Term Paper sur la fonction utilitaire | Consommateur | Microéconomie

Voici un article sur la «fonction d’utilité» pour les classes 9, 10, 11 et 12. Trouvez des paragraphes, des articles à court et à long terme sur la «fonction d’utilité» spécialement conçus pour les étudiants et les étudiants.

Papier à terme sur fonction utilitaire


Contenu du papier à terme:

  1. Term Term Paper sur la fonction Introduction to Utility
  2. Term Term sur la commande lexicographique
  3. Term Term Paper sur la fonction de demande
  4. Term Paper sur la fonction utilitaire indirect
  5. Document de travail sur la fonction de dépense
  6. Document de travail sur les mesures de l'aversion pour le risque


Term Paper # 1. Introduction à la fonction utilitaire:

En microéconomie, l'utilité du consommateur de consommer différents produits peut être mesurée. Supposons que la fonction d'utilité u (x) attribue une valeur numérique à chaque élément de x, puis que le classement des éléments de x soit marqué conformément aux préférences de l'individu. Ensuite, une fonction u: X → R est une fonction utilitaire. Il représente la relation de préférence »si pour tout x, y ϵ x, x ≥ y ↔ u (x) ≥ u (y) pour toute fonction croissante stricte f: R → R et U (x) = f (u (x) ) est une nouvelle fonction d’utilité.

Il représente les mêmes préférences que u (.). Seul le classement importe des choix alternatifs. Après tout, ce sont les préférences du consommateur et certains numéros lui sont attribués. Nous pouvons le mesurer avec différents exemples. La fonction d’utilité ordinale est appelée propriétés de la fonction d’utilité. Elles sont constantes pour toute relation de préférence de transformation strictement croissante et elle est associée à une fonction d’utilité. C'est une propriété ordinale de la fonction d'utilité.

Propriété 1:

La relation de préférence du consommateur ≥ ne peut être représentée par une fonction d’utilité que si elle est rationnelle.

Solution:

Supposons qu'une fonction utilitaire représentant les préférences du consommateur ≥ alors ≥ doit être complète et transitive.

Il est expliqué à l'aide de propriétés comme suit:

1. Complète:

Supposons que l'utilitaire {u (.)} Soit une fonction réelle définie par x, alors il faut que pour tout x, y ϵ x soit u (x) ≥ u (y) ou u (y) ≥ u (x). Mais u (.) Est une fonction d’utilité qui représente ≥, cela implique que x ≥ y ou que y ≥ x. Ici, ≥ doit être complet.

2. Transitivité:

Supposons que x ≥ y et y ≥ z car u (.) Représente ≥. Nous devons avoir u (x) ≥ u (y) et u (y) ≥ u (z). Par conséquent, u (x) ≥ u (z). En effet, u (.) Représente ≥ et cela implique x ≥ z. On montre que x ≥ y et y ≥ z impliquent x ≥ z de cette façon la transitivité est établie. Nous l'avons déjà expliqué dans le paragraphe ci-dessus. Les deux propriétés ci-dessus sont également expliquées avec la règle de choix du consommateur.

Règle de choix du consommateur:

Les préférences pour les produits de base ne sont que les choix faits par le consommateur. Le consommateur a plusieurs choix dans sa vie quotidienne. Les choix pour des produits particuliers sont parfaits et ils sont faits après un exercice mental ou psychologique. Tout en choisissant ses préférences, le consommateur est prêt à choisir différents produits en fonction de ses habitudes et de sa ressemblance. En d'autres termes, la préférence est un choix ou une décision prise par le consommateur. Le consommateur est souvent confronté à un compromis entre l’achat de petites quantités de produits de haute qualité et coûteux et de grandes quantités de produits de qualité inférieure et donc moins chers.

Dans le modèle le plus simple, une séquence de personnes, chacune à son tour, choisit l'une des deux options, A ou B, chaque personne observant le choix de ses prédécesseurs. Ils ont des préférences communes sur les deux choix mais ne savent pas lequel est le meilleur. Au contraire, ils reçoivent des signaux binaires privés indépendants et tout aussi puissants sur le bon choix. Dans ce cadre, les agents rationnels se rassemblent. Une fois que le modèle de signaux conduit à deux choix supplémentaires d'une action par rapport à l'autre, toutes les personnes suivantes ignorent leurs signaux et prennent la même action.

