Notes d'étude sur la loi d'Engel | Économétrie appliquée

L'article mentionné ci-dessous fournit une note d'étude sur la fonction Engel en économie.

Les lois d'Engel:

La relation entre les dépenses de consommation totales et les dépenses relatives à un article spécifique à un moment donné parmi les ménages de l'échantillon est connue sous le nom de Engel Function ou Engel Curve.

Les résultats empiriques de l'étude entreprise par Engel [Ernst Engel était un statisticien allemand] ont été publiés en 1895. L'avantage de reprendre des études transversales est que les prix des produits de base seront constants d'un point à un autre.

Pour cette raison, la relation entre les dépenses totales et les dépenses relatives à un article spécifique engagées par des familles transversales serait étudiée empiriquement pour examiner les schémas de consommation. En d'autres termes, la demande d'éléments spécifiques par familles transversales serait étudiée pour examiner la réactivité des dépenses de consommation sur un élément spécifique à l'évolution des dépenses totales.

Selon la loi d'Engel, «la part des dépenses totales consacrées aux produits alimentaires diminue à mesure que les dépenses totales [qui représentent le revenu indirect] continuent d'augmenter.»

Cette loi peut être comprise à partir du tableau suivant:

En général, le nombre d'articles à acheter augmente avec l'augmentation du revenu. Si le niveau de revenu est faible, un seul article sera acheté et la proportion des dépenses totales engagées pour cet article sera constante. Si le revenu continue d'augmenter, les ménages achèteront d'autres articles. Ensuite, la proportion des dépenses totales consacrées au premier poste diminuerait progressivement.

La proportion des dépenses totales consacrées à l'élément [qui peut être essentiel ou luxueux] diminue / augmente ou reste constante avec l'augmentation des dépenses totales. On peut donc voir les variations des dépenses entre les ménages. Bien que les dépenses de consommation d'articles changent constamment d'un ménage à l'autre, les prix des produits de base faisant face à la représentation transversale des ménages seraient généralement constants.

En analyse économique, les différences dans les modes de consommation des ménages peuvent être expliquées par les variations des dépenses totales [, qui est la somme des dépenses en produits alimentaires et non alimentaires.] Toute variation des modes de consommation qui n’est pas expliquée par les variations des dépenses totales peuvent être attribuées à des facteurs non économiques tels que les modifications du goût.

L'une des principales raisons de ces changements de goût est la variation de la taille de la famille. Par conséquent, il est nécessaire de prendre en compte l'évolution de la taille de la famille des ménages afin de prendre en compte l'impact de la taille de la famille ainsi que d'autres variables indépendantes importantes sur les dépenses de consommation.

Selon la seconde loi d'Engel, la part des dépenses totales consacrées à l'habillement et au logement sera à peu près constante [stable] avec l'augmentation des dépenses totales.

Cette loi peut être comprise à partir du tableau suivant:

Selon la troisième loi d'Engel, la part des dépenses totales consacrées aux loisirs augmente avec l'augmentation des dépenses totales.

Cette loi peut être comprise à partir du tableau suivant:

La relation entre les dépenses totales et les dépenses relatives à un élément spécifique [alimentaire ou non alimentaire] est appelée fonction de Engel ou loi de Engel ou courbe de Engel.

La fonction de Engel peut être exprimée comme suit:

Y = f [X]

Où,

Y = dépenses relatives à un article spécifique- [article alimentaire ou non alimentaire]

X- total des dépenses [proxy pour le revenu]

La modification de Y due à la modification de X pour un élément spécifique est appelée Propension marginale à consommer. Ceci est également appelé effet marginal.

La réactivité de Y aux changements de X est appelée élasticité de Y par rapport à X, appelée élasticité d'Engel. Parfois, le signe et la taille de l'élasticité Engel seront pris en compte pour classer les produits / marchandises en produits de première nécessité, produits de luxe, etc.

Formes de courbes d'Engel:

Dans les travaux économétriques, les élasticités Engel sont estimées en ajustant différentes formes d’équations de régression [Courbes Engel] aux données de section.

Les formes les plus importantes de modèles de régression [Fonctions de Engel] dans les études empiriques sont les suivantes:

1. linéaire

2. Semi-log

log de Y sur X

Y sur le log X

3. Fonction de puissance

ou log-linéaire

ou double journal

ou modèle d'élasticité constante

4. quadratique

5. Cube

6. Inverse

7. Log-inverse

Le modèle de régression linéaire:

La spécification d’une forme linéaire simple [premier degré, c’est-à-dire Y = b 0 + b 1 X1 + erreur] de la fonction engel sera la suivante:

Y = b 0 + b 1 X + erreur (1)

La dérivée [comment la variable dépendante (Y) change pour une petite modification de la variable indépendante (X)] de Y par rapport à X, dY / dX est b 1, ce qui correspond à la propension marginale à consommer. Ce sera constant et moins que l'unité.

