La demande hicksienne Fonction: Avec diagramme | Utilitaire | Microéconomie

Les mesures d'aide sociale hicksiennes peuvent être utilisées pour évaluer tout changement d'état, à condition que l'utilité indirecte de l'agent pour le revenu soit bien définie avant et après le changement. L'ensemble des vecteurs de marchandises optimaux dans l'EMP est noté h (p, u) RL + . Il est connu sous le nom de demande hicksienne ou compensée correspondant ou fonction s’il s’agit d’une valeur unique. La figure montre l'ensemble de solutions h (p, u) pour deux vecteurs de prix différents, p et p '.

Les propriétés de base de la fonction de demande hicksienne sont expliquées comme suit:

Supposons que u (.) Est une fonction d'utilité continue représentant une relation de préférence localement non satisfaite ≥ définie sur l'ensemble de consommation X = RL + . Alors pour tout p »0, la correspondance de demande hicksienne h (p, u) possède les deux propriétés suivantes. L'homogénéité du degré zéro chez P est la suivante, car c'est le vecteur optimal. La réduction de px est soumise à u (x) ≥ u. C'est la même chose que pour minimiser ∝px. Elle est soumise à cette contrainte pour tout scalaire> 0.

Nous allons expliquer les propriétés et la preuve dans le paragraphe suivant:

Propriété 1:

Pas d'utilité excessive pour tout x ϵ h (p, u), u (x) = u

Preuve:

Cette propriété découle de la continuité de u (.). Supposons qu'il existe un xϵh (p, u), tel que u (x)> u.

Si nous considérons un paquet x '= ϵ x, où ∝ϵ (0, 1). Par continuité pour enough assez proche de 1.u (x ') ≥ u et p.x' <p.x1 contradictoire x étant optimal dans l'EMP avec le niveau d'utilité requis u.

Propriété 2:

Convexité / Unicité:

Si ≥ est strictement convexe, alors u (.) Est strictement quasi-concave. Ensuite, il y a un élément unique dans h (P, u).

S'il existe une fonction d'utilité u (x 1, x 2 ) = ∝ In x 1 + (1-∝) lnx 2 . Puis en substituant x 1 (p, w) et x 2 (p, w) dans u (x) nous avons,

En tant que UMP, lorsque u (.) Est différent, la consommation optimale dans l’EMP peut être caractérisée par une condition de premier ordre. La condition de premier ordre est très similaire à celle de l’UMP.

Proposition 1:

Si nous supposons que u (.) Est différentiable et que cela montre que la condition de premier ordre pour l’EMP est la suivante:

Et

Pour certains λ ≥ 0, comparez ceci avec les conditions de premier ordre pour l'UMP.

En utilisant la proposition ci-dessus, nous pouvons relier les correspondances à la demande hicksienne et walrasienne comme suit:

La première de ces relations explique l'utilisation du terme correspondance de demande compensée pour décrire h (p, u). Supposons que si le prix change, h (p, u) donne le niveau de la demande qui se produirait si la richesse du consommateur était simultanément ajustée pour maintenir son niveau d'utilité à u. Le gouvernement aide les consommateurs par le biais de produits subventionnés. En Inde, cela se fait par le biais du système de distribution publique. Ce type de compensation de richesse au consommateur est décrit dans le diagramme ci-dessus. Il est connu sous le nom de compensation de richesse hicksienne.

Le diagramme ci-dessus montre que la situation initiale des consommateurs est le couple richesse / prix (p, w); les prix changent alors en p ', où p ' 1 = p 1 et p ' 2 > p 2 .

La compensation de richesse hicksienne est définie comme suit:

Par conséquent, la fonction de demande h (p, u) maintient le niveau d'utilité du consommateur fixé lorsque les prix changent. En contrat avec la fonction de demande walrasienne, il maintient la richesse de l’argent fixe mais permet à l’utilité de varier.

Comme pour les fonctions de valeur EMP et UMP, les relations nous permettent de développer un lien étroit entre les propriétés de la correspondance de demande hicksienne h (p, u) et la correspondance de demande walrasienne x (p, w).

Demande hicksienne et loi de la demande compensée :

La propriété de la demande hicksienne est qu’elle satisfait à la loi de la demande compensée. Le prix et la demande de matières premières évoluent dans des directions opposées. Le changement de prix est accompagné d'une compensation de richesse hicksienne.

Proposition1:

Si u (.) Est une fonction d'utilité continue représentant une relation de préférence non satisfaite localement ≥ et que h (p, u) est constitué d'un seul élément pour tout p »0.

La fonction de demande hicksienne h (p, u) satisfait alors la loi de la demande compensée:

Pour tout p 'et p ”,

Preuve:

Pour tout pk ”o, le groupe de consommation h (p, u) est optimal dans le PEM et réalise donc une dépense à des prix inférieurs à ceux de tout autre groupe offrant un niveau d'utilité d'au moins u.

Donc:

et

En soustrayant ces deux inégalités, on obtient les résultats.

Fonctions de demande et de dépense hicksiennes pour la fonction utilitaire Cobb-Douglas :

Si nous supposons que le consommateur a la fonction d’utilité Cobb-Douglas sur les deux produits. C'est-à-dire u (x 1, x 2 ) = x 1 axe 1 1-a. En dérivant les conditions de premier ordre pour l'EMP et en substituant les contraintes u (h 1 (p, u), h 2 (p, u) = u, nous obtenons les fonctions de demande hicksiennes.

Et

Si on le calcule comme suit:

E (p, u) = ph (p, u) donne l'équation suivante

La fonction ci-dessus correspond aux fonctions de demande et de dépenses hicksiennes de la fonction d'utilitaire Cobb-Douglas.

 

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