Fonctions de production homothétiques d'une entreprise

La large classe de fonctions croissantes monotones de fonctions de production homogènes, qui comprend également les fonctions homogènes sous-jacentes, est appelée homothétique. Si la fonction de production est homogène (à n'importe quel degré), les isoclines de l'entreprise, y compris son chemin d'expansion à long terme, seraient des lignes droites depuis l'origine.

La fonction de production homothétique a les mêmes isoquants que ceux de sa fonction homogène sous-jacente, bien que, généralement, avec des indices de quantité différents.

C'est pourquoi la trajectoire d'expansion de l'entreprise et ses isoclines sont des lignes droites depuis l'origine également pour une fonction de production homothétique, et le long de cette ligne droite avec un ratio fixe des entrées, le MRTS de l'entreprise pour L pour K ou le ratio de MP L à MP K serait constant.

En effet, pour la fonction homogène sous-jacente, ainsi que pour les transformations monotones de cette fonction, le MRTS est fonction du rapport des quantités en entrée. En d'autres termes, le rapport entre MP L et MP K ne dépendrait pas de quantités d'entrée absolues, mais relatives.

Par conséquent, dans la Fig. 8.26, la fonction de production homothétique nous donnerait

Pente du QI 1 en A 1 = pente du IQ 2 en A 2 et

Pente du QI 1 en B 1 = pente du IQ 2 en B 2 .

où A 1, A 2 et B 1, B 2 sont des points sur deux rayons différents à partir de l'origine. En d’autres termes, la pente des QI le long d’une ligne droite depuis l’origine serait une constante. Maintenant, si les pentes des QI sont égales le long d'un rayon, alors, à n'importe quel point de l'espace d'entrée, MP L / MP K ne doit pas changer avec un changement proportionnel de L et K.

Vu du côté des intrants, le rapport des prix des entrées étant constant, les lignes iso-coûts (ICL) pour différents niveaux de coûts sont parallèles. Par conséquent, aux points de tangence entre les ICL et les QI, la pente des QI ou du MRTS ou du MP L / MP K serait une constante, étant égale à la pente des ICL.

Cela implique que si la fonction de production doit être homothétique, le rapport des quantités entrantes serait une constante aux points de tangence, c'est-à-dire que les points de tangence se situent sur un rayon de l'origine. En d'autres termes, l'homothéticité nécessite que le chemin d'expansion de l'entreprise coïncide avec un tel rayon.

Une fonction de production homogène est également homothétique - il s’agit plutôt d’un cas particulier des fonctions de production homothétiques. Dans la Fig. 8.26, la fonction de production est homogène si, en plus, nous avons f (tL, tK) = tnQ où t est un nombre réel positif et n le degré d'homogénéité.

Il résulte de ce qui précède que toute fonction homogène est une fonction homothétique, mais que toute fonction homothétique n'est pas une fonction homogène. Par exemple, Q = f (L, K) = a - (1 / LαK) est une fonction homothétique car il nous donne f L / f K = αK / L = constant. Mais ce n'est pas une fonction homogène car elle ne nous donne pas f (tL, tK) = tnQ.

 

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