L'élasticité Engel [e yx ] sera évaluée aux valeurs [moyennes] moyennes de Y et X comme suit:

e yx = dY / dX * Moyenne de X / Moyenne de Y

= b 1 * Moyenne de X / Moyenne de Y

Par conséquent, cette valeur est appelée élasticité moyenne de Y par rapport à X. Parfois, l'élasticité de Engel sera évaluée à différentes valeurs de X et Y. Par conséquent, l'élasticité estimée à partir du modèle de régression linéaire sera variable. Si la valeur de e YX est supérieure à l'unité, alors Y / X [Ratio des dépenses relatives à ce poste sur les dépenses totales] continue d'augmenter avec l'augmentation des dépenses totales.

Si elle est inférieure à l'unité, alors Y / X continue à diminuer avec l'augmentation des dépenses totales. S'il s'agit de l'unité, le rapport Y sur X [Y / X] sera constant avec l'augmentation des dépenses totales. L'élasticité Engel sera directement liée à l'augmentation des dépenses totales, toutes choses égales par ailleurs et inversement à l'augmentation des dépenses relatives à ce poste, toutes choses égales par ailleurs.

Si la forme linéaire de l'équation de régression [Courbe linéaire linéaire] ne convient pas aux observations en coupe transversale, les autres formes d'équations de régression [modèles] doivent être adaptées. Parmi les différentes formes d'équations de régression [courbes d'Engel], la forme de régression semi-log est largement ajustée aux données de la section transversale.

Modèle de régression semi-log:

La spécification d'un semi-journal [une des deux variables [Y ou X] sera sous forme de journal] sous forme de fonction engel sera comme suit:

[i] log Y = b 0 + b 1 X ………. (2)

La dérivée de log Y par rapport à X

[d log Y / dX = dY / Y / dX / 1 = dY / dX * 1 / Y], b 1 indique le changement proportionnel en Y pour un changement d'unité en X.

Le taux de changement en Y par changement d'unité en X,

dY / dX = b 1 Y, est un mpc [effet marginal]

L'élasticité Engel de cette fonction sera estimée comme suit:

e YX = dY / dX * X / Y = b 1 Y. X / Y = b 1 X

Ainsi, un mpc est indépendant des modifications de X et l'élasticité est indépendante des modifications de Y. Par conséquent, les élasticités de mpc et d'engel sont toutes deux variables dans le modèle de régression de log Y sur X.

[ii] Y = b 0 + b 1 log X …………… .. (3)

La dérivée de Y par rapport à log X,

[dY / d log X = dY / 1 / dX / X = dY / 1 / dX / X = dY / dX / X / 1], b 1, indique le taux de variation de Y par une variation proportionnelle de X.

Le taux de changement en Y par changement d'unité en X [mpc] est:

dY / dX = b 1 / X

L'élasticité Engel de cette fonction sera estimée comme suit:

e YX = dY / dX.X / Y = b 1 / Y

Ainsi, l’élasticité mpc et engel est variable.

Si cette forme d'équation de régression à la section transversale ne convient pas, il faut alors essayer les autres formes d'équations.

Modèle de régression à double journal [Fonction d'alimentation]:

La fonction Power, également connue sous le nom de modèle à double log ou log linéaire ou à élasticité constante, est populaire dans les études empiriques, car le coefficient de régression de la variable indépendante nous fournit directement une élasticité Engel constante, comme indiqué ci-dessous:

Y = b 0 Xb1 ………………. (4)

Le dérivé de Y par rapport à X,

dY / dX = b 1 Xb1-1

= b 1 b 0 Xb1 X-1

= b 1 * b 0 Xb1 / X

= b 1 * Y / X, est un MPC qui continue à changer avec le changement de Y ou de X.

L'élasticité engel de cette fonction est constante, comme indiqué ci-dessous:

dY / dX.X / Y = b 1 Y / XX / Y = b 1

Ainsi, l'élasticité Engel est indépendante des modifications de X et de Y.

Afin d'estimer par la méthode MCO, la fonction Power ci-dessus sera transformée en une forme log linéaire [appelée double log], comme indiqué ci-dessous:

log Y = log b 0 + b 1 log X ……………. (5)

La dérivée de log Y par rapport à log X [connue sous le nom d'élasticité engel],

dlog Y / dlog X = dY / Y / dX / X

= dY / YX / dX = dY / dX.X / Y, est b 1

qui est une constante. Si cette fonction ne convient pas aux points de données transversaux, alors les autres formes d'équations de régression [fonctions d'Engel] doivent être essayées.

