Formule d'équilibre du consommateur | Microéconomie

Dans cet article, nous discuterons de la formule de l'équilibre du consommateur à l'aide d'exemples appropriés.

Supposons que la fonction d'utilité du consommateur soit:

U = f (q 1, q 2 ) [éq. (6.1)]

Où U est le numéro d'utilité ordinale et q 1 et q 2 sont les quantités des deux produits Q 1 et Q 2 achetés par le consommateur. On suppose ici que les dérivées partielles de premier et second ordre de U wrt q 1 et q 2 existent.

Supposons également que la contrainte budgétaire du consommateur soit:

yo = p 1 q 1 + p 2 q 2 (6, 23)

où yo est le montant fixe du revenu que le consommateur dépense pour les biens Q 1 et Q 2, et p 1 et p 2 sont les prix donnés des deux biens. Il est prévu de dériver ici les conditions de l’équilibre de maximisation de l’utilité du consommateur soumis à sa contrainte budgétaire.

Pour cela, la fonction Lagrange suivante peut être formée:

V = f (q 1, q 2 ) + λ (yo - p1q1 - p 2 q 2 ) (6.24)

où λ est le multiplicateur de Lagrange indéterminé.

Condition de premier ordre pour la maximisation de l'utilité:

Dans (6.24), V est fonction de q 1, q 2 et λ et les conditions de premier ordre (FOC) de maximisation d’utilité contrainte seraient obtenues si les dérivées partielles de premier ordre de V wrt q 1, q 2 et λ étaient égales à à zéro.

Par conséquent, ces FOC sont:

Les équations (6.29) - (6.32) donnent les différentes formes de FOC pour la maximisation d’utilité contrainte. Les parties gauches (LHS) de (6.29) - (6.31) donnent la pente numérique de la courbe d'indifférence (IC) et les parties droites (RHS) donnent le rapport des prix des deux biens, ou pente numérique de la ligne budgétaire.

Par conséquent, les FOC tels que définis aux paragraphes (6.29) à (6.32) donnent tous le premier ordre ou la condition nécessaire à la maximisation de l'utilité seraient satisfaits au point de tangence entre la ligne budgétaire et un CI du consommateur.

L’équation (6.32) indique que l’utilité est maximisée si le consommateur dépense son argent sur les deux produits de telle sorte que le taux de changement d’utilité ou de satisfaction par rapport à l’argent dépensé pour chaque bien puisse devenir le même.

S'il divise la dépense d'argent entre les deux produits de telle sorte que le taux de variation de la satisfaction par rapport à l'argent dépensé pour un bien soit supérieur à celui de l'autre bien, le consommateur ne pourra pas maximiser le niveau d'utilité. en dépensant tout son argent sur les deux biens.

Maintenant, il devrait dépenser plus pour le premier bien et moins pour le dernier jusqu'à ce que le taux de variation de la satisfaction du premier bien diminue et que celui-ci augmente pour que les deux deviennent identiques.

Enfin, à partir des conditions d'équilibre du premier ordre (6.25) et (6.26), on obtient que:

Lorsque l'UM de l'argent dépensé pour chaque bien devient le même, cela équivaut à l'UM du revenu. Par conséquent, (6.33) donne le multiplicateur de Lagrange A, peut être interprété comme l'utilité marginale du revenu.

Étant donné que les UM des produits sont supposées positives (les biens étant supposés être des MIB), l'UM du revenu est également positive. Notez également que l'équation (6.27) de la FOC garantit que la contrainte budgétaire a été satisfaite.

Condition de deuxième ordre :

Venons-en maintenant à la condition de second ordre (SOC) ou à la condition suffisante de maximisation de l’utilité.

Le SOC déclare que le déterminant hessien à la frontière, D, doit être supérieur à zéro au point de tangence où la FOC est satisfaite:

Par conséquent, le SOC implique que la dérivée de la pente du CI serait positive, c'est-à-dire que le CI serait convexe à l'origine au point de tangence. Étant donné que n'importe quel point d'un CI peut être le point de tangence en fonction de la pente de la ligne budgétaire, le SOC signifie en réalité que le CI doit être convexe à l'origine sur toute sa longueur.

On peut noter ici que, puisque la condition d'ordre secondaire ou suffisante (6.35) pour l'équilibre du consommateur est satisfaite en chaque point du domaine d'une fonction régulière strictement quasi-concave, la fonction d'utilité (6.1) du consommateur devrait être: une fonction régulière strictement quasi concave. Ce n'est qu'alors que la condition de second ordre serait satisfaite.

Exemple :

Supposons que la fonction d'utilité est U = q, q 2 et p, = 2 (Rs) et p 2 = 5 (Rs), et que le revenu du consommateur pour la période est y = 100 (Rs). Trouvez la combinaison de produits qui maximiserait le niveau de satisfaction du consommateur en fonction de son budget. Trouver également l’utilité marginale du revenu au point d’équilibre,

Solution:

La fonction utilitaire a été donnée comme

U = q 1 q 2 (i)

Par conséquent, il ressort des FOC que les quantités de biens à maximisation d’utilité sont q 1 = 25 unités et q 2 = 10 unités.

Maintenant, vérifiez si ces quantités satisfont à la condition de second ordre (SOC) pour la maximisation de l’utilité. Cette condition est

Par conséquent, le SOC tel que donné par (viii) est vérifié. Donc, finalement, les quantités à l’équilibre sont q 1 = 25 unités et q 2 = 10 unités, et on obtient déjà le MU de revenu égal à λ = 5, qui est un nombre d’utilité ordinale.

L'exemple peut être présenté graphiquement à l'aide de la figure 6.11. Les IC de l'exemple donné sont des hyperboles rectangulaires, comme le montre la fonction d'utilité (i). Deux de ces circuits intégrés, à savoir IC 1 et IC 2, ont été représentés à la figure 6.11.

La ligne budgétaire telle que donnée par l'équation (ii) est la ligne LM. On obtient (ii) que l’intervalle q 1 de la ligne budgétaire est de 50 unités et que l’intervalle q 2 de la ligne budgétaire est de 20 unités.

Autrement dit, si le consommateur dépense tout son argent (100) sur Q 1 à p, = 2, il pourra acheter 50 unités de Q 2 et s’il dépense tout son argent sur Q 2 à p 2 = 5, il serait en mesure d'acheter 20 unités de Q 2 . La pente numérique de la ligne budgétaire ou du ratio de prix est p 1 / p 2 = 2/5

La FOC pour l'équilibre du consommateur a été satisfaite au point de tendance E. À ce stade, le MRS Q1, Q2 = (U / ∂q 1 ) / (∂U / q 2 ) = q 2 / q 1 = 10 / 25 = 2/5 a été égal au rapport de prix p 1 / p 2 = 2/5. En ce qui concerne le SOC, la dérivée de la pente du CI par rapport à q 1 au point E = d / dq 1 (-q 2 / q 1 ) = + 2q 2 / q 1 = positive, c’est-à-dire que le CI est convexe à l'origine au point E, et le SOC est satisfait.

 

Laissez Vos Commentaires