Propriétés de la fonction de production linéairement homogène

Supposons qu'une entreprise utilise deux intrants, le travail (L) et le capital (K), pour produire son produit (Q), et que sa fonction de production est:

Q = f (L, K) (8.122)

[où L et K sont les quantités utilisées des intrants travail (L) et capital (K) et Q est la quantité de production produite]

La fonction (8.122) est homogène de degré n si on a

f (tL, tK) = tn f (L, K) = tnQ (8.123)

où t est un nombre réel positif.

Dans la théorie de la production, le concept de fonctions de production homogènes de degré un [n = 1 sur (8.123)] est largement utilisé. Ces fonctions sont également appelées fonctions de production homogènes «linéairement».

Si la fonction de production (8.122) est linéairement homogène, alors nous aurions

f (tL, tK) = tf (L, K) = tQ (8.124)

Dans (8.124), il est clair que l'homogénéité linéaire signifie que l'augmentation de toutes les entrées (variables indépendantes) du facteur t augmente toujours la sortie (la valeur de la fonction) exactement du facteur t. Une hypothèse d'homogénéité linéaire équivaudrait donc à une hypothèse de rendements d'échelle constants dans la théorie économique.

Discutons ci-dessous les propriétés d’une fonction de production linéairement homogène telles que définies par (8.122) et (8.124).

Propriété I:

Le produit (physique) moyen du travail (AP L ) et du capital (AP K ) peut être exprimé en fonction du rapport capital / travail (K / L).

Pour le prouver, multiplions L et K dans (8.122) par le facteur t = 1 / L. Ensuite, en raison de l'homogénéité linéaire, nous aurions

f (L / L, K / L) = Q / L

⇒ f [(1, K / L)] = Q / L

⇒ g (K / L) = PA L (8.125)

De même, nous aurions

Q / K = h (L / K)

⇒ APK = h (L / K) (8.126)

Eqns. (8.125) et (8.126) donnent que si l'entreprise augmentait L et K dans la même proportion, en maintenant le rapport K / L constant, il n'y aurait absolument aucun changement dans AP L et AP K, c'est-à-dire dans AP Les fonctions L et AP K sont homogènes de degré zéro en L et K.

Propriété II:

Les produits physiques marginaux, MP L et MP K, sont également les fonctions du rapport K / L.

Nous pouvons établir cela de la manière suivante.

Q = Lg (K / L) [à partir de (8.125)] (8.127)

Par conséquent, nous avons

PM L = ∂Q / ∂L = g (K / L) + L.g '(K / L) (- K / L2)

= g (K / L) - (K / L) g '(K / L)

= Ψ (K / L)

Aussi, à partir de (8.127), nous avons

MPK = ∂Q / ∂K = Lg '(K / L) (1 / L)

= g '(K / L)

(8.128) et (8.129) établissent le bien II. Autrement dit, si la fonction de production est homogène de degré un, alors MP L et MP K sont des fonctions homogènes de K et L de degré zéro.

Propriété III:

Pour la fonction de production homogène de degré un donnée par (8.122) et (8.124) nous aurions

Nous pouvons établir cette propriété de la manière suivante. De (8.128) et (8.129), nous avons

L (∂Q / ∂L) + K (Q / ∂K) = Q

Nous pouvons établir cette propriété de la manière suivante.

De (8.128) et (8.129), nous avons

L (∂Q / ∂L) + K (Q / ∂K)

= Lg (K / L) –L (K / L) g '(K / L) + Kg' (K / L)

= Lg (K / L) - Kg '(K / L) + Kg' (K / L)

= Lg (K / L) = Q [à partir de (8.127)] (8.130)

(8.130) établit la propriété III, également connue sous le nom de théorème d'Euler.

Cette propriété peut aussi être énoncée comme ceci. Si les intrants travail (L) et capital (K) sont payés au taux de leurs produits marginaux respectifs (Q / ∂L et Q / ∂K), le produit total (Q) serait alors épuisé, à condition que la fonction de production est homogène de degré un.