L’autre forme d’équation de régression qui peut être ajustée aux données transversales pour estimer l’élasticité de Engel est la forme quadratique de l’équation de régression.

Modèle de régression quadratique [modèle de régression polynomiale du second degré]:

La spécification d'un carré [carré de la variable indépendante [X] avec X est considérée] forme de fonction engel sera comme suit:

Y = b 0 + b 1 X - b 2 X2 ……………………… .. (6)

Ou

Y = b 0 - b 1 X + b 2 X2 ………………………… (7)

Le dérivé de Y par rapport à X,

dY / dX = b 1 - 2 b 2 X 2-1

= b 1 - 2 b 2 X, est un mpc qui continue à changer avec le changement de X. Si le signe du coefficient de régression de X, b 1, est positif ou négatif, le coefficient de régression de X 2, b 2 sera être négatif ou positif. Ainsi, ils ont des signes opposés.

L’élasticité Engel [e YX ] sera estimée comme suit:

e YX = dY / dX.X / Y = b 1 - 2 b 2 X. X / Y

= b 1 X - 2 b 2 X2 / Y

Ainsi, l'élasticité d'Engel dans la forme quadratique de l'équation est également variable. Si les signes de b et b sont assez opposés [+ et - ou - et +], on obtient alors une courbe en forme de «U» inversé ou une courbe en forme de «U».

Si l'équation quadratique ne convient pas aux points de données en coupe transversale, il faut alors essayer les autres formes de modèles de régression.

Modèle de régression cubique [modèle de régression polynomiale du troisième degré]:

La spécification d’un modèle de régression cubique [avec des puissances de variable indépendante plus élevées] sera la suivante:

Y = b 0 + b 1 X - b 2 X2 b 3 X3 ……………… (8)

La dérivée de Y par rapport à X (mpc) est,

dY / dX = b 1 X1-1 - 2b 2 X2-1 + 3b 3 X3-1

= b 1 - 2b 2 X + 3b 3 X2

L'élasticité engel de ce modèle sera estimée comme suit:

e yx = b 1 - 2b 2 X + 3b 3 X2. X / Y

= b 1 X - 2b 2 X2 + 3b 3 X3. 1 / Y

Modèle de régression [réciproque] inverse:

La spécification d'une [variable indépendante [X] inverse inversement [1 / X ou X-1] dans le modèle] sous forme de fonction engel sera la suivante:

Y = b 0 + b 1 [1 / X]

Ou

Y = b 0 + b 1 X-1 ………… (9)

La dérivée de Y par rapport à X [mpc],

dY / dX = (-1) b 1 X -1-1 = - b 1 X-2, est - b 1 / X2

L'élasticité engel de ce modèle sera estimée comme suit:

e yx = dY / dX * X / Y = - b 1 / X2 / * X / Y = - b 1 / XY

Si le signe du coefficient de régression de 1 / X, b 1, est positif, les signes de mpc et Engel Elasticity seront négatifs. Si le signe du coefficient de régression de 1 / X, b 1 est négatif, les signes de MPC et d'Engel Elasticity seront positifs.

Si le modèle de régression inverse [réciproque] ne convient pas aux données en coupe, il faut alors essayer les autres formes d'équations de régression [Fonctions de Engel].

Log Inverse Regression Model:

La spécification d'un log inverse [la variable dépendante [K] entre sous forme de log et la variable indépendante [X] entre sous forme inverse [1 / X ou X-1]] est comme suit:

log Y = b 0 + b 1 1 / X

ou

log Y = b 0 + b 1 X-1 …………… (10)

La dérivée de Y par rapport à X [mpc] est:

d logY / dX = - 1. b 1 X -1-1 = - b 1 X-2

dY / Y.1 / dX = -b 1 X-2

dY / dX 1 / Y = - b 1 X -2 = - b 1 / X2

dY / dX = - b 1 Y / X2

L'élasticité engel de ce modèle sera estimée comme suit:

e yx = dY / dX.X / Y = - b 1 Y / X2. X / Y = - b 1 / X

Ainsi, mpc varie avec le changement de X et Y et l'élasticité du moteur varie avec le changement de X uniquement. Dans le cas de la fonction de journalisation également si le signe du coefficient de régression de 1 / X, b 1, est négatif ou positif, les signes de mpc et d’élasticité seront positifs ou négatifs. En ce qui concerne la fonction moteur simple, la discussion se limite à l'estimation de l'élasticité des dépenses relatives à ce poste par rapport aux dépenses totales.

