Calcul de différenciation: concept et règles de différenciation | Technique d'optimisation

Les techniques d'optimisation constituent un ensemble important d'outils nécessaires à la gestion efficace des ressources de l'entreprise.

Dans ce qui suit, nous allons nous concentrer sur l’utilisation du calcul différentiel pour résoudre certains types de problèmes d’optimisation.

Calcul différentiel: le concept d'un dérivé :

En expliquant la pente d'une courbe non linéaire continue et lisse lorsqu'un changement de la variable indépendante, c'est-à-dire que AX devient plus petit et s'approche de zéro, ∆Y / ∆X devient une meilleure approximation de la pente de la fonction, Y = f (X ), à un moment donné. Ainsi, si ∆X est infiniment petit, ∆Y / X mesure la pente de la fonction en un point particulier et est appelée la dérivée de la fonction par rapport à X. La dérivée dY / dX ou plus précisément la dérivée première d'un la fonction est définie comme la limite du rapport Y / X lorsque ∆X approche de zéro. Ainsi

dY / dX = limite ∆X → 0 ∆Y / ∆X

Il est donc évident que la dérivée d'une fonction montre le changement de valeur de la variable dépendante lorsque le changement de la variable indépendante (X) devient infiniment petit. Notez que la dérivée d'une fonction [Y = f (X)] est également écrite sous la forme d (fX) / dX. Ou f '(X).

Comme expliqué ci-dessus, la dérivée d'une fonction en un point mesure la pente de la tangente en ce point. Considérons la figure 5.6 lorsque ∆X = X 3 - X 1, la pente de la droite AB correspondante est égale à Y 3 -Y 1 / X 3 -X 1 devient plus petite et est égale à X 2 -X 1, pente de celle la ligne correspondante AC est égale à Y 2 -Y 1 / X 2 -X 1 .

La figure 5.6 montre que la pente de la ligne AC est plus proche de la pente de la tangente tt dessinée au point A de la courbe de fonction. De même, si on réduit encore davantage X, la pente de la ligne droite entre les deux points correspondants continuera à se rapprocher de plus en plus de la pente de la tangente tt dessinée au point A de la courbe. À la limite de ∆Y / ∆X lorsque ∆X s'approche de zéro, la pente de la tangente telle que tt en un point d'une fonction devient la dérivée dY / dX de la fonction par rapport à X.

Ainsi, la dérivée dY / dX est la pente d'une fonction, qu'elle soit linéaire ou non linéaire, et représente un changement dans la variable dépendante en raison d'un faible changement dans la variable indépendante. Le concept de dérivé est largement utilisé dans les domaines de l’économie et de la gestion, en particulier pour résoudre les problèmes d’optimisation, tels que la maximisation des bénéfices, la minimisation des coûts, la maximisation de la production et des revenus. Il existe différents types de fonctions et pour celles-ci, différentes règles permettent de rechercher les dérivées. Nous expliquerons ci-dessous les règles de base pour trouver des dérivés des différents types de fonctions.

Règles de différenciation:

Le processus de recherche de la dérivée d’une fonction s’appelle différenciation. Comme indiqué ci-dessus, la dérivée d'une fonction représente la modification de la variable dépendante due à une modification infiniment petite de la variable indépendante et est écrite sous la forme dY / dX pour une fonction Y = f (X). Une série de règles ont été dérivées pour différencier divers types de fonctions. Nous décrivons ci-dessous ces règles de différenciation.

Dérivée d'une fonction constante:

Une fonction constante est exprimée par

Y = f (X) = a

Où 'a' est constant. La constante 'a' implique que Y ne varie pas comme X varie, c'est-à-dire. Y est indépendant de X. Par conséquent, la dérivée d'une fonction constante est égale à zéro. Ainsi, dans cette fonction constante

dy / dx = 0

Par exemple, supposons que la fonction constante soit Y = 2, 5

Ceci est représenté graphiquement à la figure 5.7 (a). Nous verrons qu'une fonction constante est une droite horizontale (ayant une pente nulle) qui montre que quelle que soit la valeur de la variable X, la valeur de Y ne change pas du tout. Par conséquent, la dérivée dY / dX = 0.