Propriété IV:

Le MRTS dans le cas d'une fonction de production homogène (de tout degré n) est une fonction du rapport K / L, et le chemin d'expansion pour une telle fonction sera une ligne droite.

De (8.122) et (8.123), nous avons

Q = f (L, K)

et f (tL, tK) = tnQ.

où t est un nombre réel positif.

Puisque (8.122) a été supposé être une fonction de production homogène de degré n, nous avons (8.123).

C'est-à-dire que le long du trajet d'expansion MRTS L, K = φ (K / L) = constant, c'est-à-dire que le long de ce trajet, le rapport est constant, ce qui implique que le trajet d'expansion est une ligne droite partant de l'origine. Par conséquent, la propriété IV est établie. On peut noter que si nous mettons n = 1 dans les calculs ci-dessus, nous pourrions établir la propriété lorsque la fonction de production est linéairement homogène.

Notons ici que le chemin d’expansion de la firme et les lignes de crête sont par définition isoclines, et que l’équation d’un isocline en général est:

En outre, pour un isocline particulier, à savoir la ligne rigide supérieure et inférieure, les équations sont respectivement

Et pour les deux autres isoclines particulières, à savoir les lignes de crête supérieure et inférieure, les équations sont respectivement

Par conséquent, l'argument que nous avons avancé ci-dessus pour établir que la trajectoire d'expansion d'une fonction de production homogène (de n'importe quel degré) est une ligne droite peut également être appliqué pour indiquer que, dans le cadre d'une telle fonction de production, les isoclines, en général, et les lignes de crête, en particulier, sont toutes des lignes droites de l'origine.

Propriété V:

Si la fonction de production de l'entreprise est linéairement homogène, alors la connaissance de la position de l'un des isoquants nous permettrait d'obtenir la carte complète du QI de l'entreprise. Nous pouvons établir cette propriété à l'aide de la Fig. 8.25.

Dans cette figure, supposons que IQ 1 soit un isoquant d’une entreprise pour Q = Q 1 et que OE et OF soient deux rayons quelconques de l’origine. La courbe IQ 1 a rencontré ces rayons aux points A 1 et B 1 respectivement. Supposons que l'entreprise veuille avoir le QI pour Q = 2Q 1 . Ceci peut être réalisé de la manière suivante.

Si l'entreprise se déplace le long du rayon OE du point A1 à A2 de telle sorte que 02 = 2, 0A1, alors à A2 les deux quantités d'entrée seraient doublées par rapport à A1, et donc si la production fonction étant homogène de degré un, la quantité de production de l'entreprise serait également doublée. Autrement dit, si à A 1, la sortie est Q 1, alors à A 2, la sortie serait 2Q 1 .

De même, si le long du rayon OF, nous avons OB 2 = 2. OB 1, la sortie de Q 1 en B 1 serait alors doublée et deviendrait 2Q 1 au point B 2 . Maintenant, la courbe passant par les points B 1, B 2, etc. situés sur les différents rayons serait le QI requis pour Q = 2Q 1 .

De la même manière, si l'entreprise veut avoir le QI pour Q = 3Qi, elle devra passer aux points A 3, B 3, etc. le long des rayons tels que OE et OF, etc. de telle sorte que OA 3 = 3. OA 1, OB 3 = 3. OB 1 et ainsi de suite. En conséquence, les quantités d'entrée et la quantité de sortie augmenteraient également du facteur 3. Par conséquent, la courbe passant par les points A3, B3, etc. serait le QI requis pour Q = 3Q1.

Par conséquent, si la fonction de production est linéairement homogène et que l’entreprise connaît l’un de ses QI pour Q = Q 1 (par exemple), elle pourra alors obtenir le QI pour Q = tQ 1 où t est un nombre réel positif. . Par conséquent, la propriété V est établie.

 

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