Mais dans la pratique, le total des dépenses n’est pas le seul facteur qui influe sur les dépenses relatives à ce poste, mais également la taille de la famille.

Par conséquent, les dépenses totales et la taille de la famille doivent être considérées comme des variables indépendantes dans la fonction engel [fonction d’engel multiple] pour estimer les élasticités partielles des dépenses relatives à ce poste par rapport aux dépenses totales et à la taille de la famille [en unités homme adulte]. Dans les études empiriques, les courbes linéaires et les courbes à double logarithme sont ajustées aux données transversales.

La procédure requise pour estimer les effets marginaux et en pourcentage est expliquée ci-dessous:

Modèle de régression linéaire multiple:

La spécification d’une fonction linéaire multiple [avec deux variables indépendantes] sera la suivante:

Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + e ……………………. (11)

Y = Dépenses pour le poste

X 1 = Dépense totale [proxy pour revenu]

X 2 = Taille de la famille mesurée en unités hommes adultes

e = variable aléatoire [terme d'erreur avec hypothèses habituelles]

La dérivée partielle de Y par rapport à X 1 [en maintenant X 2 constante],

∂Y / ∂X 1 = b 1 est un mpc constant.

La dérivée partielle de Y par rapport à X 2 [maintien de X 1 constant],

∂Y / ∂X 2, = b 2 [constante] est le taux de variation de Y par changement d'unité dans X 2 [en maintenant X 1 constant]

Les élasticités Engel [e Y.X1 et e y.X2 ] à partir d’une régression linéaire multiple seront calculées comme suit:

L'élasticité partielle de Y par rapport aux dépenses totales,

e y x1 = ∂Y / X 1 . X 1 / Y = b 1 * X 1 / Y

L'élasticité de Y par rapport à la taille de la famille,

e y X2 = ∂Y / X 2 . X 2 / Y = b 2 * X 2 / Y

Dans les études empiriques, les élasticités des dépenses sont évaluées aux valeurs moyennes de Y, X 1 et X 2 .

Par conséquent, l'élasticité moyenne de Y par rapport à la dépense totale sera la suivante:

e y x1 = b 1 * moyenne de X 1 / moyenne de Y

e Y.x2 = b 2 * moyenne de X 2 / moyenne de Y

Si l'équation de régression linéaire ne donne pas un bon ajustement aux données de la section transversale, vous devez essayer un autre type de modèle de régression.

Modèle de régression linéaire à logarithme multiple:

Dans les études empiriques, la fonction de puissance, également identifiée comme modèle de régression à double log, log-linéaire et à élasticité constante, est largement utilisée car les coefficients de régression de variables indépendantes [X 1 et X 2 ] donnent directement les élasticités constantes.

La spécification d’une fonction d’alimentation multiple sera la suivante:

Y = b 0 X 1 b1 X 2 b2 ……………… (12)

La dérivée partielle de Y par rapport à X 1 est

∂Y / X = b 1 b 0 Xb1-1 X 2 b2

= b 1. b 0 X b1 X 2 b2 .X 1 -1

= b 1 b 0 X b1 X 2 b2 .1 / X 1

= b 1 Y / X 1

Ceci est appelé un mpc et continue à changer avec les changements dans Y et X 1 .

La réactivité de Y par rapport à X 1, qui est l'élasticité constante, s'exprimera comme suit:

e y.x1 = ∂Y / X 1 X 1 / Y

= b x Y / X 1 X 1 / Y = b 1

La dérivée partielle de Y par rapport à X 2 est

∂Y / X = b 2 b 0 X 1 b1 X 2 b2-1

= b 2 . b 0 Xb1 X 2 b2.X 2 -1

= b 2 b 0 X 1 b1 X 2 b2. 1 / X 2

= b 2 Y / X 2

Ceci est appelé le taux de changement de Y par changement d'unité dans X 2 et continue de changer avec les changements de Y et X 2 .

La réactivité de Y vis-à-vis de X 2 s’exprimera comme suit:

e y.x2 = ∂Y / X 2 * X 2 / Y

= b 2 Y / X 2 . X 2 / Y = b 2 qui est également constant.

Aux fins de l'estimation par la méthode des moindres carrés ordinaires, la fonction de puissance ci-dessus est transformée en un modèle log-linéaire comme suit:

log Y = log b 0 + b 1 log X 1 + b 2 log X 2 ………………. (13)

La dérivée partielle de log Y par rapport à log X 1

∂log y / ∂ log X 1

= ∂Y / Y / ∂X 1 / X 1

= ∂Y / Y * X 1 / X 1 = Y / X 1 . X 1 / Y = b 1,

L'élasticité des dépenses sur ce poste est constante par rapport à la dépense totale.

