Fonction de production homogène | Économie

Une fonction est dite homogène de degré n si la multiplication de toutes les variables indépendantes par la même constante, disons λ, entraîne la multiplication de la variable dépendante par λn. Ainsi, la fonction

Y = X2 + Z2

est homogène du degré 2 depuis

(λX) 2 + (λZ) 2 = λ2 (X2 + Y2) = λ2Y

Une fonction homogène de degré 1 est dite linéairement homogène ou affiche une homogénéité linéaire. Une fonction de production homogène du degré 1 affiche des rendements d'échelle constants puisqu'un doublement de toutes les entrées entraîne un doublement exact de la production. Ainsi, ce type de fonction de production présente des rendements d'échelle constants sur toute la plage de sortie. En général, si la fonction de production Q = f (K, L) est linéairement homogène, alors

F (λK, λL) = λf (K, L) = λQ

pour toute combinaison de travail et de capital et pour toutes les valeurs de λ. Si λ est égal à 3, un triplement des entrées conduira à un triplement de la sortie.

Il existe divers exemples de fonctions linéairement homogènes.

Deux exemples sont les suivants:

Q = aK + bL

et Q = A Kα L1-α 0 <α <1

Le deuxième exemple est connu sous le nom de fonction de production Cobb-Douglas. Pour voir qu'elle est, en effet, homogène de degré un, supposons que l'entreprise produise initialement Q 0 avec les entrées K 0 et L 0, puis double son emploi de capital et de main-d'œuvre.

La sortie résultante serait égale à:

Cela montre que la fonction de production de Cobb-Douglas est linéairement homogène.

Propriétés:

Il existe diverses propriétés intéressantes des fonctions de production linéairement homogènes. Premièrement, nous pouvons exprimer la fonction Q = f (K, L) sous l’une des deux formes possibles.

(1) Q = Kg (L / K) ou

(2) Q = Lh (K / L)

Cette propriété est souvent utilisée pour montrer que les produits marginaux du travail et du capital ne sont que des fonctions du rapport capital / travail.

En particulier, les produits marginaux sont les suivants:

MP k = g (L / K) - (L / K) g '(L / K)

et MP L = g '(L / K)

où g '(L, K) désigne le dérivé de g (L / K). Cela signifie que les produits marginaux des intrants ne changent pas avec une augmentation proportionnelle des deux intrants. Étant donné que le taux marginal de substitution technique est égal au ratio des produits marginaux, cela signifie que le MRTS ne change pas le long d'un rayon passant par l'origine, qui a un ratio capital / travail constant. Puisque le MRTS est la pente de l'isoquant, une fonction de production linéairement homogène génère des isoquants parallèles le long d'un rayon passant par l'origine.

Chemin d'expansion:

Si une entreprise emploie une fonction de production linéairement homogène, son chemin d'expansion sera une ligne droite. Pour vérifier ce point, commençons par un point initial de minimisation des coûts sur la figure 12, avec un rendement de 10 unités et un emploi (utilisation) de 10 unités de travail et de 5 unités de capital. Supposons maintenant que l'entreprise souhaite augmenter sa production à 15 unités. Comme les prix des intrants ne changent pas, la pente du nouvel isoquant doit être égale à celle du premier.

Mais la pente de l'isoquant est le MRTS, qui est constant le long d'un rayon depuis l'origine pour une fonction de production linéairement homogène. Par conséquent, le ratio capital-travail minimisant les coûts restera constant. La production ayant augmenté de 50%, les intrants augmenteront également de 50%, passant de 10 à 15 et de 5 unités de capital à 7, 5. Ainsi, le chemin d’expansion est une ligne droite.

Les fonctions de production peuvent prendre de nombreuses formes spécifiques. Les économistes et les chercheurs travaillent généralement avec une fonction de production homogène. Une fonction est dite homogène de degré n si la multiplication de toutes les variables indépendantes par la même constante, disons λ, entraîne la multiplication de la variable indépendante par λn. Ainsi, la fonction:

Q = K2 + L2

est homogène du degré 2 depuis

(λK) 2 + (λ L) 2 = λ2 (K2 + L2) = λ2Q

Une fonction homogène de degré 1 est dite linéairement homogène ou affiche une homogénéité linéaire. Une fonction de production homogène du degré 1 affiche des rendements d'échelle constants puisqu'un doublement de toutes les entrées entraîne un doublement de la production.

Une fonction de production est homogène de degré n si, lorsque les entrées sont multipliées par une constante, par exemple α, la sortie résultante est un multiple de a2 fois la sortie initiale.

C'est-à-dire pour une fonction de production:

Q = f (K, L)

alors si et seulement si

Q = f (αK, αL) = αnf (K, L)

est la fonction homogène. L'exposant, n, indique le degré d'homogénéité. Si n = 1, la fonction de production est dite homogène de degré un ou linéairement homogène (cela ne signifie pas que l'équation est linéaire). Une fonction de production linéairement homogène présente un intérêt car elle présente une CRS.

Cela se voit facilement depuis l'expression αn. f (K, L) lorsque n = 1 se réduit à α. (K, L), de sorte que multiplier les entrées par une constante augmente simplement la sortie de la même proportion. Des exemples de fonctions de production linéairement homogènes sont la fonction de production de Cobb-Douglas et la fonction de production d'élasticité de substitution constante (CES). Si n> 1, la fonction de production affiche IRS. Si n <1 DRS prévaut.

Fonction de production Cobb-Douglas:

Les économistes ont, à différentes époques, examiné de nombreuses fonctions de production réelles et une fonction de production réputée est la fonction de production Cobb-Douglas. Une telle fonction est une équation montrant la relation entre l’entrée de deux facteurs (K et L) dans un processus de production et le niveau de sortie (Q), dans lequel l’élasticité de substitution entre deux facteurs est égale à un.

Appliquée à la production manufacturière, cette fonction de production indique, en gros, que la main-d'œuvre est à l'origine des trois quarts environ de l'augmentation de la production manufacturière et du capital du quart restant.

Supposons que la fonction de production est du type suivant:

Q = AKα Lβ

où Q est la sortie, A est constant, K est l'entrée de capital, L est l'entrée de travail et a et (3 sont les exposants de la fonction de production. Cette fonction est appelée fonction de production de Cobb-Douglas. Elle possède une propriété importante.

La somme des deux exposants indique les rendements d'échelle:

(i) Si α + β> 1, la fonction de production présente des rendements d'échelle croissants,

(ii) Si α + β = 1, il y a des rendements d'échelle constants,

(iii) Enfin, si α + β <1, les rendements d'échelle sont décroissants.

Supposons que la production soit du type suivant:

Q = AK0. + 75 L0, 25

Il présente un retour à l'échelle constant car α = 0, 75 et β = 0, 25 et α + β = 1.

 

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