Le comportement de choix est un ensemble de structures de choix et chaque ensemble a deux types. Premièrement, S est une famille de sous-ensembles non vides de x. Chaque élément de s est un ensemble $ ϵx. L'élément $ ϵs est un ensemble de budgets. L'ensemble s est une liste de tous les choix disponibles pour le consommateur. Il comprend tous les sous-ensembles de x. Deuxièmement, c est une règle de choix qui assigne un ensemble non vide d’éléments choisis c (h, i). Pour chaque ensemble de budget, il est écrit sous forme de $. Lorsque c ($) contient un seul élément de c ($), il s’agit des alternatives de $. Le consommateur peut choisir de telles alternatives. Ils sont ses alternatives acceptables. Le consommateur est confronté à plusieurs reprises au problème de choisir une alternative à partir de set $.


Term Paper # 2. Commande lexicographique:

L'ordre lexicographique est connu sous le nom d'ordre lexical. C'est un concept mathématique qui soutient l'hypothèse de continuité. Cela fonctionne avec une représentation numérique de l'ordre de préférence des consommateurs. Parfois, les chiffres ne sont pas vrais car ils correspondent à un ordre spécifique et ils changent de temps en temps. La commande lexicographique suppose la maximisation et la fonction de l'utilitaire simple. Il satisfait les quatre hypothèses de classement lexicographique - continuité, transitivité, réflexivité et non-satiété. Ces hypothèses sont importantes pour renforcer la fonction de demande.

Une telle fonction de demande ne nécessite pas l'hypothèse de continuité. Si un consommateur commande deux produits et que les deux produits lui sont nécessaires, il les consomme en proportion particulière. Les deux produits sont classés de manière ou sous une forme différente. La consommation des deux produits ajoutera à une fonction d'utilité.

On peut montrer qu'il satisfait aux quatre premières hypothèses qui sont:

1. Complétude

2. la transitivité,

3. la réflexivité et

4. non-satiété.

On peut montrer qu'il donne lieu à une fonction de demande bien définie, ce qui implique que l'hypothèse de continuité n'est pas nécessaire à leur existence.

Théorème :

Supposons que nous supposons qu'il y a deux produits et qu'ils sont commandés par le consommateur parce qu'il / elle aime ces produits.

La commande peut se faire sous la forme suivante:

Dans le modèle, le consommateur préfère un paquet avec plus de premiers biens dans le panier de consommation. Le consommateur est indépendant de la quantité de deuxième marchandise. Parfois, le paquet du consommateur contient la même quantité de premier et de second produit. Mais la quantité de la deuxième marchandise compte pour le consommateur. Mais la présence des deux produits dépend des habitudes de consommation et des préférences du consommateur. Nous pouvons prendre l'exemple d'un homme ivre.

Il a besoin de vin et de pain dans le panier de consommation. Il préfère plus de vin dans son paquet, mais en même temps, le pain est également important pour lui. C'est son choix d'avoir les différentes combinaisons de vin et de pain. Un ivrogne préférerait plus de vin et moins de pain dans son fagot de consommation. Parfois, il s'assure de la même quantité de pain et de vin. C'est ce qu'on appelle la commande lexicographique.

Si nous considérons un paquet de consommation x '(x' 1, x ” 2 ) avec du vin et du pain, tous les points de B sont préférés au vin. L'autre quantité est préférée du pain. Trois figures présentent différentes combinaisons de pain et de vin. La première figure montre la proportion égale de vin et de pain dans le panier de consommation. Le deuxième diagramme montre moins de vin et plus de pain est préféré. Le troisième diagramme montre que plus de vin et moins de pain sont préférés. C'est une préférence individuelle et il est difficile de mesurer de tels choix. Ce sont les préférences d'un homme ou d'une femme ivrogne. Une telle commande est difficile à étudier tout le temps.

La critique :

Supposons que le buveur choisisse le vin de façon arbitraire, les autres points de la forme ne concernent que le pain, mais la commande lexicographique est critiquée. Premièrement, cela ne satisfait pas l’hypothèse de continuité. Pour l'hypothèse de continuité, les points doivent avoir une courbe continue. Mais la figure 2.2 montre l'ensemble d'indifférence qui sont les points supposés et il ne s'agit pas d'une courbe continue. La courbe d'indifférence suppose que les deux produits sont indifférents.