La dérivée partielle de log Y par rapport à log X 2,

d log y / d log X 2

= dY / Y dX 2 / X 2

= dY / Y * X 2 / dX 2

= ∂Y / X2 * X2 / Y = b2,

L’élasticité des dépenses au titre du poste par rapport à la taille de la famille est également constante. Ainsi, à la fois dans la fonction de puissance et dans le modèle log-linéaire, les coefficients de régression des dépenses totales et de la taille de la famille sont des élasticités constantes. L'un des avantages de ce modèle est que la somme des élasticités partielles des dépenses par rapport aux dépenses totales et à la taille de la famille donne une idée de la nature des économies d'échelle dans les dépenses de consommation.

Si la somme de b 1 et b 2 = 1, il n'y aura pas d'économies d'échelle dans les dépenses de consommation [Fonction linéaire homogène homogène], Si la somme de b 1 et b 2 > 1, il y aura des déséconomies d'échelle dans dépense de consommation [Fonction Engel homogène non linéaire]. Si la somme de b 1 et b 2 <1, il y aura alors des économies d'échelle dans les dépenses de consommation [Fonction de Engel homogène non linéaire].

Aucune économie d’échelle n’implique qu’une augmentation de 1% des dépenses totales et de la taille de la famille entraîne une augmentation des dépenses pour le même article de ce même pourcentage.

Les déséconomies d'échelle impliquent qu'une augmentation de 1% des dépenses totales et de la taille de la famille entraîne une augmentation des dépenses pour ce poste de plus de 1%.

Les économies d'échelle impliquent qu'une augmentation de 1% des dépenses totales et de la taille de la famille entraîne une augmentation de la consommation de cet article de moins de 1%.

Fonction Engel par habitant [Fonction Engel restreinte ou Fonction Engel linéaire homogène]:

Le problème de multicolinéarité entre les dépenses totales et la taille de la famille est assez courant. Afin d'éviter ce problème dans une certaine mesure, la spécification suivante de la fonction de Engel par habitant sera prise en compte dans les études empiriques.

[Y / X 2 ] = b 0 [X 1 / X 2 ] b1 ……………… .. (14)

Aux fins de l'estimation, le modèle de régression ci-dessus [fonction de puissance] est transformé en une forme log linéaire, comme indiqué ci-dessous:

log [Y 1 / X 2 ] = log b 0 + b 1 log [X 1 / X 2 ]

log Y - log X 2 = log b 0 + b 1 log X 1 - b 1 log X 2

log Y = log b 0 + b 1 log X 1 - b 1 log X 2 + log X 2

= log b 0 + b 1 log X 1 + [1-b 1 ] log X 2

= log b 0 + b 1 log X 1 + b 2 log X 2

1 - b 1 = b 2

1 = b 2 + b 1

Si aucune économie d'échelle ne se produit [∑ (b 1 + b 2 ) = 1], la spécification ci-dessus par habitant sera préférée au modèle de régression log-linéaire multiple. L'un des avantages de la spécification par habitant est que le degré de problème de la multi-colinéarité peut être réduit dans une certaine mesure. Si aucune économie d'échelle ne se produit, le modèle de régression basé sur la spécification par habitant ne sera pas approprié pour les données transversales.

Afin de permettre la présence d'économies d'échelle et de déséconomies d'échelle dans les dépenses de consommation, la fonction log-linéaire multiple sera préférée. Il convient de noter que la spécification par habitant ci-dessus est utilisée uniquement si la somme des élasticités des dépenses sur ce poste par rapport à la dépense totale et à la taille de la famille est égale à l'unité.

Outre les deux variables indépendantes susmentionnées, la taille de la famille et les dépenses totales, les autres variables telles que l’âge du chef de famille, l’éducation du chef de famille, etc., peuvent également être incluses dans la fonction Engel afin de saisir leur impact sur l’environnement. dépense de consommation sur le poste.

Log linéaire Engel Fonction avec une variable d'interaction: Différentiel Engel Élasticité:

L'impact de la variable qualitative telle que la région, l'éducation de la caste, etc., ainsi qu'une variable indépendante quantitative peut également être analysé sur la dépense relative au poste en introduisant une variable d'interaction (produit de la variable nominale [proxy pour la variable qualitative] et variable indépendante quantitative c'est-à-dire les dépenses totales) avec la spécification suivante.

log Y = log b 0 + b 1 D + b 2 log X + b 3 [D * log X] ………… .. (15)

Y = dépenses relatives au poste [Aliments ou articles non alimentaires]

X = Dépenses totales en produits alimentaires et non alimentaires

D = La variable factice, qui est une approximation de la variable qualitative telle que l’éducation, la région, la caste, etc., prendrait 1 en présence de l’attribut et 0 en l’absence d’attribut.

