propriété de la manière suivante.

Par définition, nous avons

Nous avons également

Par conséquent, la propriété (iv) est établie. Cette propriété est valable pour la fonction CD générale de tout degré (α + β) donné par (8.99). Dans ce cas, les élasticités seraient données par α et β, respectivement.

(v) Pour la fonction de production de CD (8.103), les isoquants de l'entreprise seraient en pente négative et ces courbes seraient convexes à l'origine. Laissez-nous établir cette propriété. La fonction de production de CD est

Q = f (L, K) = ALαK1-α [(8.103)]

En prenant le différentiel total de (8.103), on obtient

dQ = (f / ∂L) dL + (f / ∂K) dK (8.114)

Maintenant, pour un mouvement d'un point d'un QI à un autre (très proche), dQ = 0 et dans ce cas (8.114) nous donnerait

0 = (∂f / ∂L) dL + (f / ∂K) dK

Par conséquent, nous avons obtenu que pour la fonction CD (8.103), la pente d’un QI, à savoir,

serait négatif. Encore une fois (8.115) nous donnerait

d2K / dL2 = - α / 1 − α (−K / L2) = (α / 1 − α) (K / L2)> 0 (8.116)

Il est clair d'après (8.116) que, lorsque L augmente, la pente du QI, c'est-à-dire dK / dL, augmente également ou la pente absolue du QI diminue. Cela implique qu'un QI serait convexe à l'origine. Cette propriété peut également être établie si nous utilisons la version générale de la fonction CD donnée par (8.100) et (8.100a), c’est-à-dire que cette propriété est valable pour la fonction CD, quelle que soit son degré, à savoir, a + p, a + P n'étant pas nécessairement égal à 1.

(vi) Pour la fonction CD (8.103), l’agrandissement de l’entreprise se ferait en ligne droite. Nous pouvons établir cette propriété de la manière suivante.

La fonction de production (8.103) est

Q = f (L, K) = A.Lα. K1-α

Comme on le sait, l’équation du chemin d’expansion est

Où r L = prix du travail (L) = constant

Et r K = prix du capital (K) = constant

Puisque r L, r K, α = constant et que la puissance de Land K = 1, l’équation (8.118) est une équation linéaire. La pente de cette droite est r L / r K. 1 –α / α = constante positive [ . . . 0 <α <1 et r L, r K > 0].

Cette droite commence à l'origine car lorsque L = 0 in (8.118), nous avons K = 0. Par conséquent, pour la fonction homogène CD de degré un (8.103), la trajectoire d'expansion de l'entreprise commencerait à partir du point d'origine et ce serait une ligne droite en pente ascendante vers la droite.

Dans l'analyse ci-dessus, si nous utilisons eqn. (8.100) à la place de l'équation. (8.103), nous obtiendrions que pour la fonction de production de CD, quelle que soit son degré de cohérence, le chemin d’agrandissement commence à l’origine et se présente sous la forme d’une ligne droite inclinée vers le haut, c’est-à-dire que cette propriété est également valable pour la version générale de Fonction CD, homogène de tout degré, α + β.

(vii) Pour la fonction de production de CD (8.103), la production totale serait épuisée si les entrées L et K étaient payées au taux de leur produit marginal respectif, c'est-à-dire L. MP L + K, MP K = Q.

Nous pouvons le prouver de la manière suivante.

LMP L + KMP K

= LAαLα − 1K1 − α + KALα (1 − α) K − α

= αALαK1 − α + (1 − α) ALαK1 − α

= ALαK1-α (α + 1 -α)

= ALαK1 − α

= Q (8.119)

Par conséquent, la propriété est établie. Cette propriété peut également être établie en utilisant la version générale de la fonction CD (8.100), c’est-à-dire que cette propriété est valable, pour une fonction CD homogène, quel que soit son degré.

(viii) Pour la fonction de production de disques compacts (8.103), si le travail (L) et le capital (K) sont payés au taux de leurs députés respectifs, les parts relatives du travail et du capital seraient respectivement de a et de 1 - a. Nous pouvons le prouver de la manière suivante.

Part absolue de L dans la production totale = LMP L

Et la part relative du travail = LMP L / Q

= LAαLα − 1K1 − α / ALαK1 − α = α (8.120)

En outre, la part absolue de L dans la production totale = KMP K

Et la part relative de K = KMP K / Q

= KALα (1-αK-α)

= 1-α (8.121)

Par conséquent, la propriété est établie. Cette propriété peut également être établie en utilisant la fonction générale CD (8.99) homogène de tout degré α + β. Dans ce cas, les parts relatives du travail et du capital seraient respectivement α et β.

 

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