Supposons que nous réduisions la petite quantité de vin dans le paquet pour remplacer le pain, puis nous constatons qu'aucune quantité de pain ne peut être remplacée pour le vin. Il n'y a donc pas de continuité dans la commande lexicographique. Il est bien connu de tous que les ivrognes préfèrent plus le vin que le pain. Deuxièmement, il n’est pas possible de représenter l’utilisation de la fonction d’utilité par un ordre lexicographique.

Si nous divisons la ligne réelle en intervalles bornés disjoints non vides, l'ensemble de ces intervalles n'est pas dénombrable. La moitié positive de la ligne réelle est dénombrable et doit être fausse. Il est difficile de collecter des données de classement lexicographique. De même, les choix inter et intra individuels se différencient tous les jours.


Term Paper # 3. Fonction de demande :

D'après l'ordre lexicographique, on peut supposer que l'homme / la femme ivrogne a un revenu M. Supposons qu'il fasse face à un prix p 1 pour une bouteille de vin et à un prix p 2 par pain, alors il / elle est libre de dépenser la totalité de son revenu pour le vin.

Par conséquent, la fonction de demande peut être écrite comme suit:

Ici, X 2 = 0 car l'ivrogne ne dépense pas son revenu en pain. La demande pour l'homme / femme ivre n'est qu'une hyperbole rectangulaire (x 1, p 1 ). La fonction de demande pour le pain (x 2, p 2 ) est un espace sur l'axe vertical.

Existence d'une fonction d'utilité :

La commande lexicographique satisfait la complétude, la réflexivité, la transitivité et la nouvelle satiété. Mais la commande lexicographique ne satisfait pas la demande de biens. Il ne donne que la préférence de deux produits. L’hypothèse de continuité garantit qu’une fonction d’utilité croissante continue à représenter l’ordre des préférences.

La figure 2.3 montre que la courbe d'indifférence est continue. Il existe deux produits x 2 et x 1 qui sont représentés sur les axes x et y. Le point d'équilibre E se croise à 45 °. Tout point de la courbe d'indifférence (x0) est associé au nombre réel u (x0). Dans le diagramme, E est un point auquel la courbe d'indifférence x0 coupe la ligne à 45 °. Les valeurs utilitaires (u) sur l'axe sont une fonction utilitaire pour le consommateur. Les ensembles d'indifférence ont les mêmes valeurs d'utilité, mais les ensembles préférés les plus élevés ont des valeurs d'utilité plus élevées.

Dans la figure 2.3, il existe une fonction d’utilité qui est u (x '). Dans un paquet donné x0 = (x0 1 ……. .X0 n ), le consommateur choisit X0 et X̅0. Nous avons supposé que deux produits sont indifférents. Cela signifie X̅0 = X0. Une telle hypothèse vérifie la continuité, la transitivité, etc. Nous avons également supposé que u (x0) = X̅0 égal à u (X0) = X̅0.

Ces points sont indiqués comme suit:

L'hypothèse de transitivité et de non-saturation montre que x valeurs pour 1 .x> x0 sont strictement supérieures au sous-intervalle complémentaire pour lequel x0> 1 .x. L'intervalle de règle formel a une limite inférieure au niveau inférieur. Le dernier intervalle de règle a une limite inférieure. Ces limites doivent être les mêmes.

Théorème d'utilité :

Le u (x) construit pour deux paquets x0, x1 satisfait à la définition d'une fonction d'utilité.

La fonction ci-dessus peut être prouvée de deux manières:

Afin de prouver la proposition ci-dessus, nous devons supposer que u (x0) ≥ x1 mais x1> x0, puis 1.u (x0) ≥ 1 .u (x1). Par hypothèse de transitivité, il indique 1.u (x1) x1> x0 ~ 1.u (x0). La non-satiété donne la contradiction qui est U (x1)> u (x0).

Supposons que x0 ≥ x1 mais u (x1)> u (x0) puis 1.u (x1)> 1.u (x0). En appliquant la règle de chaîne, x1∼ 1.u (x1)> 1.u (x0) donne la contradiction. Le u (x) est une fonction continue. Afin de prouver le u (x), il est commode de prendre la propriété de la fonction continue. Une fonction u (x), X ϵ Rn + est un continu avec Rn + . Ce n'est que si pour chaque paire de sous-ensembles de valeurs de fonctions u 1 et u 2 . Les u 1 et u 2 sont séparés, puis u-1 (u 1 ) et u-1 (u 2 ) sont également séparés. Supposons que les deux ensembles soient séparés, alors aucun point d’un ensemble n’est un point limite de l’autre. Les u 1 et u 2 sont séparés dans ce cas. Ces sous-ensembles sont situés de part et d'autre de (x0).