Lorsque D = 1, le modèle de régression log linéaire [fonction d’engel] sera le suivant:

log Y = [b 0 + b 1 ] + [b 2 + b 3 ] log X ………………. (16)

La dérivée de log Y par rapport à log X est, ∂ log Y / ∂ log X, est l'élasticité engel constante, [b 2 + b 3 ], en présence d'un attribut.

b 3 est l'élasticité différentielle d'Engel lorsque D = 1

est l'interception différentielle lorsque D = 1

Lorsque D = 0, le modèle de régression log linear [engel] sera le suivant:

log Y = b 1 + b 2 log X …………………… .. (17)

La dérivée de log Y par rapport à log X, ∂ log Y / ∂ log X, est l'élasticité engel [b 2 ] en l'absence d'attribut [D = 0], lorsque D = 1, si b 3 est significativement positif, alors la taille de l'élasticité engel sera plus élevée en présence d'attribut par rapport à la taille d'élasticité engel en l'absence d'attribut. Si b 3 est significativement négatif, la taille de l'élasticité de Engel sera inférieure à celle de l'élasticité de Engel en l'absence d'attribut.

Si b 3 est statistiquement non significatif, la taille de l'élasticité du moteur sera identique [stable ou homogène] à la fois en présence et en absence des attributs. Cette équation de régression [modèle] serait courante en présence et en l'absence d'attribut. Ainsi, une variable d’interaction dans la fonction engel sera utile pour analyser le décalage du degré d’élasticité engel.

Par conséquent, dans les études empiriques, une variable d'interaction peut être considérée dans l'ensemble des variables indépendantes. Avec l'avènement des progiciels sur l'économétrie, les différentes formes de fonctions de moteur peuvent facilement être adaptées aux données de section. Le choix de la fonction de moteur pour l'analyse dépend de critères économiques, statistiques et économétriques.

Le critère économique concerne le signe et la taille de l'élasticité du moteur. Le critère statistique concerne la signification statistique des coefficients de régression des variables indépendantes et la qualité de l'ajustement. Le critère économétrique concerne principalement le problème de l'hétéroscédasité, car les données transversales seront utilisées pour estimer les élasticités de Engel.

Fonction Engel linéaire et critère d'addition:

L’un des avantages de l’adaptation du modèle de régression simple linéaire pour les produits alimentaires et non alimentaires est qu’il satisfait au critère de sommation selon lequel la somme des dépenses engagées pour tous les articles doit être égale à la dépense totale [Dépense totale (indicateur indirect du revenu) sera épuisé s'il est engagé sur des produits alimentaires et non alimentaires]

Si deux équations de régression linéaire pour les produits alimentaires et non alimentaires sont ajustées aux données de section, les équations seront alors les suivantes:

Y r = b 0 + b 1 X ……………… (18)

Y nf = c 0 + c 1 X …………… .. (19)

Y f = Dépenses en produits alimentaires

X = Dépense totale [somme des dépenses alimentaires et des dépenses non alimentaires soit ∑ (Y f + Y nf )], qui est la variable indépendante à deux équations

O nf = Dépenses en articles non alimentaires

La somme des valeurs numériques de b 1 et c 1 [propensions marginales constantes à consommer pour des produits alimentaires et non alimentaires, respectivement] sera toujours égale à l'unité puisque les dépenses engagées pour les produits alimentaires et non alimentaires seront égales aux dépenses totales.

Il convient de noter que le degré de fiabilité des élasticités des Mpc et Engel est directement associé à l’augmentation des observations en coupe transversale. Ensuite, les estimations des paramètres des élasticités mpc et engel seront proches approximativement des vrais paramètres.

Fonctions Engel - Estimations des relations économiques:

Les données suivantes [Tableau 2.1] sur les dépenses de consommation mensuelles et les dépenses totales en roupies collectées auprès de vingt-cinq ménages de l'échantillon sont prises en compte pour estimer les élasticités du moteur en ajustant différentes formes de fonctions du moteur.