Dérivée d'une fonction de puissance:

Une fonction de puissance prend la forme suivante:

Y = aXb

Où a et b sont des constantes. Ici, a est le coefficient du terme X et la variable X est élevée à la puissance b. La dérivée de cette fonction de puissance est égale à la puissance b multipliée par le coefficient a fois la variable X élevée à la puissance b - 1. Ainsi la règle pour la dérivée de la fonction de puissance (Y = a Xb) est

dY / dX = ba Xb-

Prenons quelques exemples pour déterminer la dérivée d’une fonction de pouvoir.

Tout d'abord, prenons la fonction d'alimentation suivante:

Y = 1, 5 X

Dans cette fonction, 1, 5 est le coefficient de la variable X, c'est-à-dire a et la puissance b de X est 1 (implicite). En utilisant la règle ci-dessus pour la dérivée d'une fonction de puissance, nous avons

dY / dX = 1 X 1, 5 X1-1 = 1 X 1, 5 X 0 = 1, 5 X0 = 1, 5

Ceci est représenté graphiquement à la figure 5.7 (b). On voit sur cette figure que la pente de la fonction linéaire (Y = 1, 5 X) est constante et égale à 1, 5 sur n’importe quelle plage de valeurs des variables X.

Fonction de puissance quadratique:

Prenons l'exemple suivant d'une fonction de puissance de type quadratique:

Y = X2

Sa dérivée, dy / dx = 2X2-1 = 2X1 = 2X

Pour l'illustrer, nous avons calculé les valeurs de Y, associées à différentes valeurs de X, telles que 1, 2, 2, 5 et -1, -2, -2, 5 et présentées dans le tableau 5.3.

Nous avons tracé les valeurs de X et les valeurs correspondantes de Y pour obtenir une courbe parabolique en forme de U dans la figure 5.8. On verra que la dérivée dY / dX ou, en d'autres termes, la pente de cette fonction quadratique évolue à différentes valeurs de X.

Voici d'autres exemples de fonction de puissance et de leurs dérivés:

Il convient de noter que toute variable élevée à la puissance zéro (comme dans notre exemple X0) est égale à

Pour la fonction de puissance,

Y = 3X-2

dY / dX = -2 x 3.X-2-1 = -6X-3

Dérivée d'une somme ou d'une différence de deux fonctions :

La dérivée d'une somme des deux fonctions est égale à la somme des dérivées obtenues séparément des deux fonctions.

Dérivée d'un produit des deux fonctions :

Supposons que Vis soit le produit des deux fonctions distinctes f (X) et g (X).

Y = f (X). g (X)

La dérivée du produit de ces deux fonctions est égale à la première fonction multipliée par la dérivée de la deuxième fonction plus la deuxième fonction multipliée par la dérivée de la première fonction. Ainsi,

Dérivée du quotient des deux fonctions:

Supposons que la variable 7 soit égale au quotient des deux fonctions f (X) et g (X). C'est,

Y = f (X) / g (X)

Dérivée de la fonction d'une fonction (règle en chaîne) :

Lorsqu'une variable Y est fonction d'une variable U qui est liée à une autre variable X, et si nous souhaitons obtenir une dérivée de Y par rapport à X, nous utilisons la règle de la chaîne à cette fin. Supposons que la variable Vis soit fonction de la variable U, c'est-à-dire que Y = f (U) et que la variable U soit fonction de la variable X, c'est-à-dire que U = g (X). Ensuite, pour obtenir la dérivée de Y par rapport à X, c’est-à-dire dY / dX, on trouve d’abord la dérivée des deux fonctions, Y = f (U) et U = g (X) séparément, puis on les multiplie ensemble. Ainsi,

Ainsi, selon la règle de la chaîne si Y = f (U) et U = g (X), on peut obtenir une dérivée de Y par rapport à X en multipliant ensemble la dérivée de Y par rapport à U et la dérivée de U par par rapport à X

Prenons quelques exemples pour illustrer cette règle de la chaîne

Supposons que Y = U3 + 15 et a = 3X2

 

Laissez Vos Commentaires