Ils sont séparés et ce n'est pas leur appartenir. Depuis x0, u et u̅ étaient arbitraires et la fonction u (x) est continue.


Term Paper # 4. Fonction utilitaire indirecte:

Il existe une fonction d’utilité directe et indirecte pour le consommateur. La fonction d’utilité directe (DUF) est une fonction dont les arguments sont les quantités consommées de biens différents et deux de ses propriétés de base sont la monotonie (croissante) et la quasi-concavité. Une fonction d’utilité indirecte (UITA) est une fonction dont les arguments sont les prix normalisés des biens. Les propriétés correspondantes sont la monotonicité et la quasi-convexité (décroissantes).

Pour les deux types de fonctions, les courbes d'indifférence (c'est-à-dire les contours) sont convexes à l'origine. Ces observations bien connues suggèrent une méthode simple pour obtenir une fonction d’utilité d’une autre, inverser le signe. Inverser le signe d'un DUF qui satisfait les axiomes de base de la théorie du consommateur donne lieu à une UITA qui satisfait également les axiomes de base, et inversement. Nous appellerons une telle paire de fonctions «paire de miroirs».

La théorie microéconomique explique que chaque consommateur maximise son utilité en fonction du prix et du revenu. Celles-ci sont définies par une fonction d'utilité indirecte qui résume les préférences des consommateurs et les technologies. Les hypothèses de faible concavité de la fonction d’utilité indirecte permettent de prouver la différentiabilité des solutions optimales et la stabilité de l’état stable. Cette étude montre que si la fonction de production du bien de consommation est concave⎯ γ et la fonction d’utilité instantanée concave conc ρ, la fonction d’utilité indirecte est faiblement concave et ses coefficients de courbure sont liés d’en haut par une fonction de γ et ρ.

Nous considérerons ces notations dans le paragraphe suivant:

Le groupe de maximisation d’utilité peut être écrit sous la forme x (p, y). Le niveau de maximisation de l'utilité est choisi au plus haut niveau par les contraintes budgétaires du consommateur. Il fait face au prix p et au revenu y. Pour un groupe d'individus, le prix et le revenu donnent différentes contraintes budgétaires. De telles combinaisons donnent aux consommateurs la combinaison différente de courbes d'indifférence. La fonction de valeur réelle montre la relation entre le prix, le revenu et la valeur maximale d’utilité.

Il peut être résumé par une fonction réelle valorisée comme:

La fonction ci-dessus est appelée fonction d’utilité indirecte. Lorsque u (x) est continu, u (x, y) est bien défini pour tout p »0 et y ≥ 0. Cela est dû au fait qu’il existe une solution au problème de maximisation. Le consommateur atteint son niveau de satisfaction maximum en fonction du prix (p) et du revenu (y). C'est vrai pour tous les consommateurs. Il est en outre écrit comme

Le u (p, y) donne le niveau d’utilité de la courbe d’indifférence la plus élevée. Cette fonction d’utilité est illustrée dans le diagramme. Le consommateur peut atteindre la courbe d'indifférence la plus élevée avec des prix donnés p et un revenu y. Le prix p et y est suffisant pour garantir que u (p, y) sera continu dans p et y sur R ” ++ * R + + . La continuité de u (p, y) suit des prix positifs. Un petit changement dans l'un des paramètres (p, y) détermine l'emplacement de la contrainte budgétaire. Cela n'entraînera que de petits changements dans le niveau maximal d'utilité que le consommateur peut atteindre.


Document de travail nº 5. Fonction de dépense:

La fonction de dépense suppose que les prix des produits sont fixes. Pour atteindre le niveau d'utilité, le consommateur doit effectuer certaines dépenses à un ensemble de prix donné. À des fins régulières, le consommateur découvre la variété de produits et de prix. La plupart des consommateurs ont un niveau de revenu fixe. Par conséquent, le consommateur décide combien dépenser pour différents produits et atteindre un niveau particulier d’utilité. Le diagramme montre que tous les paquets de x nécessitent le même niveau de dépenses. Le consommateur est confronté aux prix p = (p 1, p 2 ).