Où,

1. R 2 = [Variation expliquée / Variation totale] =

∑ (Valeurs de tendance de Y i - Valeur moyenne de Y) 2 = / ∑ (Valeurs effectives de Y - Valeur moyenne de Y) 2

2. Somme des carrés des résidus = ∑ (Valeurs réelles de Y - Valeurs de tendance de Y) 2 = ∑e i 2

3. Erreur type [SE] de régression = racine carrée de e i 2 / nk

4. Statistique de Durbin-Watson (d) = ∑ (e t - e t-1 ) 2 / ∑e t 2

Les résultats de la fonction linéaire linéaire simple [tableau 2.2] ajustés aux données de section transversale montrent que le coefficient de régression de la dépense totale est significativement positif.

Cela explique que le taux de variation des dépenses de consommation d'aliments par unité de variation des dépenses totales [Propension marginale à consommer] est inférieur à l'unité. On peut en déduire de cette estimation qu'une augmentation des dépenses totales d'une unité entraîne une augmentation des dépenses de consommation d'aliments de 0, 87 unité. Cette valeur est conforme à la théorie.

L'élasticité engel moyenne estimée aux valeurs moyennes de Y et X [coefficient de régression multiplié par le rapport de la valeur moyenne de X à la valeur moyenne de Y: 0, 871705 * 3820.840 / 3383.920] est de 0, 984. De cette valeur, on peut en déduire qu'une augmentation de 1% des dépenses totales entraîne une augmentation de 0, 984% [des dépenses de consommation en produits alimentaires], toutes choses égales par ailleurs.

Les résultats de la fonction log linear engel [tableau 2.4] ajustés aux données de section transversale [tableau 2.3] montrent que le coefficient de régression des dépenses totales en log est significativement positif et égal à 1.

C'est 1.002. Cette élasticité est connue sous le nom d'élasticité constante des dépenses relatives à ce poste par rapport aux dépenses totales. On peut en déduire qu'une augmentation de 1% des dépenses totales entraîne une augmentation des dépenses de consommation d'aliments de 1, 02% [ce qui correspond à peu près à l'unité], toutes choses égales par ailleurs.

Les résultats du modèle de régression semi-logicielle [tableau 2.5] ajusté aux données de section transversale [tableau 2.3] montrent que le coefficient de régression des dépenses totales est significativement positif et que sa valeur est égale à 0, 000272.

Ceci explique que la variation proportionnelle de Y par unité de variation de X est 0, 000272.Le mpc [estimé à la valeur moyenne de Y: 0, 000272 * 3383.90] est inférieur à l'unité qui est 0, 92. L’élasticité Engel, qui est de 1, 039 [0, 000272 * 3820, 840 = 1, 039], explique qu’une augmentation de 1% des dépenses totales entraîne une augmentation des dépenses de consommation de 1, 039%.

Les résultats du modèle de régression semi-log ajusté aux données de section transversale [tableau 2.6] montrent que le coefficient de régression de la dépense logarithmique totale, le taux de changement de Y par rapport à un changement proportionnel de X [b 1 ] est significativement positif, à savoir 3054.553 .

La valeur de mpc est inférieure à l'unité qui est 0, 7994 [3054.553 / 3820.840], l'élasticité de Engel, qui est 0, 9027, [estimation à la valeur moyenne de Y: 3054.553 / 3383.920] explique qu'une augmentation de 1% des dépenses totales entraîne une les dépenses de consommation relatives à ce poste de 0, 9027 pour cent.

Les résultats du modèle de régression inverse [tableau 2.8] basés sur les données du tableau 2.7 montrent que le coefficient de régression de MX est négatif. Le mpc [estimé au carré de la moyenne de X: dY / dX = -b 1 / X2 = 7604940 / (3820.840) 2 = 0, 5] inférieur à l'unité. L'élasticité Engel est de 0, 588 [estimée au produit des valeurs moyennes Y et X: 7604940 / [3383.920 * 3820.840].

On peut en déduire qu'une augmentation de 1% des dépenses totales entraîne une augmentation des dépenses de consommation d'aliments de 0, 588%. Il convient de noter que l’élasticité de la CPM et de l’engel estimée à partir du modèle de régression inverse est relativement plus petite que celle estimée à partir d’autres modèles.

Les résultats du modèle de régression log inverse [tableau 2.10], basés sur les données du tableau 2.9, montrent que le coefficient de régression de 1 / X est négatif. Le mpc [estimé au carré de la moyenne de X et de la moyenne de Y: 2715.653 * 3383.920) / (3820.840) 2 = 0.62947] est inférieur à l'unité.

L'élasticité [estimée à la valeur moyenne de X: 2715, 653 / 3820, 84] est de 0, 717148. On peut en déduire qu'une augmentation de 1% des dépenses totales entraîne une augmentation des dépenses de consommation d'aliments de 0, 717048%, toutes choses égales par ailleurs.