Les courbes d'iso-dépenses sont définies implicitement par e = p 1 x 1 + p 2 x 2 pour les différents niveaux de dépenses totales où e> 0. Il y aura donc la même pente —p 1 / p 2 . Mais différentes intersections horizontale et verticale interceptent respectivement e / p 1 et e / p 2 . La courbe d’aniso-dépense contient des paquets et coute plus cher. Le consommateur évolue à la hausse sur les lignes d'iso-dépenses. Si nous fixons le niveau d'utilité à u, alors la courbe d'indifférence u (x) = u. Il donne tous les paquets qui offrent le même niveau d’utilité au consommateur.

La courbe d'indifférence u indique le point e3. L'argent est insuffisant à ces prix pour atteindre une utilité maximale u. Dans le diagramme, chacune des courbes e1 et e * a au moins un point commun avec u. Ce point montre que le niveau des dépenses totales est suffisant pour que le consommateur ait une utilité u. Parfois, le consommateur effectue les dépenses minimales régulières sur divers produits pour atteindre un niveau d'utilité fixe. Ils savent également qu'ils ne peuvent pas dépenser davantage pour l'achat régulier de ces produits.

La fonction de dépense explique seulement que le consommateur a besoin du minimum de dépense pour être utile u. C'est sous forme d'achat de divers biens et services. C'est la courbe de dépense la plus basse possible qui a encore au moins un point en commun avec la courbe d'indifférence u. Le niveau de e * est le groupe le moins coûteux. Il atteint l'utilité à des prix p. nous pouvons l'appeler comme point d'équilibre. Ce sera le paquet xh = (xh 1 (p, u) .xh 2 (p, u)). La dépense minimale u est nécessaire pour atteindre l’utilité u aux prix p par e (p, u). Cela signifie que l'utilité minimale attendue est fonction du niveau de prix. Le niveau de dépense est égal au coût des paquets xh. Il peut être représenté en termes d'équation par e (p, u) = p 1 xh 1 (pu) p2x h 2 (p, u) = e *

La fonction de dépense est la fonction de valeur minimale. C'est comme suit:

Le niveau de dépense le plus bas est requis pour atteindre le niveau d'utilité u.

Propriétés de la fonction de dépense:

Si u (.) Est continu et strictement croissant, e (p, u) est défini en sept propriétés.

Ils sont comme suit:

Propriété 1:

Zéro lorsque vous prenez le niveau d'utilité le plus bas dans u:

La valeur la plus basse en utilité est u (0). C'est parce que u (.) Augmente strictement sur Rh + . En conséquence (p, u (o)) = 0 C'est parce que x = o atteint l'utilité u (o). Il nécessite une dépense de p 0 = 0

Propriété 2:

Continu sur son domaine Rn ++ * u:

Cette propriété découle du théorème du maximum.

Propriété 3: Pour tout p »0, strictement croissante et sans limite ci-dessus en u:

Troisième propriété montrée via l'hypothèse supplémentaire Xh (p, u) »0 qui différencie p» 0, u> u (0) et que u (.) Se différencie avec u (x) / ∂x> 0 i on . Nous avons supposé que le u (.) Est continu et strictement croissant. Le p »0 est la contrainte et il est contraignant. Pour u (x ')> u, il y a en (0, 1) ce qui est assez proche de 1. C'est u (tx1)> u. De plus, u ≥ u (0) implique u (x1)> u (0) de sorte que x1 ≠ 0.Par conséquent, p. (Tx1) <p.x1, car p.x1> 0 lorsque la contrainte n'est pas contraignante. Il y a un paquet strictement meilleur marché qui satisfait également la contrainte.

Si nous l'écrivons de manière différente alors:

La fonction lagrangienne est utilisée pour la fonction ci-dessus, elle s'écrit donc comme suit:

Maintenant pour p »et u> u (0), nous avons x * = xh (p, u) k” 0

Nous devons résoudre l'équation 33. Il y a un λ * comme suit:

Les p i et ∂u (x *) / x i sont positifs. En raison d'une hypothèse, le théorème de l'enveloppe peut être utilisé pour montrer que e (p, u) augmente strictement dans u. Selon le théorème de l'enveloppe, la dérivée partielle de la fonction de valeur minimale e (p, u) par rapport à u est égale à la dérivée partielle.

Il est lagrangien par rapport à u et évalué à (x *, λ *), d’où:

Supposons que nous tenons pour tout u> u (0) et que e (.) Est continu, nous pouvons en conclure que pour tout p »0, e (p, u) augmente strictement en u sur u (ce qui inclut u (0) ). Ce e est illimité dans u et on peut montrer que cela découle du fait que u (x). Il est continu et strictement croissant.

Propriété 4:

La fonction de dépense augmente dans p:

La preuve de la fonction ci-dessus est montrée dans la propriété 7.

La propriété 5:

Homogène de degré 1 en p:

La preuve de propriété est simple. La hausse du niveau des prix (p) et du revenu (y) est presque identique. Par conséquent, il est appelé homogène au premier degré.

Propriété 6:

Concave en p:

Supposons que p1 et p2 sont supposés être deux vecteurs de prix positifs. Soit tϵ (0, 1) et pt = tp + (1-t) p2 toute combinaison convexe de p1 et p2.

La fonction de dépense sera concave dans les prix si:

Nous allons maintenant nous concentrer sur ce que signifie réduire les dépenses à des prix donnés. Supposons que x1 particulier minimise les dépenses pour atteindre u lorsque les prix sont p1. De même, x2 minimise les dépenses à atteindre lorsque les prix sont p2. Par conséquent, x * est la dépense minimale à atteindre lorsque les prix sont p2. Le coût de x1 au processus p1 ne doit pas dépasser le coût aux prix p1 de tout autre groupe x réalisant l'utilité u. De même, le coût de x2 à des prix p2 ne doit pas dépasser le coût à p2 de tout autre groupe x, ce qui donne une utilité u si,

Et

Pour tous les x réalisant u, les relations doivent également être valables pour x *. C'est parce que x * réussit également.

Afin de maximiser les dépenses pour atteindre des prix donnés, nous savons que:

Et

Si t ≥ 0 et (1-t)> 0, on peut multiplier le premier par t, le second par (1-t) et les additionner. Si nous substituons alors de la définition de pt, nous obtenons,

Dans l'équation ci-dessus, le côté gauche est une combinaison convexe des niveaux minimum de dépenses. Il est nécessaire aux prix p1 et p2 d’atteindre l’utilité u. L'utilitaire doit être constant au changement de prix. Le côté droit est la dépense minimale nécessaire pour atteindre l'utilité à la combinaison convexe de ces prix.

L'équation (37) explique que:

Nous avons voulu montrer à partir des équations précédentes que cette fonction est concave dans p.

Propriété 7:

Lemme de berger:

e (p, u) est différentiable dans p en (p0, u0) avec p0 »0 et

Pour utiliser la propriété ci-dessus, nous pouvons utiliser le théorème de l'enveloppe. Mais maintenant nous le différencions en ce qui concerne pi. Cela nous donne l'équation suivante.

Il est requis parce que xh (p, u) ≥ 0. Il est également possible de prouver la propriété 4. Toutes les propriétés de la fonction de dépense sont d'égale importance et nous aident à comprendre la fonction de dépense en détail.

Problème de minimisation des dépenses:

Chaque consommateur essaie de minimiser ses dépenses totales pour augmenter son utilité. Parfois, le consommateur préfère les substituts pour réduire les dépenses. La plupart des substituts sont disponibles à un prix inférieur. Le problème de minimisation des dépenses (EMP) explique la fonction prix et utilité. Cela s’explique par p »0 et u> u (0).

Il y a des besoins illimités pour tous les consommateurs. Cela s'explique par le fait que le niveau minimum de richesse est requis pour atteindre l'utilité u. Parfois, il est utilisé comme seuil pour atteindre une utilité minimale de la richesse. Nous pouvons observer un tel seuil pour chaque famille. C'est une utilisation efficace du pouvoir d'achat de la famille tout en inversant les rôles de fonction objective et de contrainte.

Nous supposons que u (.) Est une fonction d’utilité continue. Il représente un localement non rassasié. Relation de préférence ≥ définie sur l'ensemble de consommation RL + . La figure 2.7 ci-dessus montre que le groupe de consommation optimale x * est le groupe le moins coûteux. Il permet toujours au consommateur d’atteindre le niveau d’utilité u. Le consommateur obtient le maximum de satisfaction avec le paquet de produits souhaité.

Le point de vue géométrique, c’est le point de l’ensemble {xԑRL + : u (x) ≥ u}. Il se situe sur la ligne budgétaire la plus basse possible associée au vecteur prix p. Il est représenté sur la figure par x * point. Si nous supposons que u (.) Est une fonction d'utilité continue représentant une relation de préférence localement non satisfaite ≥ définie sur l'ensemble de consommation x = RL + . Le vecteur de prix est P.