Les résultats du modèle de régression quadratique [tableau 2.12] basés sur les données du tableau 2.11 montrent que le coefficient de régression de X est positivement significatif à 1% et que celui de X 2 est modérément significatif.

Le mpc estimé [1, 037 - (2 * 0, 0000185 * 3820, 84)] est 0, 8956. L'élasticité d'Engel estimée est 1.011, ce qui est proche de l'unité. On peut en déduire qu'une augmentation de 1% des dépenses totales entraîne une augmentation de 1, 17% des dépenses de consommation d'aliments.

Les points de données donnés dans le tableau 2.13 servent à prouver que la fonction de moteur linéaire répond au critère d'addition.

Les résultats de régression des fonctions linéaires linéaires ajustées pour les articles food [tableau 2.14] et non food [tableau 2.15] montrent que la somme de la valeur mpc constante pour les produits alimentaires et de mpc constante pour les produits non alimentaires [0.871705 + 0.128295] est égale à la norme d'addition.

Le choix des résultats de régression de la fonction Engel pour l’analyse, l’élaboration des politiques et la prévision dépend de critères économiques, statistiques de [Signe et taille des coefficients] statistiques [Erreurs-types et bonté de l’ajustement] et économétriques [Hypothèses de la méthode MCO].

Fonctions multiples et par habitant (linéaire et log linéaire):

Afin d’estimer la fonction multiple d’Engel [formes linéaire et log linéaire], les données transversales suivantes sont utilisées: Dépenses mensuelles relatives aux aliments, taille de la famille et Dépense totale mensuelle.

Les résultats de régression de plusieurs modèles linéaires Engel basés sur les données du tableau 2.16 sont présentés dans le tableau 2.17.

Les résultats de la régression montrent que le coefficient des dépenses totales mensuelles est hautement significatif et positif et que le coefficient de la taille de la famille est également positif mais modérément significatif. Ainsi, les deux variables incluses dans le modèle de régression linéaire influent sur les dépenses de consommation mensuelles de produits alimentaires. L'élasticité partielle de Y par rapport à X1 [e y.x1 ], en maintenant X2 constante, est de 0, 88, ce qui montre que l'élasticité moyenne est inférieure à l'unité.

L'élasticité partielle de Y par rapport à X2 [e y.x2 ], tout en maintenant X1 constante, est de 0, 14, ce qui montre que l'élasticité moyenne est très inégale. Il convient de noter que les deux variables indépendantes, X1 et X2, évoluent ensemble dans le même sens, ce qui pose le problème de la multicolinéarité [corrélation entre X1 et X2]. Le degré de corrélation entre XI et X2 peut être évalué à l'aide des valeurs fournies dans le tableau. 2.18.

Le degré de corrélation entre X1 et X2 est très élevé, montrant la présence d’une multicolinéarité élevée entre eux. Afin d’éviter le problème de la multicolinéarité, les variables de dépenses par habitant [variables de ratio: Y / X2 et X1 / X2] ont été prises en compte. Les points de données sur les variables par habitant sont générés et fournis dans le tableau 2.19. Les résultats de régression de la fonction de moteur par habitant sont donnés dans le tableau 2.20.

The regression results [ table 2.20] based on per capita specification show that the regression coefficient of monthly per capita total expenditure is positively significant showing that a one unit increase in total per capita expenditure is associated with the increase of 0.86 units in monthly per capita expenditure on food items The average elasticity of per capita expenditure with respect to per capita total expenditure [e Y/x2 x1/x2 ] is 0.97.

It should be noted that the per capita specification can be considered only if there are economies of scale in consumption expenditure despite the fact that there is an advantage of avoiding the problem of multicollinearity between two independent variables. The data given in table 2.16 are considered for fitting the multiple log linear engel function by OLS method. The regression results of the same are given in table 2.21.

The regression results show that the coefficient of total expenditure, constant elasticity of Y with respect to X1, is positively significant and close to unity. The coefficient of family size, constant elasticity of Y with respect to X2, is positive but not significant. In the log linear multiple Engel function the coefficient of family size is positively insignificant. One of the likely reasons for such a perplexing result is the presence of sturdy correlation between X1 and X2 [Table 2.22].

Keeping the evidence of sturdy correlation between X1 and X2 [0.91] in view, the data on log per capita variables are generated [Table 2.23] for fitting per capita engel function. The regression results of the same are presented in table 2.24

The results based on the regression of per capita expenditure on per capita total expenditure [Table 2.24] show that the elasticity of per capita consumption expenditure on food items with respect to per capita total expenditure is positively significant and approximately unity thereby showing that a one percent increase in per capita consumption expenditure on food items leads to increase the per capita consumption expenditure by one percent.

 

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