Donc:

1. Si x * est optimal dans le problème de maximisation de l'utilité lorsque la richesse est w> 0, alors x * est optimal dans l'EMP lorsque le niveau d'utilité requis est u (x *). Le niveau de dépense minimisé dans le PGE est exactement w. Parfois, le consommateur ne peut pas faire les dépenses qui dépassent sa fortune.

2. Supposons que x * soit optimal dans l'EMP lorsque le niveau d'utilité requis est u> u (0), alors x * est optimal dans l'UMP lorsque la richesse est définie à px *.

Le niveau d’utilité minimisé dans cet UMP est exactement u.

Si nous voulons prouver la proposition ci-dessus, elle peut être montrée comme suit:

(i) Supposons que x * n’est pas optimal dans un EMP avec le niveau d’utilité requis u (x *). Ensuite, il existe un x 'tel que

Par non-satiation locale, nous pouvons écrire que x ”est très proche de x '. Cela signifie également u (x ”)> u (x ') et px” <w.

La notation ci-dessus implique que x ”B pw et u (x”)> u (x *). Il contracte l'optimalité de x * dans l'UMP. Le x * doit être optimal dans l'EMP lorsque le niveau d'utilité requis est u (x *). Le niveau de dépense minimisé est px *. Le x * résout l'UMP quand la richesse est w. Dans la loi de Walra, nous avons px * = w.

(ii) Si u> u (0) et x * '”0; d'où px *> 0.

Si x * n’est pas optimal dans l’UMP lorsque la richesse est de px *. Il existe un x 'tel que u (x')> u (x *) et p.x '≤ px *. Si nous considérons le paquet x ”= ∝ x 'où ∝ϵ (0, 1). Here x "est une version réduite de x 'par la continuité de u (.), Si ∝ est suffisamment proche de 1, alors u (x")> u (x *) et px "<px * .La notation ci-dessus contredit l'optimalité de x * dans le PEM. Par conséquent, x * doit être optimal dans l’UMP lorsque la richesse est de px *.

Le niveau d’utilité maximisé est donc u (x *). Le niveau d’utilité requis est u, puis u (x *) = u. Selon le problème de maximisation d’utilité lorsque p »0. La solution à l’EMP existe sous des conditions générales. L'ensemble contraint doit être non vide. Cela signifie que u (.) Doit atteindre des valeurs au moins aussi grandes que u pour certains x. La condition sera satisfaite pour tout u> u (0) si u (.) N'est pas limité ci-dessus.


Term Paper # 6. Mesures de l'aversion pour le risque :

Nous donnons divers axiomes qui satisfont le comportement de choix du consommateur. Nous pouvons trouver une représentation d’utilité qui a la propriété d’utilité attendue. Le consommateur joue toujours et son comportement est d’avoir plus d’utilité que de prix. Par conséquent, nous devons faire une représentation particulière de sa fonction d'utilité pour de l'argent. Par exemple, pour calculer l'utilité attendue d'un pari par les consommateurs, nous avons utilisé la probabilité simple, p 0 x ⊕ (1-p) 0 y. Maintenant, nous pouvons le présenter en termes de fonction d’utilité sous la forme Pu (x) + (1-p) u (y).

Les consommateurs préfèrent obtenir la valeur attendue de la loterie. L'utilité de la loterie u (p 0 x) 0 y, nous le regardons simplement d'une autre manière comme pu (x) + (1-p) u (y).

Les consommateurs préfèrent obtenir la valeur attendue de la loterie. L'utilité de la loterie u (p 0 x ⊕ (1-p) 0 y) est inférieure à l'utilité de la valeur attendue de la loterie px + (1-p) y. Un tel comportement s'appelle l'aversion au risque du consommateur. Il existe deux types de consommateurs. Ils sont avides de risques et amoureux des risques. Supposons un consommateur qui aime le risque; il préfère alors une loterie à sa valeur attendue. Les préférences pour un tel consommateur sont différentes. Leurs jugements de valeur pour gagner différentes loteries sont différents. La concavité de la fonction d’utilité attendue est équivalente à l’aversion pour le risque.

Un agent peu enclin à prendre des risques décide de la répartition de son patrimoine total entre un investissement dans un actif à rendement stochastique (l'actif risqué) et un actif à rendement déterministe (l'actif sûr), de manière à maximiser l'utilité de rendement attendue. Si le rendement de l'actif risqué est inférieur à celui de l'actif sûr, l'agent concentrera tous ses investissements sur cet actif. D'autre part, si le rendement moyen de l'actif risqué est supérieur au rendement sûr, l'agent investit une fraction positive de son patrimoine dans l'actif risqué.

Il convient maintenant de mesurer l’aversion pour le risque dans le paragraphe suivant. Plus la fonction d’utilité attendue est concave, plus le consommateur peu enclin à prendre des risques. Le graphique de cette fonction d’utilité dans cette région doit être situé au-dessous de la fonction. Pour normaliser la dérivée seconde, nous devons la diviser par la première, nous obtenons une mesure raisonnable. C'est la mesure Arrow-Pratt de l'aversion au risque (absolue).

Un pari maintenant par une paire de nombres (x 1, x 2 ) où le consommateur obtient x 1 si un événement (E) se produit et x 2 si l'événement ne se produit pas (E). Nous définissons l'ensemble d'acceptation du consommateur composé des deux attentes. C'est une simple fonction de probabilité. Le consommateur joue ce pari ou c'est l'ensemble de tous les paris. Le consommateur accepterait à un niveau de richesse initial w. Nous supposons que le consommateur achète une loterie de sa fortune. Si le consommateur craint le risque, l'ensemble acceptable sera un ensemble convexe. La limite de cet ensemble et l'ensemble des paris indifférents peuvent être donnés par une fonction implicite x 2 (x 1 ).

Si le comportement du consommateur peut être décrit par la maximisation de l'utilité attendue, x 2 (x 1 ) doit alors satisfaire l'identité.

Il est représenté comme suit:

La pente du seuil d’acceptation est définie sur (0, 0). On peut le trouver en différenciant cette identité par rapport à X 1 et en évaluant cette dérivée à X 1 = 0.

Supposons que nous résolvions l'équation ci-dessus pour la pente de l'ensemble d'acceptation, puis que nous la trouvions comme suit:

La figure 2.10 montre que l’utilité attendue des loteries 0, 5u (x) + 0, 5u (y) est égale. Si nous le comparons avec u (0, 5x + 0, 5y), cette utilité est légèrement supérieure à la probabilité égale de x et de y.

L'utilité de x et y est différente. En termes de richesse, l’utilité de la loterie y est bien plus que celle de la loterie x. C'est le consommateur qui décide comment choisir les deux loteries.

Figure 2.11: Compromis entre les loteries et le consommateur La figure 2.11 montre que la pente de l'acceptation est fixée à (0, 0) et donne les cotes. En même temps, cela nous donne la bonne façon d’établir des probabilités. Nous devons rechercher les chances qu'un consommateur soit simplement prêt à accepter un petit compte pour l'événement en question. Nous pouvons le prouver avec l'aide de deux consommateurs et probabilités. Supposons qu'il y ait deux consommateurs avec des probabilités identiques sur l'événement E. nous pouvons en outre dire que le consommateur i est plus enclin à prendre des risques que le consommateur j.

Si l'ensemble d'acceptation du consommateur i est contenu dans l'ensemble acceptable du consommateur j, il s'agit d'une déclaration globale de l'aversion au risque. Cela signifie que le consommateur j acceptera tous les paris que ce consommateur acceptera. Supposons que si nous nous impliquons dans des paris, nous obtenons une mesure plus utile. Le consommateur i est localement moins enclin à prendre des risques que le consommateur j, alors le jeu d’acceptations de i est contenu dans le jeu d’acceptations de j situé au voisinage du point (0, 0).

En différenciant l'identité un de plus par rapport à x 1 et en évaluant la dérivée résultante à zéro, on trouve l'équation suivante:

On peut utiliser le fait que x ' 2 (0) = -p / (1-p), on a:

L'équation ci-dessus est une proportion de la mesure Arrow⎯Pratt. C'est l'aversion locale pour le risque qui est déjà définie dans le paragraphe ci-dessus. Un consommateur j prendra plus de risques avec les petits paris que l’agent i. Mais ce n’est possible que si «j’ai une mesure Arrow-Pratt plus grande de l’aversion pour le risque local. L'aversion au risque a de nombreuses applications. Consommateur réduit toujours le risque d'améliorer les gains économiques.


 

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